Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại giải bài tập về tính thể tích của khối chóp

Phương pháp phân chia và lắp ghép khối chóp Cở sở của phương pháp này là: Nếu khối chóp phức tạp hoặc chưa tính thể tích ngay được thì ta có thể phân chia khối chóp thành những khối chóp[r]

Phần I

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán học lớp 12, bài toán về tính thể tích của khối đa diện (đặc biệt là khối chóp) giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các

đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải

có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các bài toán về tính thể tích của khối chóp

Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Phân loại giải bài tập về tính thể tích của khối chóp” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích của khối chóp, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó

có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phần II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

I Cơ sở lí thuyết

Để tính thể tích của khối chóp ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

1 Tính trực tiếp dựa vào các định lí sau:

Định lí 1 Cho khối chóp có đỉnh S và đáy là B Kí hiệu V, S, h lần lượt là thể tích,

diện tích đáy và chiều cao của khối chóp Khi đó

1 3

Định lí 2 Thể tích V của khối tứ diện ABCD được cho bởi công thức sau:

1

6

V = AB AC AD (2)

2 Tính gián tiếp

a) Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng (P) và M, N ∈ thì

(M P;( )) ( ;( ))N P

Kết quả 2 Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng (P) tại điểm I và M, N ∈ (M, N không trùng với I) thì

( ;( )) ( ;( ))

M P

N P

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) 1 ( ;( ))

2

nếu I là trung điểm của MN thì d(M P;( )) =d( ;( ))N P

Kết quả 3 Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = kMC (k >

0) Khi đó S ABM = kS ACM hay

1

k

k

= +

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của BC thì 2S ABM =S ABC

b) Phương pháp phân chia và lắp ghép khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì

V =V +V hay

c) Phương pháp dùng công thức về tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác

Bài toán Cho hình chóp tam giác S.ABC Trên các tia SA, SB, SC lần lượt lấy A’, B’, C’ không trùng với điểm S Khi đó ta có công thức sau

' ' ' ' ' '

S A B C

II Bài tập áp dụng

1 Phương pháp tính trực tiếp

Cơ sở của phương pháp này là công thức 1

3

Phương pháp này thích hợp khi ta có thể dễ dàng tính được diện tích đáy S và chiều cao h của khối chóp Một trong những dấu hiệu của nó là ta có thể xác định được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh Sau đây là một số ví dụ minh họa

Bài 1 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác

vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’

Phân tích Khối chóp A’.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và chiều cao là A’H

(H là trung điểm của BC) nên bài này chúng ta áp dụng trực tiếp công thức

Lời giải Gọi H là trung điểm của BC

Giả thiết suy ra A’H ⊥ (ABC)

3

2

ABC

a

Tam giác ABC vuông tại A suy ra

2 2

Tam giác AHA’ vuông tại H suy ra

2 2

Vậy

'.

A ABC ABC

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D;

2 ,

AB AD= = a CD a= ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi

I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a

Phân tích Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, theo giả thiết

SI ⊥ (ABCD) nên SI là chiều cao của hình chóp

Lời giải Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và

cắt nhau theo giao tuyến SI suy ra SI ⊥ (ABCD) Bởi vậy . 1

3

S ABCD ABCD

3 2

ABCD

AB DC AD

Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc giữa

(SBC) và (ABCD) bằng 600

Cách 1 Gọi K là hình chiếu của I trên BC,

suy ra CB⊥IK Kết hợp với CB⊥SI ta

được CB⊥SK

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

(ABCD) là góc SKI ⇒SKI =600

Ta có

2

3

2

IBC ABCD ABI DCI

a

IBC IBC

BC

= ⇒ = = Tam giác SIK vuông tại I suy ra

0 3 15 tan 60

5

.

1 3 15 3 15

3

S ABCD

Cách 2 Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ I, D(a ; 0 ; 0),

C(a ; a ; 0), S(0 ; 0 ; h) suy ra B( a ; 2a ; 0), A( a ; 0 ; 0) Từ giả thiết góc giữa (SBC) và (ABCD) bằng 600 ta tính được h

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD

a) Chứng minh SC ⊥ (AHK)

b) Tính thể tích khối chóp OAHK

Phân tích SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể

xác định được theo phương SC, hơn nữa, tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó

Lời giải

a) AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC

Tương tự AK ⊥ SC Vậy SC ⊥ (AHK)

b) Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung

điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK)

3

OAHK AHK

SA = AC = a 2 ⇒ SAC cân tại A ⇒ I là

trung điểm của SC

Vậy 1 1 1.2

a

Suy ra SK SH HK / /BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên

BD = SO = ⇒ = = Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm

của HK nên AG ⊥ HK và 2 2 1 1.2 2

a

2

AHK

OAHK AHK

Cách 2 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (OHK) bằng khoảng cách h từ A đến

mặt phẳng (SBD) Tứ diện ASBD vuông tại A nên

a h

Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

Cách 3 Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2)

Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0;2 ; 2

a a

 , K 2 ;0; 2

2 2

a a

Áp dụng công thức 1 ,

6

V = AH AK AO

Bài 4 Cho Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên

tạo với đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Phân tích Dễ thấy BD ⊥ (SAC), EF // BD ⇒ EF ⊥ (SAC) Mặt khác tam giác SAC cân và có một góc bằng 600 nên SAC đều, do đó tính được diện tích SAM

Lời giải

Cách 1 Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của AM và SO Dễ thấy

EF đi qua I và EF // BD và SO⊥(ABCD) BD ⊥ AC, BD ⊥ SO ⇒ BD ⊥ (SAC)

⇒ EF ⊥ (SAC) Ta có OA là hình chiếu của SA trên (ABCD) nên góc giữa SA và

(ABCD) là góc SAO Tam giác SAC cân tại S và có SAO =600 nên tam giác SAC đều cạnh a 2 suy ra 2 3, 1 2

AM = SM = SC = và AM ⊥ SC

Do tính đối xứng nên

3

a

Cách 2 EF ⊥ (SAC) ⇒ EF ⊥ AM Lại có SC ⊥ BD ⇒ SC ⊥ EF,

do đó SC ⊥ (AEMF)

(I là trọng tâm tam giác SAC)

Tứ giác AEMF có AM ⊥ EF nên

2

AEMF

a

Vậy thể tích V của hình chóp S.AEMF là

Cách 3 Phương pháp tọa độ Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O là tâm của hình vuông ABCD, B 2;0;0

2

a

2

a

2

a

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có độ dài cạnh SA bằng x, tất cả các cạnh còn lại

đều có độ dài bằng 1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất

Phân tích Chân đường vuông góc hạ từ S xuống (ABCD) thuộc AC nên ta xác

định được đường cao OA OC OS= = nên tam giác SAC vuông tại S, do vậy tính được SH, AC và diện tích của ABCD

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của S trên mp(ABCD)

Do SB = SC = SD nên HB = HC = HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Tam giác BCD cân tại C nên H thuộc CO, O là giao của AC và BD

CBD= ABD= SBD ⇒OC OA OS= = ⇒ SAC vuông tại S ⇒ AC= x2 +1

1

x SH

+

3 2

2 2 2

ABCD

áp dụng BĐT Côsi ta có

2 2 2

Đẳng thức xảy ra 6

2

x

⇔ = Vậy V lớn nhất khi 6

2

x=

Bài 6 Cho mặt cầu tâm O bán kính R Lấy một điểm S thuộc mặt cầu, xét ba điểm

A, B, C thuộc mặt cầu sao cho SA = SB = SC và ASB BSC CSA= = =α (00 <α <900) Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo R và α

Phân tích Từ giả thiết suy ra S.ABC là hình chóp đều,

bởi vậy tính được V S ABC. theo α và SA = a Giả sử

SO cắt (S) tại S’, khi đó tâm I của tam giác ABC thuộc

SS’ và tam giác SAS’ vuông tại A nên tính được a

Theo R và α

Lời giải

Theo giả thiết S.ABC là hình chóp đều

Gọi I là trọng tâm ABC thì I cũng là

tâm đường tròn ngoại tiếp ABC và SI ⊥(ABC)

Do OA OB OC= = nên O SI∈ Giả sử SI cắt lại mặt cầu tại S’ thì SS’ = 2R

Đặt SA = SB = SC = a SAS'vuông tại A nên SA2 = SI.SS’

2 2 ' 2

SI

Trong tam giác SAB ta có AB2 =SA2 +SB2 −2 cosSA SB α

2 (1 cos ) 4 sin2 2 2 2 sin

2 4

ABC

Để tính a theo R và α, ta chú ý rằng 2

3

AI = AJ, J là trung điểm BC

AB

AJ = =a α ⇒ AI = a α Tam giác SAI vuông tại I nên

2 2 2

4 2

2

R

Vậy 8 3 3 2 4 2 2 8 3 3 23

S

A

C

O

B

J S’

I

Bài 7 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt

bên SAB, SBC, SCA đều tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC

Phân tích Từ giả thiết tính được diện tích ABC Các mặt bên hợp với đáy góc

600 nên chân đường vuông góc hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp ABC, bởi vậy tính được đường cao

Lời giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC); E, F, I lần lượt

là hình chiếu của H trên AB, BC, CA Khi đó SH ⊥ (ABC)

AB ⊥ SH, AB ⊥ HE ⇒ AB ⊥ SE ⇒ SEH =600 Tương tự SFH = SIH =600 Các tam giác vuông SHE, SHF, SHI bằng nhau suy ra HE = HF = HI = r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC) Kí hiệu p, S lần

lượt là nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC, khi

đó p = 9a, S = 6 6a (theo công thức hêrông) Mặt 2

3

P

= ⇒ = = Áp dụng hệ thức lượng

trong tam giác SHE ta có SH = rtan 600 =2 2a

.6 6 2 2 8 3

SABC

Bài 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng

BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600, tam giác ABC vuông tại C và BAC =600 Hình chiếu của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

