Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009 môn: Toán

Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm quy định..[r]

Trường thcs tây đô

đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

năm học 2008 - 2009

Môn: Toán

( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 – Ngày kiểm tra / 8 / 2008 )

Bài 1 ( 2 điểm ): Cho đa thức: f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x

1/ Phân tích f(x) thành nhân tử

2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là

số chính phương

Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho phương trình ẩn x:

; với x 1; x 2

2 1

2 3

7 4



x

b x

a x

x

Tìm a và b để phương trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2

Bài 3 ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết

rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1 -

2

3x2

Bài 4 ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh

BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K Gọi I là trung điểm của

đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng CD tại E Đường thẳng qua M song song với

AB cắt AI tại N

1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh

2/ Chứng minh: AK2 = KC KE

3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi

AG

thuộc vào vị trí của điểm M

Bài 5 ( 1 điểm ): Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008 Chứng

minh rằng:

1 1 2008

2008 2008

2008

















c b

bc

b a

ab

a

- Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:

Chú ý: Người coi thi không được giải thích gì thêm.

Trường thcs tây đô

đáp án, biểu điểm môn toán

kỳ kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

năm học 2008 - 2009

( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 – Ngày kiểm tra / 8 / 2008 )

Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu 1 điểm.

Câu 1: Lần lượt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )

Câu 2: Từ kết quả của câu 1 ta có:

+ A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x2 + 3x )( x2 + 3x + 2 ) + 1

( 0,25 điểm )

+ Đặt x2 + 3x = t; ta có A = t( t + 2 ) = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2

( 0,25 điểm )

+ Do x Z nên t = x 2 + 3x x Z; do đó ( t + 1 ) 2 Z và ( t + 1 ) 2 là số chính phương

( 0,25 điểm )

+ KL:

( 0,25 điểm ) Bài 2: 1,5 điểm.

+ Với x  1; x  2 ta có:

) 2 )(

1 (

) 2 ( ) ( ) 2 )(

1 (

2 2

























b a x b a x

x

b bx a ax x

b x

a

( 0,25 điểm )

2 1

2 3

7 4



x

b x

a x

x



) 2 )(

1 (

) 2 ( ) ( ) 2 )(

1 (

7 4



















x x

b a x b a x

x

4x – 7 = ( a + b )x – ( 2a + b ) với mọi x 1; x 2

















7 2

4

b a

b a

( 0,75 điểm )

+ Từ đó tính được a = 3; b = 1

( 0,25 điểm )

+ KL:

( 0,25 điểm ) Bài 3: 2 điểm

+ Ta có y2 + yz + z2 = 1 -

2

3x2

2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2



3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 )



x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2



( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2



( 1,0 điểm )

+ Do ( x – y )2 0; ( x – z ) 2 0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z ) 2 2

Hay - 2  x yz 2

( 0,5 điểm )

+ Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z

Thay vào ( 1 ) được 9x2 = 2; x = ; x = -

3

2

3 2

( 0,25 điểm )

+ KL: Với x = y = z = - thì min B = -

3

2

2

Với x = y = z = thì max B =

3

2

2

( 0,25 điểm ) Bài 4: 3,5 điểm

N

E

I

G K

B A

M

Câu 1: 0, 75 điểm.

+ Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE

( 0,25 điểm )

+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE KM  ( 0,25 điểm )

+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau

nên MNKE là hình thoi. ( 0,25 điểm )

Câu 2: 0, 75 điểm.

+ Từ tính chất hình vuông có ACK = 45  0 ( 0,25 điểm

)

+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM ( 0,5 điểm )

Câu 3: 1, 0 điểm.

+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB +

ED ( 0,25 điểm )

+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do

đó ME = EK ( 0,25 điểm )

+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a ( 0,25 điểm )

+ KL: ( 0,25 điểm )

Câu 4: 1, 0 điểm.

+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó

= ( 0,25 điểm )

2 2

1 1

AG

AG

+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK AG = KG AD = 2 dt AKG, do đó

AK2 AG2 = KG2 AD2 ( 0,25 điểm )

+ Mặt khác lại có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có

AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay 22 22 12 , suy ra =

.AG a AK

AG

AG

a

( 0,25 điểm )

+ KL: ( 0,25 điểm ) Bài 5: 1 điểm.

+ Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A

+ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0

( 0,25 điểm ) + ở phân thức thứ nhất ta thay 2008 bởi tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân

cả tử và mẫu của phân thức thứ ba với b ta có:

2008

2008 2008

2008 2008

























b bc b

bc

bc b

bc

b b

bc

( 0,75 điểm )

Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm

quy định.