Đề thi khảo sát chất lượng các môn thi tốt nghiệp thpt quốc gia lần 2 năm học 2015 - 2016 môn: Toán – lớp 12 (thời gian làm bài: 180 phút, không kể giao đề)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ... Cách 4: Phân tích..[r]

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân dạng I f cosx.sin x dx





 đặt t cosxdt  sindx

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau  

2

2 0

sin cos 1 cos



Giải:

Cách 1: Ta có:

Đặt t cosxdt  sinxdx

Đổi cận

0

1 0 2

x

t t

















Khi đó

1

0

I   t t t dt t t t dt     

Cách 2:

2

0



Cách 3:

Đặt 1 cos sin

xdx dt

x t

 



 



… bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất)

Cách 4:

Đặt

3

sin cos

s

3

du

x

xdx

 











       

4

0

3 12

1

c

12

os

3

0

I

x

x





Bài 2: Tính tích phân sau

2

3

sin

dx I

x







Giải:

Cách 1:

Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được

I



Đặt t cosxdt sinxdx

Đổi cận

0 2

1 2 3

t x

t x













  



Khi đó

2

1

0

Cách 2:

t



2

2

1

tdt

t

t





Đổi cận

3 3

3 1 2

x

t

















Khi đó  

1 2

3

1

3





Cách 3:

2

tan

1

x d

x





Cách 4:

cos



Cách 5:

Đặt

2

sin

c c

os o

si

u x

du xdx dx

v d

v













 



… Bạn đọc tự giải nhé

Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau

2

0

sin 2 sin

1 3cos

x x

x











Giải:

Cách 1:

Ta có: sin 2xsinxsinx2 cosx1

3



x   x  

Đổi cận

0

2 1 2

x

t t

















Khi đó

2 2

3 1

2

1

t

I    dt  t  t 



Cách 2: Đặt t  1 3cosx… bạn đọc tự giải

Cách 3:

sin

1 3cos 3

x







Khi đó

3

0

1 3cos 2

0

x





Cách 4:

Phân tích

1 3cos

x

x



… Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé

Chú ý:

Nếu ta đặt tcosx thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất

Tổng quát:   





dx x d c

x b x a

cos

sin 2

sin

hoặc .sin 2

s

dx

c d inx









 ta đặt cdcosx  t

Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau

2

0

sin 2 cos

1 cos

x x

x









Giải:

Cách 1:

Ta có

2

sin 2 cos sin cos

2

dt xdx

x t

 



 



Đổi cận 2 1

2 0

t x

t x















 



Khi đó

 2

1 2

Cách 2:

2 2

2 2

0

sin 2 cos sin cos

0

x

x

x









Chú ý: dcosxd1 cos x và ta có thể đặt tcosx

Tổng quát: sin 2 cos

.cos









 ta đặt t bc.cosx hoặc t cosx

Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau

3 2

0

4 sin

1 cos

x

x









Giải:

3

2

4sin

x

Cách 1:

3

4sin

4sin 2 sin 2 cos 2 4 cos 2 2

1 cos

0

x

x





Cách 2:

2

4sin

4 sin 4 sin cos 4 sin 4 cos cos 4 cos 2 2 cos 2 2

1 cos

x

x



Cách 3:

 2  3

4 1 cos sin

4 sin

x x x



dt xdx

x t

 



 



Đổi cận 2 1

2 0

t x

t x















 



2

2

1

t

t

Chú ý: Có thể đặt t cosx

Cách 4:

2 2

2

1 cos

1

dt dx

t t x

t























Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau

3

4sin 4 sin (1 cos )(1 cos )

4sin 2 sin 2

phá nhé!

