Tổng quan các phương pháp giải phương trình lượng giác : ☺ Ngoài phương trình lượng giác cơ bản, còn có 5 phương trình đã được trình bày cách giải là : Phương trình bậc nhất, bậc hai đối[r]
Trang 1
NHỮNG PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Lờ Hồ Quý
(Nguyờn GV Trường THPT Lờ Lợi – Kon Tum)
Mỗi đề thi tuyển sinh vào Đại học thường có một câu về phương trình lượng giác (PTLG) Phương pháp thường gặp khi giải PTLG là thực hiện một số phép biến đổi lượng giác hợp lý để đưa bài toán về phương trình tích, đặt ẩn số phụ để quy về phương trình bậc hai, bậc ba, , từ đó đưa về PTLG cơ bản hoặc PTLG thường gặp Ta nói biến đổi hợp lý vì các đồng nhất thức lượng giác thường rất đa dạng
Ví dụ, nếu cần biến đổi cos4x - sin4x, thì tuỳ theo đầu bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các đồng nhất sau :
cos4x - sin4x = cos2x - sin2x = cos2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x
A Một số kiến thức cần nhớ :
Công thức lượng giác
1 Công thức lượng giác cơ bản
1) sin a+cos a+1
sina
2) tga=
cosa
cosa
3) cotga
sina
2 2 2 2
1 4) 1+tg a=
cos a 1 5) 1+cotg a=
sin a 6) tga.cotga=1
2 Công thức cộng
1) cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
2) cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
3) sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb
4) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
tga-tgb 5) tg(a-b)=
1+tga.tgb tga+tgb 6) tg(a+b)=
1-tga.tgb
3 Công thức góc nhân đôi
1) sin2a = 2sina.cosa
2) cos2a = cos2a-sin2a
= 2cos2a-1
= 1-2sin2a
2
2tga 3) tg2a=
1-tg a
4 Công thức góc nhân ba
1) cos3a = 4cos3a-3cosa
2) sin3a = 3sina-4sin2a
3 2
3tga-tg a 3) tg3a=
1-3tg a
5 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
1) cosa.cosb= cos(a-b)+cos(a+b)
2
1
2) sina.sinb= cos(a-b)-cos(a+b)
2
1 3) sina.cosb= sin(a-b)+sin(a+b)
2
6 Công thức biến đổi tổng thành tích
1) sina+sinb=2sin cos
2) sina-sinb=2cos sin
3) cosa+cosb=2cos cos
4) cosa-cosb=-2sin sin
sin(a+b) 8) tga+tgb=
cosa.cosb sin(a-b) 9) tga-tgb=
cosa.cosb sin(a+b) 10) cotga+cotgb=
sina.sinb sin(a-b) 11) cotga-cotgb=
sina.sinb 2 12) cotga+tga=
sin2a 13) cotga-tga=2cotg2a
Trang 2
Đặc biệt: Với a, b mà a b 0 và x R, ta có :
7) acosx+bsinx= a +b cos( -x)= a +b sin( +x)
trong đó :
R được xác định bởi cos = , sin =
R được xác định bởi sin = , cos =
7.Công thức hạ bậc
2
2
1+cos2a
1) cos a=
2
1-cos2a
2) sin a=
2
3
3
3cosa+cos3a 3) cos a=
4 3cosa-cos3a 4) sin a=
4 a
8 Công thức tính theo t=tg (a +k2 )
2
2t
1) sina
1+t
2 2
1-t 2) cosa=
2t
2 1-t
Phương trình lượng giác cơ bản
1) cosx=m x= +k2 (hoặc x=a +k.360 0 0 m 1
2) sinx=m
hoặc
3) tgx=m
4) cotgx=m x= +k (hoặc x=a +k.180 ) 0 0 Với m R
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
1 Dạng :
asin2x+bsinx+c=0 atg2x+btgx+c=0
acos2x+bcosx+c=0 acotg2x+bcotgx+c=0
trong đó a, b, c R và a 0
2 Cách giải :
, mỗi phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Đặt t=sinx ( t 1), t=cosx ( t 1), t=tgx, t=cotgx
đều trở thành phương trình at2 + bt + c = 0 đã biết cách giải
Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1) Dạng :
asinx + bcosx = c, trong đó a, b, c R và a 2 + b2 > 0 (*)
2) Cách giải :
Cách 1: Chia hai vế của PT cho a +b2 2 , ta được :
Khi đó PT có dạng :
Đây là PT cơ bản đã biết cách giải
ĐK có nghiệm của PT (*) là a2 + b2 ≥ c2
Cách 2 : Chia hai vế của PT cho a rồi đặt b tg , ta được :
Trang 3
c sinx+tg cosx=
a sin cos sin cos cos
sin( ) cos
c
a c
x
a
Cách 3:
* Kiểm tra x= +k2 có thỏa mãn PT hay không ?
