Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết Trong mục này chúng tôi chỉ xin ñề cập tới một số bài toán vận dụng bất ñẳng thức Côsi và bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối... Ch[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠ I H Ọ C MÔN TOÁN
Trang 2NGUY Ễ N V Ă N XÁ
TỔ TOÁN
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2
CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠ I H Ọ C MÔN TOÁN
B BẤT ĐẲNG THỨC ẤT ĐẲNG THỨC
Trang 3LỜI NÓI đẦU
được sự tạo ựiều kiện của lãnh ựạo Nhà trường và sự cổ vũ của ựông ựảo ựồng nghiệp, tổ Toán ựã tổ chức biên soạn tài liệu ôn thi đại học, gồm
nhiều chuyên ựề bám sát cấu trúc ựề thi do Bộ Giáo dục và đào tạo qui ựịnh Tài liệu này ra ựời ựóng góp vào những nỗ lực chung của toàn trường trong việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học Trong quá trình biên soạn, chúng tôi vừa trao ựổi với các ựồng nghiệp trong và ngoài tổ, vừa tham khảo các tài liệu luyện thi hiện có, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong trường Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi đại học có rất nhiều, chúng tôi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nói của riêng mình
Chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nói trên Ban ựầu chúng tôi có ý ựịnh biên soạn chuyên ựề BẤT đẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian không cho phép nên chúng tôi mới chỉ ựề cập ựến một số vấn ựề về bất ựẳng thức, vận dụng bất
ựẳng thức ựể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, còn các vấn ựề chung về giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nó chúng tôi chưa có ựiều kiện trình bày Tới ựây, chúng tôi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung ựó thành một chuyên ựề khác hoặc cũng có thể tiếp nối vào chuyên ựề này
Vì nhiều lắ do mà chất lượng của tài liệu này còn nhiều ựiều ựáng bàn Chúng tôi rất mong các ựồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai sót hoặc chưa hợp lắ ựể chúng tôi kịp thời khắc phục Các ý kiến xin vui lòng gửi về email: toan.thptyenphong2@gmail.com.
Chúng tôi bày tỏ sự kắnh trọng và biết ơn tới ựồng chắ Hiệu trưởng và
ựồng chắ Tổ trưởng vì những giúp ựỡ của các ựồng chắ ựể tài liệu này ựược
hoàn thành Chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các ựồng nghiệp, các học sinh
ựã quan tâm tới tài liệu này
Trang 4TÀI LIỆU THAM KHẢO
[01] Bộ Giáo dục và đào tạo Ờ Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT môn Toán
(cơ bản và nâng cao) Ờ NXB GDVN, 2010
[02] Bộ Giáo dục và đào tạo Ờ Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 10, 11,
12 ỜNXB GDVN, 2010
[03] Nguyễn An Ninh (cb) Ờ Cấu trúc ựề thi môn Toán, Vật Lắ, Hoá Học, Sinh Học năm 2010 Ờ
NXB GDVN, 2010
[04] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán đại số và Lượng giác 11 Ờ NXB
GDVN, 2009
[05] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Giải tắch 11 Ờ NXB GDVN, 2009
[06] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Hình học 11 Ờ NXB GDVN, 2009
[07] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Hình học 10 Ờ NXB GDVN, 2009
[08] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán đại số 10 Ờ NXB GDVN, 2009
[09] Võ Anh Dũng (tcb), Trần đức Huyên (cb) Ờ Giải toán Lượng giác 10 Ờ NXB GDVN, 2009
[10] Trần Phước Chương, đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh Ờ Rèn luyện kĩ năng giải các dạng
bài tập đại số 10 nâng cao Ờ NXB GDVN, 2007
[11] Nguyễn Văn Quắ, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà Ờ Các dạng toán về Bất ựẳng thức,
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Ờ NXB đà Nẵng, 1998
[12] Trần Tuấn điệp, Nguyễn Phú Trường, Ngô Long Hậu Ờ Giới thiệu ựề thi tuyển sinh vào