Phân tích Gọi G là trọng tâm ABC

thì B’G ⊥ (ABC), A’B’ // (ABC) nên

( ';(A ABC)) ( ';(B ABC)) '

d =d = B G Từ đó tính

được B’G và diện tích ABC

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi

đó B’G ⊥ (ABC), góc giữa BB’ và mặt

phẳng (ABC) là góc B BG '

0

B BG

⇒ = Ta có A’B’ // (ABC)

( ';(A ABC)) ( ';(B ABC)) '

Vậy ' 1 '

3

A ABC ABC

V = S B G Tam giác BB’G có '.cos600

2

a

0 3 ' '.sin 60

2

a

a

BM = BG= Tam giác ABC vuông tại C và

có góc BAC =600 nên nếu đặt AB = 2x thì AC = x ⇒ MC =

2

x

, BC = x 3 Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông BCM ta được

Vậy

'

A ABC

*Nhận xét Ở bài toán trên ta đã thay đỉnh A’ bằng đỉnh B’ mà thể tích không thay

đổi, trong khi với đỉnh B’ ta dễ dàng xác định được chân đường vuông góc Việc làm này nhiều khi rất thuận lợi và đó chính là nội dung của phương pháp 2 sau đây

2 Phương pháp trượt đỉnh, dãn đáy

Cơ sở của phương pháp này là bằng cách thay đỉnh và mở rộng đáy, ta quy việc tính thể tích của khối chóp đã cho về việc tính thể tích của những khối chóp đặc biệt

Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC là

dễ dàng Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính thể tích của khối tứ diện AMNP

về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên Trong các mặt của khối tứ diện AMNP ta thấy tam giác AMN có thể mở rộng thành tam giác SAB, khoảng cách từ

P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng

cách từ C đến (SAB)

Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi

đó SO ⊥ (ABCD)

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

( ;( )) ( ;( ))

( ;( )) ( ;( ))

.

4V C ABS 4V S ABC 4 3S ABC SO

,

ABC

a

Vậy

3 2

AMNP

Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc

0

30

ABC = ; SA = 3a và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD, O là giao điểm của AC và BD Tính thể tích khối

tứ diện OAMN

Phân tích Khối tứ diện OAMN có

mặt AOM có thể mở rộng thành

tam giác SAC, khoảng cách từ N

đến (AOM) có thể thay bằng một

nửa khoảng cách từ D đến (SAC)

Lời giải

Ta có 1 ( ;( ))

3

OAMN OAM N OAM

O, M lần lượt là trung điểm của AC

và SC nên 1 1

đường thẳng DN cắt (OAM) tại S

và N là trung điểm của SD nên ( ;( )) 1 ( ;( )) 1 ( ;( ))

3 0

( ;( ))

a

Bài 11 Cho tứ diện ABCD có AB a CD b= , = ; góc (AB CD, )=α , khoảng cách

giữa AB và CD bằng d Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a b d, , và α

Phân tích Nếu dựng hbh BCDE thì tam giác

ABE hoàn toàn xác định và S BCD =S BDE nên

.

ABCD ABDE D ABE

Lời giải

Dựng hình bình hành BCDE suy ra BE CD và / /

với góc ABE ⇒sinABE=sinα S BCD =S BDE ⇒

( ;( ))

1

3

ABCD ABDE DABE ABE D ABE

2

ABE

Mp(ABE) chứa AB và song song với CD nên d(CD AB; ) =d(CD ABE;( )) = d( ;(D ABE)) =d

ABCD

Bài 12 Cho hai nửa đường thẳng Ax và By chéo nhau nhận AB làm đoạn vuông

góc chung Các điểm M, N lần lượt chuyển động trên Ax và By (M khác A và N khác B) sao cho AM + BN = MN Chứng minh rằng thể tích tứ diện ABMN không phụ thuộc vào M và N

Phân tích Bài này có lời giải tương tự

như bài trên

Lời giải

Trong mặt phẳng (ABN), dựng hình bình

hành ABNN’ Đặt AB = a, MAN'=α thì

a và α cố định, đặt AM = x, BN = y khi

đó AN’ = BN = x, NN’ // AB ⇒ NN’ ⊥

Ax, NN’ ⊥ At ⇒ NN’ ⊥ (AMN’)

'

2

2

4cos

2

a

α

Vậy

2

3 2

2

ABMN

a

α

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể

tích V của tứ diện ABCD theo a, b, c

Phân tích ABCD là tứ diện gần đều nên ta dựng tứ diện vuông AA1A2A3 sao cho

B, C, D lần lượt là trung điểm của A A A A A A 1 2, 1 3, 2 3

Lời giải

Trong mặt phẳng (BCD), từ mỗi đỉnh của BCD kẻ đường thẳng song song với

cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành A A A Ta có 1 2 3 BCA D BCDA BDCA là 3 , 2, 1