* Với
2
2
x +k2 thì thay sinx= , cosx= , trong đó t=tg
2
PT trở thành (c+b)t -2at+(c-b)=0 (Đây là PT bậc hai theo t)
Giải PT trên tìm được t, ta tiếp tục tìm x.
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx
1 Định nghĩa :
Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx là phương trình
asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 trong đó a, b, c, d R
☺Chú ý :
* Xét PT asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d (1)
Ta có : (1)asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d(sin2x+cos2x)
(a-d)sin2x + bsinxcosx + (c-d)cos2x = 0 (2)
Bằng cách “kích bậc” : d = d(sin2x+cos2x), ta thấy PT (1) tương đương với PT đẳng cấp (2)
Người ta nói (1) là phương trình “dạng khuất” của phương trình thuần nhất bậc hai
* Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx, cosx là trường hợp riêng của PT (1) khi d = 0
2 Cách giải :
* Cách 1 : Chia theo từng vế của PT cho một trong ba hạng tử sin2x, hoặc cos2x, hoặc sinxcosx Sau đây
trình bày cách chia cho cos2x (chia cho các hạng tử khác tương tự)
-Bước 1 : Kiểm tra cosx=0 x= k bằng cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm
2
của PT (1) hay không
-Bước 2 : Với cosx≠0, chia cho cos2x thì PT trở thành atg2x + btgx + c = d(1+tg2x)
(a-d)tg2x + btg2x + c - d = 0 Đây là PT dạng bậc hai đối với tgx đã biết
* Cách 2 : Hạ bậc nhờ các công thức :
2 1 cos 2x 2 1 cos 2x sin2x
sin x , cos x , sinxcosx=
đưa PT đã cho về PT bsin2x + (c-a)cos2x = d-c-a Đó là PT bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã xét
3 Chú ý :
a) Dạng hữu tỉ (một dạng khác) của phương trình thuần nhất bậc hai là
asinx + bcosx = , asinx + bcosx =
Chia theo từng vế của PT cho các mẫu thức tương ứng ta được :
2
2
c
* asinx + bcosx = ctg x+atgx+c-b=0
cosx c
* asinx + bcosx = ccotg x+acotgx+c-b=0
sinx
b) Phương pháp giải phương trình “dạng khuất thuần nhất bậc hai” cũng áp dụng cho phương trình
thuần nhất bậc cao cùng các dạng khuất của nó
Dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc 3 và bậc 4
1 Định nghĩa :
a) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = 0 trong đó a, b, c, d R được gọi là phương
trình thuần nhất bậc ba đối với sinx, cosx
b) Phương trình asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx trong đó a, b, c, d, p, q R
được gọi là dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc ba đối với sinx, cosx
c) Phương trình asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= 0 trong đó a, b, c, d, e R
được gọi là phương trình thuần nhất bậc bốn đối với sinx, cosx
d) Phương trình asin4x+bsin3xcosx+csin2x cos2x+dsinxcos3x+ecos4x= psin2x+qcos2x+rsinxcosx a, b, c,
d, e, p, q, r được gọi là dạng khuất của phương trình thuần nhất bậc bốn đối với sinx, cosx
Trang 4
2 Cách giải :
1) Nhận xét :
Giả sử Q(x) là một biểu thức chứa ẩn x dưới các hàm số lượng giác Kí hiệu degQ(x) là bậc của
Q(x) đối với các hàm số lượng giác Ta có nhận xét sau đây :
Bất cứ biểu thức Q(x) nào cũng có thể “kích” thêm 2n (n N) bậc mà không làm thay đổi giá trị
của biểu thức ấy.
