[r]
Trang 11 Sử dụng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :
a) e x x 1 , x R
b) ln(x 1) x , x 0
Giải :
a) Xét hàm số f(x)= ex-x-1 , x thuộc R
f’(x) =ex-1 , f’(x)=0 ex-1=0 x=0
x<0 => ex<1 => f’(x) <0=> f(x)>f(0)=0
x 0=> e x 1=> f’(x) 0=>f(x) f(0)=0
Với mọi x thuộc R , ta có ex-x-1 0 => đpcm
b) Xét hàm số f(x)=ln(x+1)-x , x>0
f(x)<f(0)=0
ln(x 1) x , x 0, (đpcm)
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :
1
x
Giải :
a) Xét hàm số f x lnx x 1,x 0
x
2x 2
o 0<x<1 => f(x)>f(1)=0 => lnx x 1 0=> =>
x
x
1
x
o x>1 => f(x)<f(1)=0 => lnx x 1 0=>
x
1
x
=> ln 1 , , 0, 1 (đpcm)
1
x
b) Xét hàm số ( ) ln 4x =lnx-ln(x-1)-4x
1
x
f x
x
'( ) 1 1 4 1 4x2 4x 0, 1
Hàm số nghịch biến trên (1,+oo)
f(a)>f(b) , Va,b , 1<a<b
ln 4 ln 4 , Va,b , 1<a<b
ln ln 4a 4 , Va,b , 1<a<b
b
1 ln ln 4, Va,b , 1<a<b (đpcm)
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :
a) a b <b a , a,b 0<a<b<1
Trang 2b) 2 1 2 1 , , : 0
Giải :
a) Xét hàm số f(x)= ln x , x thuộc (0,1)
x
f’(x) = 1 ln x2 > 0 , x thuộc (0,1) => hàm số đồng biến trên khoảng (0,1)
x
f(a)<f(b) , a,b 0<a<b<1
lna lnb a,b 0<a<b<1
b a a bln ln a,b 0<a<b<1
lna b lnb aa,b 0<a<b<1
Đpcm
b) Xét hàm số ( ) ln(1 4 ), x>0
x
f x
x
4 ln 4 (1 4 ) ln(1 4 ) 4 ln 4 (1 4 ) ln(1 4 )
x
f x
Xét g(x)=xlnx, x>1
g’(x)=1+lnx>0 , x>1=> g(4x)<g(1+4x)=> f’(x)<0, x>0
f(a) f(b), a b, : 0 a b
a b
(1 4 ) a b (1 4 ) ,0b a a b
a b b a
a b a b a b
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng
2
x
b) ln(x 1) x 1, x 1
Giải :
a) Xét hàm số : (x) ln( 1) 2x , 0
2
x
2
x
f(x)>f(0)=0
đpcm
b) Xét hàm số f(x)= ln(x 1) x 1, x 1
x
x
f’(x)=0 x=5
o 1<x<5 => f’(x)>0
Trang 3o x>5=> f’(x)<0
=> f(x) f(5)=2ln2-2<0=> đpcm
Ví dụ 5 : Chứng minh rằng :
a) xln(x 1 x2 ) 1 1 x2 , x
a b c a b
Giải :
a) Xét hàm số f(x)= xln(x 1 x2 ) 1 1 x2 , x
f’(x) =ln(x 1 x2 )
f’(x)=0 x=0
o x<0 => f’(x)<0
o x>0=> f’(x)>0
=> f(x) f(0)=0
=> đpcm
b) Xét hàm số ( ) , , , , 0, f(0)=
b x
a x
b x
b
a b
/
b x
b x
Đặt g x( ) b a lna x ,
2 2
=> g(x) nghịch biến (0,+oo) , lim ( ) 0
x g x
=> g(x)>0 , x>0
=> f’(x)>0, x>0
=> f(c)>f(0) , c>0
=> đpcm