Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 12 (Đề số 16)

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ.. Chứng minh rằng I thuộc mặt cầu đường kính OO'.[r]

Đề số 16

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 90 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)

Bài 1: (3 điểm) Cho hàm số y x 3x2 x 2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3x2   x 2 m 0

Bài 2: (2 điểm) Giải các phương trình sau:

1) 2.4x 2x 1  4 0 2) 3log29x2 log9x  1 0

Bài 3: (2 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a

1) Chứng minh SA vuông góc với BC

2) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

A Theo chương trình nâng cao

Bài 4a: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin cos2x x trên đoạn

[0; ]

Bài 5a: (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

2

2 log log  0

Bài 6a: (1 điểm) Cho một hình trụ có trục là OO' Một mặt phẳng (P) bất kỳ song song với trục

cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD,

OO'

biết rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ Chứng minh rằng I thuộc mặt cầu đường kính OO'

B Theo chương trình chuẩn

Bài 4b: (1 điểm) Cho hàm số y e sinx, chứng minh rằng: y.sinx y '.cosx y '' 0

Bài 5b: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên đọan [–1; 1] :

x x

2 4

  

Bài 6b: (1 điểm) Cho một hình trụ có trục là OO' và có chiều cao bằng bán kính đáy và bằng 50cm Một đoạn thẳng AB dài 100cm với A thuộc đường tròn (O) và B thuộc đường tròn (O') Tính khoảng cách giữa AB và OO'

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh: SBD :

Đề số 16

ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học Môn TOÁN Lớp 12

Thời gian làm bài 90 phút

1.1 y f x ( )x3x2 x 2

TXĐ: D = R

;

xlim ( )f x

  

xlim ( )f x

  

y’=3x22x1 ; y’= 0 x

x

1 1 3

 





 



 BBT:

Hàm số tăng trên ( ; 1),(1; ) và giảm trên

3

3



Đồ thị hàm số có điểm cực đại là ( 1 59; ) và điểm cực tiểu là

3 27

Điểm uốn: y’’= 6x – 2 ; y’’=0 x 1,

3

  f 1( ) 43

3 27 Điểm uốn của đồ thị hàm số là I 1 43( ; )

3 27

Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

0,25

0,25

0.25

0.25

0,25

0.25

0,5

1.2 x3x2    x 2 m 0 x3x2   x 2 m (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của đường thẳng y m và đồ thị hàm số

y f x ( )x3x2 x 2

   m 1 m 1: (1) có 1 nghiệm

   m 1 m 1: (1) có 2 nghiệm phân biệt

0,25

 m 59 m 59 : (1) có 2 nghiệm phân biệt

 m 59 m 59: (1) có 1 nghiệm

Vậy: m : (1) có 1 nghiệm

m

1 59 27

  



 





m : (1) có 2 nghiệm phân biệt

m

1 59 27

  



 





59 m 1 : (1) có 3 nghiệm phân biệt

27

2.1 2.4x2x1  4 0 2.22x 2.2x  4 0

Đặt t2 ,x t0 ta có phương trình: t t t loai

t

2      2 4 0    2 Với t 2 2x   2 x 1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = 1

0.5

0,5 2.2 3log29x2 log9x  1 0

Điều kiện: x > 0.

Đặt t log9x t, 0 ta có phương trình: t

t t

t loai

3

 



   

 





9

9

9

9

 

Đối chiếu điều kiện, nghiệm của phương trình là: x 1,x 1

9

0,5

0,5

3.1 Chứng minh SA BC

Gọi M là trung điểm BC, ta có:

AM BC

SM BC

Suy ra BC(SAM)

Nên BC SA

1,0

3.2 Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, ta có : SO(ABC)

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

Ta có: IA IB IC  (vì I SO ); IA IS

Vặy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Trong tam giác đều ABC , ta có: AM a 3;

2

Gọi K là trung điểm SA thì SK = a

Tam giác SAO vuông tại O: SO SA 2 OA2 4a2 3a2 a 33

0.25

0.25

I C

M

D

O

O'

B

(g.g), suy ra:

SKI SOK

SO

a

3

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: S 4 SI2 144 a2

33





0,25

0,25 4a ysin cos2x xsin (1 2sin )x  2x

Với x [0; ]  đặt tsinx, t [0;1] ta có: y f t ( ) t 2t3

;

f t'( ) 1 6  t2 f t'( ) 0 t 1

6

  

f (0) 0 f (1) 1 f 1( ) 2

6 3 6 Giá trị lớn nhất của hàm số là: 2

3 6 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: –1

0,25

0,25

0,25 0,25 5a 2 log32x log3x m 0 (1)

Đặt t log3x t, 0 ta có phương trình: m 2t2t (2)

Xét f t( ) 2t2t; f t'( )  4 1t ; f t'( ) 0 t 1

4

  

(1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt  0 m 1

8

 

0,25 0,25

0,25

0,25 6a

Chứng minh:  OIO 90

Gọi M là trung điểm AB

Chứng minh được tam giác IMO’ vuông cân, nên  IMO 45

Chứng minh được IO IO ' , nên IOO' vuông cân tại I

1,0

I C

B O'

O

A D

5b

x x

2 4

  

x

y'x e 2 y' 0  x 0

e

e

2

2

Giá trị lớn nhất của hàm số là: e2 ; Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

4

1 4



1,0

6b

Vẽ đường sinh AC, gọi H là trung điểm BC Khoảng cách cần tìm là O’H = 25 cm

1,0

============================