Thật vậy, với n N, ta có :
Q(x)=(sin x+cos x) Q(x) degQ(x) 2n degQ(x),
Q(x)(1 tg x)(sin x+cos x) deg 2n deg
Q(x)(1 cotg x)(sin x+cos x) deg 2n deg
* Từ nhận xét trên ta suy ra mọi phương trình lượng giác có bậc cùng chẵn hoặc cùng lẻ đưa được về
phương trình thuần nhất
2) Cách giải :
a) PT asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = psinx + qcosx (1)
Bước 1 Kiểm tra cosx=0 x= k bằng cách thay trực tiếp vào (1) để xem nó có phải là nghiệm
2
của PT (1) hay không
Bước 2 Với cosx 0 , chia theo từng vế của PT cho cos3x, ta có :
(1) atg x+btg x+ctgx+d=ptgx(1+tg x)+q(1+tg x)
(a-p)tg x+(b-q)tg x+(c-p)tgx+d-q=0
Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc ba đối với tgx
b) PT asin4x + bsin3xcosx + csin2x cos2x + dsinxcos3x + ecos4x= psin2x + qcos2x + rsinxcosx (2)
Bước 1 Tương tự như PT (1)
Bước 2 Chia cho cos4x, ta có :
(2) tg x+btg x+ctg x+dtgx+e=ptg x(1+tg x)+q(1+tg x)+rtgx(1+tg x)
(a-p)tg x+(b-r)tg x+(c-p-q)tg x+(d-r)tgx+e-q=0
Bài toán dẫn tới giải phương trình có dạng bậc bốn đối với tgx
☺Chú ý : Các bạn cũng có thể chia cho bất cứ hạng tử nào có bậc cao nhất trong phương trình đang
xét
Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx
1 Định nghĩa :
Phương trình đối xứng đối với sinx, cosx là phương trình dạng
a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó a, b, c R (1)
2 Cách giải :
* Cách 1 : Do (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx nên đặt
Suy ra và PT (1) trở t=sinx+cosx= 2 sin x 2 cos x , ĐK : t 2
2
t 1 sinxcosx=
2
thành bt2 + 2at- (b+2c) = 0 Đó là PT bậc hai đã biết cách giải
* Cách 2 : Đặt t= x thì sinx + cosx = ,
4
2 cos x 2 cos t 4
, nên PT (1) trở thành : 2
sinxcosx= sin 2x cos 2x cos2t cos t
Đây là PT bậc hai đối với cost đã xét ở trên
bcos t 2 cos t c 0
2
3 Chú ý :
Hai cách giải PT (1) cũng áp dụng cho PT a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó a, b, c R
(2) Khác một chút là nếu với (1) ta đặt t=sinx+cosx, thì với (2) ta đặt t=sinx-cosx
4 Bài toán 1 :
Giải phương trình : a tgx-b cotgx=c(asinx bcosx), với ab 02 2 (1)
Cách giải
Trang 5
a sin x-b cos x
sinxcosx
(asinx-bcosx)(asinx+bcosx)=c(asinx bcosx)sinxcosx
(asinx bcosx) (asinx bcosx)-csinxcosx 0
asinx bcosx=0
asinx bcosx-csinxcosx=0
Đây là các phương trình đã xét ở trên
Quy ước : Khi có nhiều dấu trong một biểu thức, trong một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới
5 Bài toán 2 :
Giải phương trình : a(tgx sinx)+b(cotgx cosx) (a+b)=0 (với a, b, c R)
Cách giải
Ta có : a(tgx sinx)+b(cotgx cosx)+(a+b)=0 (với a, b, c R)
a(tgx six 1)+b(cotgx cosx 1)=0
(sin x sin x cosx cosx) (sin x sin x cosx cosx) 0
(sin x sin x cosx cosx) 0 cosx sin x
sin x sin x cosx cosx 0 sin x sin x cosx cosx 0
Đây
là các phương trình đã xét ở trên
Tương tự cho phương trình a(tgx sinx)+b(cotgx cosx)-(a+b)=0
B Tổng quan các phương pháp giải phương trình lượng giác :
☺ Ngoài phương trình lượng giác cơ bản, còn có 5 phương trình đã được trình bày cách giải là : Phương trình
bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx; phương trình thuần nhất đối với sinx, cosx cùng các dạng khuất của nó; phương trình đối xứng đối với sinx, cosx Người ta gọi đó
là các phương trình quen thuộc
☺ Đứng trước một phương trình lượng giác lạ, ta làm thế nào để giải nó ?