Tương tự

3 2

0

4 cos

2

1 sin

x

x







Bài 5: Tính tích phân sau

12

0

tan 4

I xdx



 

Giải:

Cách 1:

Ta có:

sin 4 tan 4

cos 4

x xdx dx

x



4

dt

Đổi cận

1



Khi đó

1

1

1

2

1

2

Cách 2:

 

cos 4

0

x



Bài 6: Tính tích phân sau

3 2

4

cos

1 sin

x

x











Giải:

2

1 sin

x



Đến đây ta đặt t  1 sinx

Hoặc

4







Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân:

2

0

ln 3 6

3sin 4 cos











HD:

Tách làm hai tích phân

sin xcos x ta sẽ được kết quả 1

Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là

2

0

3cos 4 sin 3sin 4 cos











Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau

3 2 0

3 sin tan ln 2

8

I x xdx



HD:

cos

x

x

  và đặt t cosx

Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau

2

0

sin 3

1 3ln 2

1 cos

x

x







HD:

Ta có 2 2 3 2  2 

sin 4 cos 1 sin 3 3sin 4 sin





Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau

3 2

2 0

sin

1 2

1 cos

x

x









HD:

Ta có

sin

1 cos 1 cos

x





Bài 5: Tính tích phân sau

2

0

sin

ln 2 sin 2 cos cos

2

x

x







HD:

2

x

x x  x x  x   x và đặt t 1 cosx

Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân:

2

0

cos 2

1

x

x









Bài 7: Tính tích phân:

3 6

0

ln 2

x









HD:

sin 3xsin 3xsin 3 1 sin 3x  x sin 3 cos 3x x và đặt t 1 cos 3x

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau:

2 cos 0

sin 2 2

x

I e xdx



HD:

Sử dụng công thức nhân đôi sin 2x2 sin cosx x và đặt t cosx

Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:  

1 4

0



HD:

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau: 2 sin 

0

4

x

I e x xdx e





HD:

Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản

Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau:

2

2 0

sin 2

4 cos

x

x









Bài 12: Tính tích phân sau:

3

0

2 sin 2 sin

6 cos 2

x x

x











HD:

Đặt t 6 cosx2 hoặc t 6 cosx 2

Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau: 4 3 4 2 

1 cos sin

4 sin

4

x x x



HD: Đặt t cosx

Bài 14: Tính tích phân sau:

2

2 0

cos

4

1 cos

x

x









HD:

Phân tích 1 cos 2 x2sin2 x từ đó đặt tsinx

Bài 15: Tính tích phân sau

2

2 0

2 6 ln

4

1 cos

x

x







HD:

Phân tích sin 42 2 sin 2 cos 2

1 cos 2

1 cos

1

2

x

x  





và đặt t  3 cos 2x hoặc tcos 2x

Dạng 2: Tính tích phân dạng sin .cos

b a

I  f x xdx đặt usinxdu cosxdx

Để tính tích phân dạng .sin 2 .sin

.cos

a x b x

dx

c d x





 ta đổi biến bằng cách đặt t  cd.cosx

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau

2 4

0

1 2 sin

1 sin 2

x

x









Giải:

Cách 1:

Ta có

2

1 sin 2 1 sin 2



2

dt

Đổi cận 4 2

1 0

t x

t x















 



Khi đó

2

1

2

1

dt

t

Hoặc đặt sin 2xt

Cách 2:

'

1 sin 2

ln 1 sin2 4 ln 2

0

x



Cách 3:

1 – 2 sin x cosxsin x cos – sinx x và 1 sin 2 xcosxsinx2

2

cos sin

ln cos sin 4 ln 2

0





Hoặc đặt t sinxcosx

Bài 2: Tính tích phân sau  

3

0

2

2 cos 2 cos



dx x

x I

Giải:

Đặt t sinxdt cosxdx

Đổi cận

0 0

3

t x

x  t























2 3

2 3

3

0

2

2

3 2

1 2

3 2

cos 2

cos

t

dt t

dt dx

x

x I



t  udt  udu

Đổi cận

0

2 3

2

4

t

u













Khi đó

 

0

4

3 sin

1 cos

udu dt







Chú ý:

Ta có thể dùng một bước đặt là sin 3cos

2

x u thì bài toán sẽ nhanh hơn

Bài 3: Tính tích phân sau cos 3

sin

x

x



Giải:

0 2

cos 3 4 cos 3cos

x







Hoặc đặt t sinx

Bài 4: Tính tích phân sau 2

2 sin 0

sin 2

x

I e xdx



 

Giải:

t  xdt  xdx

Đổi cận

0

0 1 2

x

t t

















1 2

sin

1

0

I e xdx e dt e e



0



Bài tập tự giải và có hướng dẫn

Bài 1: (Bộ đề 96) Tính tích phân sau

2

0

cos

2 cos 2

x

x









HD:

Ta có 2cos 2x 3 2 sin2 x và đặt t sinx

Bài 2: (CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006) Tính tích phân sau

 

2

3 2 0

15 sin 2 1 sin

4



HD:

sin 2x 1 sin x 2sinx 1 sin x cosx và đặt tsinx

Bài 3: Tính tích phân sau

4

0

1 tan tan sin

2

x





HD:

2sin cos sin

cos 2

x x x

x



Bài 4: (ĐHĐN – 1998) Tính tích phân sau

2

2 0

cos

4

1 cos

x

x









HD:

Phân tích 1 cos 2 x  1 1 sin2 x2 sin 2 x và đặt t 2sin2 x hoặc t 2sin2x

Bài 5: (ĐHBKHN – 1998) Tính tích phân: 2  4 4 

0

cos 2 sin cos 0



HD:

Phân tích sin4 cos4 1 1sin 22

2

x x  x và đặt t sin 2x

Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau:

2

2 0

ln 3

4 cos

x

x







Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau:

3 2

2 0

sin cos

1 cos

x x

x









Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau:

6

2 0

ln 9

6 5sin sin

xdx I





Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân sau

2

0

cos

x

x









Bài 10: (CĐHQ HCM – 1999) Tính tích phân sau

2

2 0

cos

11 7 sin cos

xdx I







Bài 9: Tính tích phân

2

0

12

1 cos sin cos

91



HD:

t   x x t Hoặc t  1 cos3 x

Dạng 3: Tính tích phân dạng

2 2

sin

sin 2 cos

b a

x

x

2 2

sin 2 cos

x du xdx u

du xdx x



Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

2

2 0

sin 2

1 cos

x

x









Giải:

Đặt t  1 cos2 xdt  sin 2xdxsin 2xdx dt

Đổi cận

0

2 1 2

x

t t

















Khi đó

2

2

2 sin 2

ln ln 2

1

1 cos

x dt dt

t t x





Hoặc

 2 

2

1 cos sin 2

ln 1 cos 2 ln 2

0

x





Bài 2: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau

4

2 0

sin 4

1 cos

x

x









Giải:

Ta có:

sin 4 2sin 2 cos 2



t   xdt   x xdx  xdx và

cos x  t 1 cos 2x2 cos x 1 2 t1  1 2t3

Đổi cận

3



 

2

3

2

2

3 2

Cách khác:

2 2

2

2

3

1 cos

0

x

x









Hoặc phân tích sin 42 2 sin 2 cos 2 4sin 2 cos 2

1 cos 2 3 cos 2

1 cos

1

2





và đặt t  3 cos 2x

Bài 3: Tính tích phân sau 2  2 3

0

sin 2 1 sin



Giải:

t   xdt  x xdx xdx

Đổi cận

0

1 2 2

x

t t

















2

3

1

t

I x x dx t dt



Cách khác:

4 2

0

x





Bài 4: (ĐH – A 2006) Tính tích phân sau:

2

0

sin 2 cos 4 sin

x









HD:

Cách 1: Phương pháp phân tích kết hợp biến đổi số

3

dt

Đổi cận 2 4

1 0

t x

t x















 



Khi đó

1

2

4

1

dt

t



Hoặc đặt t  1 3sin 2 x

Chú ý: Không cần biến đổi mà có thể đặt luôn t  cos2 x4 sin2 x hoặc tcos2 x4 sin2 x

Cách 2:

1

2

3

0

x





Cách 3:

