Kì thi thử đại học, cao đẳng lần II năm học 2009 – 2010 môn: Toán, Khối A, B, D

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu V1,0 ñiểm:Dành cho thí sinh thi khối A và B Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng ACD bằng góc giữa hai mặt p[r]

SỞ GD&ðT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG

ðỀ CHÍNH THỨC

-

KÌ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG LẦN II

NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN, KHỐI A,B,D

Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát ñề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I( 2,0 ñiểm): Cho hàm số: (C)

1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số

2 Cho ñiểm A( 0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñược 2 tiếp tuyến tới ñồ thị (C) sao cho 2 tiếp ñiểm tương ứng nằm về

2 phía của trục hoành

Câu II (2,0 ñiểm):

1 Giải phương trình lượng giác

2 Giải hệ phương trình

Câu III(1,0 ñiểm): Tính tích phân sau

∫

=

3

4

4

2 cos sin

π

dx I

Câu VIa(2,0 ñiểm):

1 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho 4 ñiểm : A(1;2; 2) B(-1;2;-1) C(1;6;-1) D(-1;6;2) Tìm tọa ñộ hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên mặt phẳng (BCD)

2 Trong mp với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C )

Viết PT ñường thẳng (∆) vuông góc với ñường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt ñường tròn (C) tại A; B

sao cho AB = 6

Câu VIIa (1,0 ñiểm): Một hộp ñựng 6 thẻ ñược ñánh số từ 1 ñến 6 Rút ngẫu nhiên 4 thẻ từ hộp ñó và gép lại

ñược một số có 4 chữ số Tính xác suất ñể số ñược chọn không lớn hơn 6000

II PHẦN RIÊNG ( Dành cho thí sinh thi các khối A, B, D)

Câu IV(1,0 ñiểm): Dành cho thí sinh thi khối A

Cho ba số thực thỏa mãn ,Chứng minh rằng:

Câu IV(1,0 ñiểm): Dành cho thí sinh thi khối B và D

Cho hai số thực dương x,y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu V(1,0 ñiểm):Dành cho thí sinh thi khối A và B

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (ACD) bằng Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng

Câu V(1,0 ñiểm): Dành cho thí sinh thi khối D

Cho tứ diện ABCD có AC = AD = , BC = BD = a, khoảng cách từ B ñến mặt phẳng (ACD) bằng Biết góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là 600 Tính thể của khối tứ diện ABCD

- HẾT -

Chú ý! Thí sinh nhớ ghi rõ trên bài thi khối nào.

SỞ GD&ðT NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG

KÌ THI THỬ ðẠI HỌC, CAO ðẲNG LẦN II

NĂM HỌC 2009 – 2010

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ðIỂM CHẤM ðỀ CHÍNH THỨCMôn: TOÁN: KHỐI A,B

• TXð: D= R\{1}

Hàm số luông nghịch biến trên D và không có cực trị

0,25

• PT ñường TCð: x=1; PT ñường TCN: y=1

0,25

• Bảng biên thiên:

t - 1 +

f’(t) - + f(t)

1 +

- 1

0,25

x

y

f x ( ) = x+2 x-1

1 4

-2

5/2

2 1,0

• Gọi k là hệ số góc của ñt ñi qua A(0;a) PT ñt d có dạng y= kx+a (d)

• d là tiếp tuyến với ( C ) ⇔ hệ PT có nghiệm

<=>Pt (1-a)x2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1

0,25

• Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x1 ; x2 phân biệt

• Khi ñó theo Viet ta có : x1 +x2 = ; x1.x2 =

•

0,25

• Suy ra y1 = 1+ ; y2 =

• ðể 2 tiếp ñiểm nằm về 2 phía của trục Ox thì y1.y2 <0

⇔ (1+ ) < 0 ⇔

0,25

• Giải ñk trên ta ñược

⇔ -(3a+2) <0 ⇔ a>-2/3

Kết hợp với ñk (*) ta có 1 ≠ a>-2/3

0,25

• ðối chiếu ðK ta ñược nghiệm của pt ñã cho là 0,25

• ðặt : t = x + y ; ðK: t

• Giải PT:

0.25

0,5

Hệ ñã cho trở thành

Vậy hệ dã cho có một nghiệm

0,25

∫

= 3

4

4 2

cos sin

π

dx

4

2 2

cos 2 sin 4

π

dx

ðặt : t = tanx

ðổi cận: x =

x =

0,5

Khi ñó

3

4 3 8 )

3 2

1 ( ) 2

1 ( )

1

1

3 3

1

2 2

3 1 2

2

= +

+

−

= +

+

=

+

t dt t t

t

dt t I

0,5

• BðT cần chứng minh tương ñương với

• Nhận xét: Do nên là các số thực dương

0,25

• Chia tử và mẫu cho và ñặt t = ta ñược A = với t > 0

• Xét hàm số f(t) = trên (0;+ )

• Ta có : f’

(t) =

• Bảng biên thiên:

t 0 1 +

f’(t) - 0 + f(t)

1 1

• Dựa vao bảng biến thiên ta có f(t) với mọi t > 0

• Từ ñó A = với x,y > 0; dấu bằng xảy ra khi t = 1 nên x = y

• Do vai trò là như nhau nên BðT cần chứng minh tương ñương

• Áp dụng BðT cô si ta có

• Thay vào ta suy BðT ñược chứng minh, dấu ñẳng thức xảy ra khi a = b = c =

0,25

Gọi E là trung ñiểm của CD, kẻ BH AE

Ta có ACD cân tại A nên CD AE

Tương tự BCD cân tại B nên CD BE

Suy ra CD (ABE) CD BH

Mà BH AE suy ra BH (ACD)

Do ñó BH = và góc giữa hai mặt phẳng

(ACD) và (BCD) là

0,25

Thể tích của khối tứ diện ABCD là

Mà

0,25

H

D

E

C

B

A

Khi ñó : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0

trường hợp vì DE<a

Xét BHE vuông tại H nên sin =

Vậy góc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là

0,25

[ , ] = (12; -6;8)

Mp (BCD) ñi qua B và có VTPT =(6;-3;4) nên có PT: 6x-3y+4z+16=0

Gọi d là ñt ñi qua A và vuông góc với mp(BCD) thì d có PT:

0,5

Hình chiếu vuông góc H của A lên mp(BCD) là giao ñiểm của d với mp(BCD)

Tọa ñộ của H là nghiệm của hệ :

Vậy H( -2; -4; -4)

0,5

ðường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5

Gọi H là trung ñiểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4

Mặt khác IH= d( I; ∆ )

Vì ∆ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của ∆ có dạng

3x+4y+c=0

0,5

d(I; ∆ )=

vậy có 2 ñt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0

0,5

I

A H B

Tổng số phần tử của không gian mẫu bằng số các số có 4 chữ số khác nhau lập nên từ 6 số

1,2,3,4,5,6 do ñó

025

Số có 4 chữ số không lớn hơn 6000 nên có 5 cách chọn a và có

cách chọn b,c,d

0,25

• ðK: x > 1

• Với ðK trên phương trình ñã cho tương ñương

0,25

0,5

Vậy phương trình ñã cho có một nghiệm :

0,25