Hết sức tự nhiên, tư tưởng nảy sinh trước tiên là tìm cách biến đổi biến đổi về phương trình quen thuộc Đương nhiên có hai khả năng xảy ra :
1) Có phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình quen thuộc
Khi đó người ta quen gọi phương trình đã cho phương trình mẫu mực Các cách biến đổi thường được sử dụng
là đặt ẩn phụ, biến đổi thành phương trình tích
2) Không có phép biển đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình quen thuộc Trong số này, người ta quan tâm nhiều đến hai lớp phương trình sau đây :
a) Phương trình đối cực :
Cho các hàm số f(x) xác định trên Df và g(x) xác định trên Dg
Gọi D=Df Dg Hai phương trình sau được gọi là phương trình đối cực :
* Phương trình đối cực theo vế : Đó là phương trình có giá trị bé nhất (lớn nhất) của một vế không bé hơn (lơn hơn) giá trị lớn nhất (bé nhất) của vế còn lại Nói rõ hơn :
min f(x) max g(x)
Nếu thì f(x)=g(x) được gọi là phương trình đối cực theo vế
max f(x) min g(x)
Do vậy việc giải phương trình đối cực theo vế đồng hành với việc đánh giá (tìm cực trị) các vế Các cách thường được sử dụng để đánh giá là biến đổi về tổng các biểu thức cùng dấu, sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số hoặc đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất
Trang 6
* Phương trình đối cực theo miền : Đó là phương trình f(x) = 0 mà f(x) có giá trị bé nhất (lớn nhất) trên một miền không bé hơn (lớn hơn) giá trị lớn nhất (bé nhất) của miền còn lại liền kề Nói rõ hơn :
i f
min f(x) max f(x)
Nếu (trong đó D =D )thì f(x)=0 được gọi là phương trình đối cực theo miền max f(x) min f(x)
Hai phương pháp thường dùng để giải phương trình đối cực theo miền là đánh giá hoặc phương pháp khảo sát hàm số
b) Phương trình câm : Đó là phương trình mà sự hiển thị các nghiệm của nó chưa tìm được cơ sở lý luận để giải thích Ngoài cách giải đoán nghiệm rồi chứng minh duy nhất, người ta chưa tìm được cách giải nào khác cho loại phương trình này
Phương pháp giải phương trình lượng giác
Biến đổi về
PTLG
quen thuộc
Đặt ẩn phụ Biến đổi về
PT tích
Biến đổi về tổng các biểu thức cùng dấu
Sử dụng BĐT Khảo sát hàm số chứng minh duy nhấtĐoán nghiệm rồi
I Phương pháp biến đổi tương đương về phương trình quen thuộc :
☺ Các hướng biến đổi theo nguyên tắc là :
* Nhiều hàm số lượng giác khác nhau nếu có thể thì biến đổi về một hàm số lượng giác
* Nhiều cung khác nhau nếu có thể thì biến đổi về một cung
* Bậc cao thì hạ bậc
☺ Bạn cần chú ý đến mối liên hệ (tín hiệu) giữa các cung Giả sử có các cung lượng giác a, b, c, d.
