Giáo án Giải tích lớp 12 - Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm về khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

VÒ kü n¨ng : + Biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số vào giải một số bài toán đơn gi[r]

Trang 1

GV: Nguyễn Văn Thạo - 1 - Trường THPT Hiệp Hoà số 3

Chương I: ứng dụng của đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị của hàm số

tiết soạn thứ 1. Ngày soạn: 20/08/2010

Đ 1: sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức: HS nắm được:

- Hiểu được định nghĩa và cỏc định lý về sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và mối quan hệ này với đạo hàm

2 Về kỹ năng :

- Biết cỏch xột tớnh đồng biến, nghịch biến của hàm số trờn một khoảng dựa vào dấu đạo hàm

3 Về tư duy thái độ :

- Tự giác, tích cực trong học tập

- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể

II CHUẩN Bị CủA THầY Và TRò:

1 Chuẩn bị của giáo viên : Các câu hỏi gợi mở, ví dụ sinh động, giỏo ỏn , dụng cụ vẽ

2 Chuẩn bị của HS : Ôn lại kiến thức đã học ở lớp 10 về tính đơn điệu, đọc trước bài giảng

III TIếN TRìNH BàI DạY:

1 Kiểm tra bài cũ: (Lồng vào quá trình dạy bài mới).

2 Bài mới:

ĐVĐ: ( 2’) ở lớp 10 các em đã học về các bước xét tính đơn điệu của hàm số tuy nhiên việc xét tính đơn điệu còn phức tạp và ở lớp 11 các em lại được học về đạo hàm Trong tiết này ta sẽ nghiên cứu việc ứng dụng của đạo hàm vào xét tính đơn điệu của hàm số

Hoạt động 1 : ( 10’) Nhắc lại định nghĩa đơn điệu :

Mục đích: Ôn tập tính đơn điệu của hàm số đã học ở lớp dưới

? Nờu định nghĩa đạo hàm của hàm số tại

điểm x0

? Nờu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến

ở lớp 10 , từ đú nhận xột dấu tỷ số

trong cỏc trường hợp 1

2

1

2 ) ( )

(

x

f

x

f



+ Nờu lờn mối liờn hệ giữa đồ thị của hàm số

và tớnh đơn điệu của hàm số?

HS nhớ lại các khái niệm trên và trả lời câu hỏi

+ Đồ thị của hàm số đồng biến trờn K là một đường đi lờn từ trỏi sang phải

x y

Lop12.net

Trang 2

+ Đồ thị của hàm số nghịch biến trờn K là một đường đi xuống từ trỏi sang phải

Hoạt động 2 : ( 20’) Tớnh đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Mục đích: Tỡm hiểu mối liờn hệ giữa tớnh đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

+ Ra đề bài tập: (Bảng phụ)

Cho cỏc hàm số sau:

y = 2x  1 và y = x2  2x

y'

y





y'

1 0 y

+ Xột dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền

vào bảng tương ứng

+ Phõn lớp thành hai nhúm, mỗi nhúm giải

một cõu

+ Gọi hai đại diện lờn trỡnh bày lời giải lờn

bảng

+ Cú nhận xột gỡ về mối liờn hệ giữa tớnh đơn

điệu và dấu của đạo hàm của hai hàm số

trờn?

+ Rỳt ra nhận xột chung và cho HS lĩnh hội

ĐL 1 trang 6

+ Giải bài tập theo yờu cầu của giỏo viờn

+ Hai học sinh đại diện lờn bảng trỡnh bày lời giải

+ Rỳt ra mối liờn hệ giữa tớnh đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm của hàm

số.

Hoạt động 3 : ( 10’) Ví dụ củng cố.

Mục đích: Củng cố định lớ

-Nờu vớ dụ

Vớ dụ 1: Xột chiều biến thiờn của

O

x O

y

Trang 3

a) y = x4 – 2x2 + 1

b) y = 3x + + 53

x

c) y = cosx trên ;3

2 2

 

-Hướng dẫn cỏc bước xột chiều biến

thiờn của hàm số

Gọi HS lờn bảng giải

-nhận xột và hoàn thiện

- Phát vấn:

Nêu các bước xét tính đơn điệu của

hàm số bằng đạo hàm ?