Ta có

4



Và đặt 5 3cos 2

2

x

2

x

t  

Tổng quát: Để tính I =

2

0

sin cos cos

x xdx

a x b sin x





Ta đặt: u = a2cos2xb sin x2 2

Bài 5: Tính tích phân sau I

2

0

sin cos

4 cos 9

x xdx

x sin x







HD :

Đặt u = 4 cos2x9sin x2  u 2 = 4 cos2x9sin x2 udu5sin cosx xdx

Khi đó

I

3

3 2 2

u d u

u u

Bài 6: (ĐHTCKTHN - 95) Tính tích phân sau

2

0

sin cos

x x

b x c x









Nếu b2 c2 b  thì c

2

0

sin 2



Nếu b2 c2b  thì đặt c t b2cos2xc2sin2 x Khi đó  2 2

sin cos

c b x x dx dt

b x c x







và tính được I 1

b c





Bài 7: Tính tích phân sau

2

0

sin cos

x x

a x b x









Giải:

Cách 1:

Ta có

sin cos

tdt b a x xdx

x xdx

b a











Đổi cận 2

0

x

x













Khi đó

 2 2 2 2 2 2

b

a

b b a tdt





Cách 2:

Đặt t a2sin2 xb2cos2 xdt2(b2 a2) sin cosx xdx

Đổi cận

2

2

0 2

x t a

x  t b







Nếu a  b

Khi đó

 

2 2

2 2

2

0

2

b b

a a











Nếu a  b

Khi đó



Bài tập tự giải có hướng dẫn:

Bài 1: (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau

4

0

ln 2 3 sin cos

x







HD:

Phân tích 6 6

2

sin 4 2 sin 2 cos 2

3 sin cos

1 sin 2 4

x







và đặt t sin 2x hoặc 3 2

4

Hoặc

4

2 0

3

4

x









Bài 2: Tính tích phân sau:

tan 4 2

0 cos

x

e

x





HD: Đặt t tanx

Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau:

4

dx

Cách 2: Phân tích

3 8 2 8

4 sin 2

dx I

x





Cách 3: Đặt tan

2

x

t 

Dạng 4: Tính tích phân dạng tan  12

cos

x





2

1

cos

x

tan 1 tan





cos

x

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính tích phân sau

4

01 tan

dx I

x









Giải:

1

Đổi cận

0

0 1 4

x

t t

















Khi đó

   Tính:

1

1

0

1

0

dt

t





2

0

d t tdt



Tính:

dt

t







  (vớit tanu)

Cách 2:

Phân tích 1 cos 1 cos sin  cos sin 

x

sin cos

0

x x









Hoặc: Sử dụng đồng nhất thức cosx AcosxsinxBcosxsinx đồng nhất hai vế tìm A và B

Bài 2: Tính tích phân

2 4

4

sin

x











Giải:

Phân tích

cos

x

1 4

x

t t x













 



  



Khi đó

 

2

3

1

1

t





Tính

1

dt I

t







t   udt  u du

2

0

4 tan 1

4

u

u











8

Bài 3: Tính tích phân sau

4 4 0

1 cos

x





Giải:

Cách 1:

Ta có

cos

x

Đổi cận

0

0 1 4

x

t t

















4

2 4

1

0

cos

t

x



Cách 2:

3

3

0

x

x



Cách 3:

Phân tích



… đến đây thì quá dễ rùi phải không

Cách 4:

Đặt

2

2

1

cos

1

cos

u

x

dv dx

x











… Mời bạn đọc tự làm, dễ thôi mà

Hoặc : Đặt t tanx

Bài 4: Tính tích phân sau

4 6 0

tan

I xdx





Giải:

Cách 1:

2

1

dt

t



Đổi cận

0

0 1 4

x

t t

















Khi đó

1



Cách 2:

Phân tích

2

1

cos

x

Khi đó

2

cos

0

x





Bài 5: Tính tích phân sau

4 3 0

tan

I xdx





Giải:

 2   2

2

1

dt

t



Đổi cận

0

0 1 4

x

t t

















Khi đó