a) Mối liên hệ nhân cung :
+ Tín hiệu 1: cung này bằng 2n, 3n (n N) cung kia (b=2 na, b=3na)
Đây là “mảnh đất” dành cho các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba
b) Mối liên hệ cộng cung gồm :
+ Tín hiệu 2 : hai cung hơn kém nhau k (k Z) a b=k
Các hệ thức liên hệ giữa các cung có liên quan đặc biệt sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình + Tín hiệu 3 : tổng, nửa tổng (hiệu, nửa hiệu) hai cặp cung này hơn cung thứ ba là k (a b c k ,
a+b
c k )
2
+ Tín hiệu 4 : tổng (hiệu) hai cặp cung này bằng tổng hoặc hiệu hai cặp cung khác (a b=c d) Các công thức biến đổi tích thành tổng và ngược lại là công cụ sắc bén khi gặp hai tín hiệu 3 và 4
☺ Tất cả các hướng biến đổi ấy đều nhằm vào mục đích :
+ Tìm nhân tử chung, đưa phương trình đã cho về phương tích
+ Chuyển phương trình lượng giác về phương trình đại số
+ Tìm mối liên hệ giữa các hạng tử để đánh giá
☺ Để các bạn nắm chắc vấn đề và tiện theo dõi, sau phần trình bày chung dưới đây, mỗi mục đích sẽ trình bày
trong một tiêu đề riêng
1 Kỹ thuật sử dụng góc nhân đôi, nhân ba :
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau :
8cos x3 =cos3x (ĐH Quốc gia Hà Nội - Khối A - Năm 1999)
3
Trang 7
Lời giải (Phương trình có các tín hiệu 1 và 2, vì thế có lời giải dưới đây)
Cách 1 : Phương trình đã cho tương đương với
2
3
1 cos2 x
3 2
x l (k, l Z) 2
3
Cách 2 (Phương trình dạng khuất bậc ba)
3 3
8cos x =cos3x 2cos x cos3x
3 3
2cos cosx 2sin sin x cos3x 2 cosx 2 sin x cos3x
(1)
(cosx 3 sin x) 4cos x 3cosx
(2) 3
* Nếu cosx=0, ta có (1) ( 3) 0 (Mâu thuẫn)
2 2
* Với cosx 0, chia hai vế cho cos x ta có (1) (1- 3tgx) 4 3(1 tg x)
(1- 3tgx) 1 3tg x (1- 3tgx) (1- 3tgx)(1+ 3tgx)
(1- 3tgx)[(1- 3tgx) (1 3tgx) 0
(1 3tgx)(3tg x 3 3tgx) 0 tgx(1 3tgx)( 3tgx 1) 0
(3)
x k tgx 0
tgx 3 x l (k, l, m Z)
3 1
tgx
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau :
2sin3x(1 - 4sin2x) = 1 (1) (Đại học Xây dựng - Năm 1996)
Lời giải (Phương trình có tín hiệu 1: cung này bằng ba cung kia Vì thế có lời giải dưới đây)
2
k
Ta có: (1) 2sin3x(4cos x-3)=1 (2)
3
* Nếu cosx=0 x= k2 , ta có: (2) 2sinx 3k ( 3) 1
6(-1) 1 (mâu thuẫn)
cos3x
* Với cosx 0, ta có (2) 2sin3x 1 2sin3x.cos3x cosx
cosx
k2
2 2
Trang 8
Lưu ý: Đồng nhất thức 2 cos3x
4cos x 3
cosx
2 Kỹ thuật biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng :
Ví dụ 3 : Giải phương trình :
cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2 (1)
(Đại học Dược Hà Nội - Năm 2000)
Lời giải (Phương trình có tín hiệu 4 : nửa tổng hai cung này bằng cung thứ ba còn lại Vì thế có lời giải dưới
đây)
Cách 1 (Tổng thành tích)
Ta có : cos2x + cos4x + cos6x = 2cos3xcosx + (2cos23x - 1)
= 2cos3x(cos3x+cosx)-1= 4cos3xcos2xcosx-1
Do vậy (1) 4cos3xcos2xcosx-1=cosxcos2xcos3x+2 cosxcos2xcos3x=1
cosx 1 sin x 0
cos2x 1 sin 2x 0 sin x 0 x k (2)
sin3x 0 cos3x 1
Thay (2) vào (1) ta có 1+1+1=(-1) 1.( 1) đúng k Z
Vậy x=
k là họ nghiệm duy nhất của PT đã cho.