Ta có y’ = 3 - 32 = , y’ = 0

x

 2  2

3 x 1 x



 x =  1 và y’ không xác định khi x = 0

Ta có bảng xét dấu của đạo hàm và các khoảng đơn

điệu của hàm số đã cho:

x -  -1 0 1 +  y’ + 0 - || - 0 +

y -1 11 Kết luận được: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (-

; -1); (1; + ) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (- 1; 0); (0; 1)

c) Hàm số xác định trên tập ;3

2 2

 

y’ = - sinx, y’ = 0 khi x = 0; x = và ta có bảng:  x

0

2



2



y’ + 0 - 0 +

y 1 1

0 -1 Kết luận được:

2



 

và nghịch biến trên

3

; 2



 

IV Hướng dẫn về nhà: (3’)

HS về nhà làm các bài tập SGK, SBT

*************************************************

Lop12.net

Trang 4

sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (tiếp theo)

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức: HS nắm được:

- Hiểu được định nghĩa và cỏc định lý về sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và mối quan hệ này với đạo hàm

2 Về kỹ năng :

- Biết cỏch xột tớnh đồng biến, nghịch biến của hàm số trờn một khoảng dựa vào dấu đạo hàm

3 Về tư duy thái độ :

- Tự giác, tích cực trong học tập

- Biết phân biệt rõ các khái niệm cơ bản và vận dụng trong từng trường hợp cụ thể

1 Chuẩn bị của giáo viên : Các câu hỏi gợi mở, ví dụ sinh động, giỏo ỏn , dụng cụ vẽ 2.Chuẩn bị của HS : Ôn lại kiến thức đã học ở lớp 10 về tính đơn điệu, đọc trước bài giảng

1 Kiểm tra bài cũ: ( 5’ )

Nêu các bước xét tính đơn điệu của hàm số ứng dụng xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số:

y = f(x) = x2  x5  7

2 Bài mới:

ĐVĐ: ( 2’) Tiết trước ta đã học về cách xét tính đơn điệu của 1 hàm số Vậy để xét tính

đơn điệu của một hàm số ta phải qua mấy bước Tiết này ta vận dụng giải tiếp các ví dụ sau:

Hoạt động 1 : ( 10’) Ví dụ 3

Mục đích: Củng cố các bước tính đạo hàm

+ Từ cỏc vớ dụ trờn, hóy rỳt ra quy tắc xột

tớnh đơn điệu của hàm số?

+ Nhấn mạnh cỏc điểm cần lưu ý

Nờu vớ dụ 3: xột chiều biến thiờn của hàm số

y = x3 - x2

+ x +

3

1

3

2

9

4 9 1

- Do hàm số liờn tục trờn R nờn Hàm số

TXĐ D = R

y / = x2 - x + = (x - )2 >0

3

4 9

4

3 2

với x 2/3 

y / =0 <=> x = 2/3 Bảng biến thiờn

x - 2/3 +  

y/ + 0 +

y / 17/81 /

Trang 5

liờn tục

trờn (- ;2/3] và[2/3; + )  

Nhận xột: Hàm số f (x) cú đạo hàm trờn

khoảng I nếu f /(x) 0

(hoặc f /(x) 0) với x I và   

f /(x) = 0 tại 1 số điểm hữu hạn

của I thỡ hàm số f đồng biến (hoặc nghịch

biến) trờn I

Hàm số liờn tục trờn (- ;2/3] và [2/3; + ) 

Hàm số đồng biến trờn cỏc nữa khoảng trờn nờn hàm số đồng biến trờn R

Hoạt động 2 : ( 10’) Ví dụ 4

Mục đích: Củng cố

Vớ dụ 4: c/m hàm số y = 9 x 2

;3 ]

y/ = < 0 với x (0; 3)

2

9 x

x



  Vậy hàm số nghịch biến trờn [0 ; 3 ]

Hoạt động 3 : ( 15’) Giải bài tập

Mục đích: Củng cố

Ghi bài 2b

Yờu cầu HS lờn bảng giải

Ghi bài 5

Hướng dẫn HS dựa vào cơ sở lý

thuyết đó học xỏc định yờu cầu bài

toỏn

Nhận xột , làm rừ vấn đề

2b/ c/m hàm sồ y =

1

3 2

2





x

x x

nghịch biến trờn từng khoảng xỏc định của nú Giải

TXĐ D = R \{-1}

y/ = 2 2 < 0 x D

) 1 (

5 2





x

Vậy hàm số nghịch biến trờn tựng khoảng xỏc định

5/ Tỡm cỏc giỏ trị của tham số a để hàm số f(x) = x3+ ax2+ 4x+ 3 đồng biến trờn R