đại học, Cao ựẳng trong toàn quốc môn Toán Ờ NXB Hà Nội, 2010
[13] Trần Văn Hạo (cb) Ờ Chuyên ựề luyện thi vào đại học: Bất ựẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất Ờ NXB GD, 2001
Lop12.net
Trang 5MỤC LỤC
Trang
TÀI LIỆU THAM KHẢO 2
MỤC LỤC 3
1 KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4
1.1 ðịnh nghĩa ……… 4
1.2 Một số tính chất ……… 4
1.3 Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối ……… 4
1.4 Bất ñẳng thức Côsi ……… 5
1.5 Bất ñẳng thức lượng giác ……… 5
1.6 Bất ñẳng thức hình học ……… 6
2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 2.1 Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương pháp làm trội ……… 7
2.2 Phương pháp phản chứng ……… 11
2.3 Phương pháp qui nạp toán học ……… 11
2.4 Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết ……… 14
2.5 Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác ……… 17
2.6 Phương pháp vận dụng kiến thức hình học……… 19
2.7 Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số……… 20
3 VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 3.1 Nhắc lại ñịnh nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất……….31
3.2 Một số ví dụ vận dụng bất ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất……… 31
Trang 6Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
4
1 KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC
Cho hai số thực a và b Ta nói “a lớn hơn b” và viết “a > b” (hoặc viết “b < a”) nếu a – b là số dương (hay b – a là số âm), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn a” Ta nói “a lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” (hoặc viết “b ≤ a”) nếu a – b là số không âm (hay
b – a là số không dương), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn hoặc bằng a” Như vậy:
a b a b 0; a b a b 0;
a b a b 0; a b a b 0
> ⇔ − > < ⇔ − <
≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤
Các mệnh ñề có dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” ñược gọi
là bất ñẳng thức Trong ñó, khi cần thiết, hai bất ñẳng thức ñầu tiên ñược gọi là bất ñẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất ñẳng thức sau gọi là bất ñẳng thức không ngặt Nếu không nói gì thêm, khi ñề cập ñến bất ñẳng thức thì ta hiểu ñó là các mệnh ñề ñúng Bài toán chứng minh bất ñẳng thức là bài toán chứng minh bất ñẳng thức ñã cho là mệnh ñề ñúng
Chúng ta ñề cập tới ở ñây một số tính chất thường gặp của bất ñẳng thức
1) a b
a c
b c
>
⇒ >
>
(tính chất bắc cầu)
2) a< ⇔ + < +b a c b c (a < + ⇔ − <b c a c b) (cộng hai vế bất ñẳng thức với cùng một số)
3) a b
c d
<
⇒ + < +
<
(cộng vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều)
a.c b.c; a.c b.c
< <
> <
(nhân hai vế của bất ñẳng thức với một số khác 0)
5) 0 a b
ac bd
≤ <
⇒ <
≤ <
(nhân vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều có các vế không âm)
< <
⇒ >
< <
(nghịch ñảo hai vế (cùng dấu) bất ñẳng thức)
7) Nếu n∈ℕ thì a< ⇔b a2n 1+ <b2n 1+ ⇔2n 1+ a <2n 1+ b
Nếu n∈ℕ và 0* ≤ <a b thì an <bn và na <nb
8) Nếu a > 1 thì au <av ⇔ <u v Nếu 0 < a < 1 thì au <av ⇔ >u v
9) Nếu α >0, a>0, b>0 thì aα >bα ⇔ >a b
Nếu α <0, a >0, b>0 thì aα >bα ⇔ <a b
10) a+ b ≥ a+b, a, b∀ ≥0 Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0
Trang 7Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
5
5
11) x2n ≥0, x∀ ∈ ∀ ∈ℝ, n ℕ* Ta hay sử dụng bất ñẳng thức ở dạng x2 ≥ ∀ ∈0, x ℝ
12) Nhờ công thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x ≥ 0, n ∈ ℕ *, ta có
(1 x)+ = +1 nx x+ + ≥ +1 nx, bất ñẳng thức (1 x)+ n ≥ +1 nx ñược gọi là bất ñẳng thức Béc−nu−li Từ bất ñẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất ñẳng thức Côsi ta có
n 1 na + < + ∀ ∈ 1 a, n ℕ , n > ∀ > 1, a 0.
13) Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 + ≤ b.
1) |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0
2) |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0
2) | a |+| b | | a≥ + ≥b | || a |−| b ||
| a | | b | | a+ = + ⇔b | a.b≥0; || a | | b || | a− = + ⇔b | a.b≤0
| a | b b a b; | a | b
≥
≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔
≤ −
1) Bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm a, b: a b
ab
2
+ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b 2) Bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c: a b c 3
abc
3
+ + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
3) Bất ñẳng thức Côsi cho n số không âm a1, a2, …, an: 1 2 n n
a a a
a a a n
+ + + ≥
Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = …= an
4) Hệ quả: Với n số dương a1, a2, …, an ta có 1 2 n 2
(a a a )( ) n
+ + + + + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = …= an
5) Với n số không âm a1, a2, …, an, kí hiệu 1 1 2 1 n
n
a a a
C
+ + +
=
i j
1 i j n
n
a a
C
≤ < ≤
=
∑
i j k
1 i j k n
n
a a a
C
≤ < < ≤
=
∑
… ; n 1 2 n
n n
a a a
C
k!.(n k)!
S ≥ S ≥ S ≥ ≥ S , dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = …= an Một số tác giả gọi ñây là dãy bất ñẳng thức xen kẽ Côsi
1) a.sin x+b.cos x ≤ a +b , x∀ ∈ℝ Dấu “=” xảy ra khi a.cosx = b.sinx
Trang 8Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 6
Hệ quả: − ≤1 sin x 1; 1 cos x 1.≤ − ≤ ≤
2) tan x cot x 2, x k , k
2
π + ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k , k
4
π
= ± + π ∈ℤ
1) Với ba ñiểm bất kì A, B, C thì AB+AC≥BC, dấu “=” xảy ra khi A thuộc ñoạn BC 2) Với mọi u, v
ta có u + ≥ +v u v , dấu “=” xảy ra khi u, v
cùng hướng
3) Với mọi u, v
ta có u v ≥ u.v , dấu “=” xảy ra khi u, v
cùng phương
4) Ba số dương a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất
kì trong ba số ñó lớn hơn số còn lại
Trang 9Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
7
THỨC
pháp làm trội
ðể chứng minh bất ñẳng thức A > B ta có thể chứng minh A – B > 0 Ta thường vận dụng các phép biến ñổi tương ñương ñể chuyển bất ñẳng thức A – B > 0 thành bất ñẳng thức luôn ñúng hoặc giả thiết Ta cũng có thể xuất phát từ giả thiết hoặc một mệnh ñề ñúng nào ñó, qua các phép biến ñổi hệ quả dẫn ñến bất ñẳng thức A – B > 0
Lưu ý một số sự kiện:
i) A2 ≥ ∀ ∈0, A ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0
ii) a ≥ ∀ ∈0, a ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0 ,
iii) a + ≥ ∀ ∈a 0, a ℝ dấu “=” xảy ra khi a, ≤0
iv)
= = ≤ < ≤
v)
n
n
k 0
(a b) C a − b
=
+ = ∑
vi) an −bn = −(a b)(an 1− +an 2− b+an 3 2− b + + abn 2− +bn 1− )
vii) a3+b3+ −c3 3abc= + +(a b c)(a2+b2 + − −c2 ab bc ca).−
ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng u1+ + un ≤ α ta có thể chứng minh
u ≤v −v + , k∀ =1, 2, , n, và chứng minh v1−vk 1+ ≤ α
ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng u u u1 2 n ≤ α ta có thể chứng minh
k k
k 1
v
u , k 1, 2, , n,
v +
k 1
v
v +
≤ α
ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng a + b + c ≤ x + y + z ta có thể chứng minh
a b 2z
b c 2x
c a 2y
+ ≤
+ ≤
+ ≤
hoặc
2a y z 2b z x 2c x y
≤ +
≤ +
ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng abc≤xyz (với a, b, c, x, y, z≥0) ta có
thể chứng minh
2
2
2
ab z
bc x
ca y
≤
≤
hoặc
2
2
2
≤
≤
1) Chứng minh rằng 8 5 2 1
a a a a 0 (1), a
3
Trang 10Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
8
8
2) Chứng minh rằng (ax+by)2 ≤(a2 +b )(x2 2+y ) (2), a, b, x, y2 ∀ ∈ℝ (bất ñẳng thức Bunhiacôpxki)
☺ HƯỚNG DẪN
2
− ≥
và a 3 1 2
với mọi a Vậy (1) ñúng với mọi a
2) Bất ñẳng thức (2)⇔(ay−bx)2 ≥0 ñúng với mọi a, b, x, y; dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
1) Chứng minh rằng na+nb ≥na+ ∀ ∈b, n ℕ, n≥ ∀2, a, b≥0
2) Chứng minh rằng xn m+ +yn m+ ≥x yn m+x y , x, ym n ∀ ∈ ∀ℝ, n, m∈ℕ*, và m, n cùng tính chẵn lẻ
☺ HƯỚNG DẪN
1) Ta thấy
( a+ b) = +a C a − b+ + C − a b − + ≥ + ≥ ∀ ∈b a b 0, n ℕ, n≥ ∀2, a, b≥0 nên na +nb ≥na+ ∀ ∈b, n ℕ, n≥ ∀2, a, b≥0
2) Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với (xm−y )(xm n −y )n ≥0 (*)
– Nếu n, m cùng lẻ thì xm −ym ≥ ⇔0 xm ≥ym ⇔ ≥ ⇔x y xn ≥yn ⇔ xn −yn ≥0 và
x −y ≤ ⇔0 x −y ≤0, nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = y
– Nếu n, m cùng chẵn thì xm−ym≥ ⇔0 xm ≥ym ⇔ ≥ ⇔| x | | y | xn ≥yn ⇔xn−yn ≥0
và xm−ym ≤ ⇔0 xn −yn ≤0, nên (*) ñúng, dấu “=” xảy ra khi x = ±y
Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñược chứng minh
Cho tam giác ABC Chứng minh với mọi x, y, z ta có
2
+ +
☺ HƯỚNG DẪN
ðặt a BC, b CA, c AB
thì a = = =b c 1 và (a,b) = π−C, (b,c) = π−A, (c,a) = π−A.
Ta xuất phát từ bất ñẳng thức luôn ñúng (x.a+y.b+z.c) 2 ≥0
x y z 2xy.cos(a, b) 2yz.cos(b, c) 2zx.cos(c, a) 0
x y z 2xy.cos C 2yz.cos A 2zx.cos B 0
Trang 11Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
9
9
x y z xy.cos C yz.cos A zx.cos B (ñpcm)
2
+ +
2
+ + ≤
Cho a, b, c dương và thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng
+ + + + + +
☺ HƯỚNG DẪN
1) Với mọi a, b ta có (a – b)2 ≥0 nên a2− +ab b2 ≥ab Từ ñây và do
a>0, b>0, abc=1 suy ra a3+ + = +b3 1 (a b)(a2− +ab b ) 1 ab(a b) abc ab(a b c)2 + ≥ + + = + +
(1)
thức
vế ta ñược
1
+ + + + + + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
2) Do a, b 0 nên a b (a b)(a a b a b ab b )
(a b)((a b) (a ab b ) a b ) (a b)a b
ab(a b) 1 ab(a b) abc ab(a b c) a
> + = + − + − +