Cách 2 (Tích thành tổng)
Ta có : 4cosxcos2xcos3x = 2cos2x.2(cosxcos3x) = 2cos2x(cos2x + cos4x)
= 2cos22x + 2cos2xcos4x = 1 + cos4x + cos2x + cos6x
1
Do vậy (1) cos2x+cos4x+cos6x= (1 cos 4x cos2x cos6x) 2
4 cos2x 1 cos2x cos 4x cos6x 3 cos 4x 1 cos2x 1 x k , k Z
cos6x 1
Đó là họ nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Lưu ý : Đồng nhất thức trong các phương trình trên là :
cos2x + cos4x + cos6x = 4cos3xcos2xcosx - 1
Ví dụ 4 : Giải phương trình :
(1) sinx+sin2x+sin3x
3 cosx+cos2x+cos3x
Lời giải (Phương trình có tín hiệu 3 : nửa hiệu hai cung này bằng thứ ba còn lại Vì thế có lời giải dưới đây)
2sin2xcosx+sin2x sin 2x(2cosx 1)
2cos2xcosx+cos2x cos2x(2cosx 1)
x 30 k90 2x 60 k180
tg2x= 3
x 30 k90 , k Z
2cosx 1 0
Lưu ý Các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toán :
3 cos x.sin3x+sin x.cos3x= sin4x
4 cos x.cos3x+sin x.sin3x=cos 2x
2
4 4 1 2 1+cos x 3+cos4x
cos x+sin x=1- sin 2x= =
2
6 6 3 2 1 3cos 2 5 3cos 4
cos sin 1 sin 2
Trang 9
II Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình lượng giác :
1 Đổi biến dưới hàm số lượng giác : t=φ(x)
Đó là kỹ thuật được áp dụng khi các biểu thức dưới hàm số lượng giác có mối liên hệ đặc biệt : bù nhau, phụ nhau, hơn kém nhau k , biểu thức này gấp hai, gấp ba biểu thức kia
2
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau :
(Đề 52.II - Bộ đề tuyển sinh ĐH)
2 4x
a) cos cos x
3
(Đề 15.III- Bộ đề tuyển sinh ĐH)
b) 1+2cos 3cos
Lời giải
2
a) Ta có : cos cos x cos (1 cos2x)
4x 2cos 1 cos2x (1) 3
Đặt t= ( x ), ta có cos cos2t 2cos t 1, cos2x=cos3t=4cos t 3cos t
Phương trình (1) trở thành 2(2cos2t-1)=1+(4cos3t – 3cost)
4cos t 4cos t 3cos t 3 0 4cos t(cos t 1) 3(cos t 1) 0
(cos t 1)(4cos t 3) 0 (cos t 1)(4cos t 3) (cos t 1)(2cos2t 1) 0
3t
2
(k, l Z)
(1)
b) Ta có : 1+2cos 3cos 2 cos 3cos
2
2
Đặt t= x , phương trình (1) trở thành 1+cos3t=3cos2t
2+4cos t-3cost=3(2cos t-1) 4cos t-2cos t-3cost+3=0
cost+1=0 (cost+1)(4cos t-2cost-5)=0
4cos t-2cost-5=0
5
t (2k 1) 2 với cos =1- 21
Ví dụ 2 : Giải phương trình 8cos x 3 cos3x
3
(ĐH Quốc gia Hà Nội - Khối A - Năm 1999)
Lời giải
.
Đặt t=x+ x t cos3x cos(3t ) cos3t
Phương trình (1) trở thành :
Trang 10
2
8cos t cos3t 0 8cos t (4cos t 3cos t) 0
cost(4cos t-1)=0 cost(2cost-1)(2cost+1)=0
* cost=0 t=x+ k
3 2
x k , k Z
6 1
x=k2
2 (k Z)
x=- k2
3
* cost
3 (k Z)
Tóm lại, nghiệm của phương trình (1) là :
x=k ; x= k ; x= k (k Z)
Ví dụ 3 : Giải phương trình sin 3 x 1sin 3x (1)
(ĐH Thủy Lợi - Năm 2001-2002)
Lời giải
Do vậy, đặt t= x 2t, phương trình (1) trở thành sint= sin3t
2sint=(3sint-4sin t) sint(4sin t-1)=0 sint(2cos2t-1)=0
sint=0
1
3
3
4
5 5 hay x l2 (k, l, m Z).
14
15
2 Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ : t = L(x), (L(x) là một biểu thức lượng giác)
Các phương trình xét trong mục này thực chất là phương trình đại số với biến là L(x) Các bạn nhớ lại các kỹ thuật đặt ẩn phụ của các phương trình đại số sau đây :
2
aQ (x) bQ (x) cQ (x) bQ(x) a 0
(a, b, c R, a b 0)
1 t= Q(x)+
Q(x)
P(x)+Q(x) P(x) Q(x) 2 P(x).Q(x) 0 ( 2+ >0)2