= + − + + + ≥ +
Vậy
1
+ + + + + + , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng a b c d
M
+ + + + + + + +
không phải là số nguyên
☺ HƯỚNG DẪN
Ta có
a b c d a b c a c
a b c d b c d b d
a b c d c d a a c
< <
< <
< <
Trang 12Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
10
10
a b c d < d a b < b d
+ + + + + + Suy ra 1 < M < 2 Vậy M không phải là số nguyên
Chứng minh
n
k 1
1
kα
=
< ∀ ∈ ≥ ∀α ≥
☺ HƯỚNG DẪN
2
2
2
1 1 1 1 1
Ta có
1.2 1 2
2 2
1 1 1 1 1
2.3 2 3
3 3
(n 1).n n 1 n
n n
α
α
α
≤ < = −
≤ < = −
≤ < = −
Suy ra
n
k 2
2 2 3 n 1 n n
kα
=
< − + − + + − = − <
−
n
k 1
1
kα
=
< ∀ ∈ ≥ ∀α ≥
sin A sin B sin C cos cos cos
☺ HƯỚNG DẪN
* Với mọi x, y∈ π[0; ] thì x y x y
+ ∈ π − ∈ −π π
nên x y
2
+ ≥ và
x y
2
−
≤ ≤ Do ñó sin x sin y 2sinx ycosx y 2sinx y (1), x, y [0; ]
Dấu “=” xảy ra khi x = y∈ π[0; ]
* Với mọi a, b > 0 áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có 1 1 2 4
(2)
a + ≥b ab ≥ a b
xảy ra khi a = b > 0
* Với mọi ∆ABC luôn có sinA, sinB, sinC, A B C
cos , cos , cos 0
sin A sin B sin A sin B 2sin cos
+
sin B sin C cos sin C sin A cos
sin A sin B sin C cos cos cos
ABC là tam giác ñều
Trang 13Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh
11
11
Giả sử ta phải chứng minh bất ñẳng thức nào ñó ñúng, ta hãy giả sử bất ñẳng thức ñó sai và kết hợp với giả thiết và các tính chất ñúng ñã biết ñể suy ra ñiều vô lí ðiều vô lí ñó có thể là ñiều trái với giả thiết hoặc trái với một mệnh ñề ñúng nào ñ y, cũng có thể là hai ñiều mâu thuẫn với nhau Từ ñó suy ra bất ñẳng thức cần chứng minh là ñúng
Cho a, b,c∈(0;1) Chứng minh trong ba bất ñẳng thức sau có ít nhất một bất ñẳng thức
a(1 b) , b(1 c) , c(1 a)
− > − > − >
☺ HƯỚNG DẪN
Giả sử cả ba bất ñẳng thức ñó ñều ñúng Lúc này ta có a(1–a)b(1–b)c(1–c)> 1
64 (1)
< − = − = − − ≤ < − ≤ ≤ − ≤ Suy
ra a(1–a)b(1–b)c(1–c) ≤ 1
64 (2) Mâu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ ñiều ta giả sử là sai Vậy trong ba bất ñẳng thức ñã cho có ít nhất một bất ñẳng thức sai
Cho f(x) = x2 +ax + b Chứng minh rằng trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| có ít nhất một
số không bé hơn 1
2
☺ HƯỚNG DẪN
Giả sử cả ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| ñều bé hơn 1
2 Tức là
| f ( 1) | |1 a b | (1), | f (0) | | b | (2), | f (1) | |1 a b | (3)
− = − + < = < = + + <
Từ (1) và (3) suy ra
1 a b
1 a b
− < − + <
⇒− < + < ⇒− < < −
− < − + <
Từ (2) suy ra 1 b 1 (5)
− < < Mâu thuẫn giữa (4) và (5) chứng tỏ ñiều ta giả sử là sai Vậy trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| có ít nhất một số không bé hơn 1
2
ðể chứng minh bất ñẳng thức là mệnh ñề có dạng " n∀ ∈ℤ, n≥n : P(n)"0 (n0 là
ấ