3 1

Giải TXĐ D = R và f(x) liờn tục trờn R

y/ = x2 + 2ax +4 Hàm số đồng biến trờn R <=>

y/ 0 với x R ,<=> x  2+2ax+4

Lop12.net

Trang 6

cú   / 0

<=> a2- 4 0 <=> a [-2 ; 2]  Vậy với a [-2 ; 2] thỡ hàm số đồng biến trờn R

- Nắm vững cỏc định lớ điều kiện cần , điều kiện đủ của tớnh đơn điệu

- Các bước xột chiều biến thiờn của 1 hàm số, phương phỏp c/m hàm số đơn điệu trờn khoảng; nữa khoảng, đoạn

- Bài tập phần luyện tập trang 8 ; 9 trong SGK

*************************************************

1: sự đồng biến và nghịch biến

của hàm số (tiếp theo)

Nờu cỏc bước xỏc định tớnh đơn điệu của hàm số

ỏp dụng xột tớnh đơn điệu của hàm số y = x3 -6x2 + 9x – 1

3 4

2 Bài mới:

ĐVĐ: ( 2’) Tiết trước ta đã học về các bước xét tính đơn điệu của hàm số Để củng cố lại

ta đi giải quyết các bài tập sau:

Hoạt động 1 : ( 15’) Bài tập 1

Mục đích: Củng cố khái niệm

1 Xột chiều biến thiờn của hàm số

a) y = x2  x2  3

b) y = - 2x

1



x

Yờu cầu học sinh thực hiện cỏc bước

- Tỡm TXĐ

- Tớnh y/

- xột dấu y/

- Kết luận

GV yờu cầu 1 HS nhận xột bài giải

GV nhận xột đỏnh giỏ, hoàn thiện

a) TXĐ x R 

y/ =

3 2

1

2  



x x x

y/ = 0 <=> x = 1 Bảng biến thiờn

x - 1 + 

y/ - 0 +

y \ 2 /

Hàm số đồng biến trờn (1 ; + ) và nghịch  biến trờn (- ; 1)

b) y / = 2 2

) 1 (

3 4 2





x x x

Trang 7

- y/ < 0 x -1 

- Hàm số nghịch biến trờn (- ; -1) và (-1 ; + ) 

Hoạt động 2 : ( 10’) Bài tập 2:

Mục đích: Củng cố cách cm hàm số đơn điệu trên R

Ghi đề bài tập: c/m hàm số

y = cos2x – 2x + 3

nghịch biến trờn R

Yờu cầu HS nờu cỏch giải

Hướng dẫn và gọi 1 HS

Lờn bảng thực hiện

Gọi 1 HS nhận xột bài làm của bạn

GV nhận xột đỏnh giỏ

TXĐ D = R

y/ = -2(1+ sin2x) 0 ; x R  

y/ = 0 <=> x = - +k (k Z)

4



Do hàm số liờn tục trờn R nờn liờn tục trờn từng đoạn

[- + k ; - +(k+1) ] và

4

y/ = 0 tại hữu hạn điểm trờn cỏc đoạn đú Vậy hàm số nghịch biến trờn R

Hoạt động 3 : ( 10’) Bài tập 3:

Mục đích: Củng cố dạng toán dùng tính đơn điệu để cm bđt

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) cosx > 1 - (x > 0) b) tgx > x + ( 0 < x < )

2 x 2

3 x



c) sinx + tgx > 2x ( 0 < x < )

2



- Hướng dẫn học sinh thực hiện phần a) theo

định hướng giải:

+ Thiết lập hàm số đặc trưng cho bất đẳng

thức cần chứng minh

+ Khảo sát về tính đơn điệu của hàm số đã

lập ( nên lập bảng)

+ Từ kết quả thu được đưa ra kết luận về bất

đẳng thức cần chứng minh

- Gọi học sinh lên bảng thực hiện theo

hướng dẫn mẫu

- Giới thiệu thêm bài toán chứng minh bất

đẳng thức bằng tính đơn điệu của hàm có

tính phức tạp hơn cho các học sinh khá:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

giá trị x > 0

b) sinx > 2x với x 



c) 1 < cos2x < 2 với x 

4



 

 

 

a) Hàm số f(x) = cosx - 1 + xác định

2 x 2 (0 ;+ ) và có đạo hàm f’(x) = x - sinx > 0

x  (0 ;+ ) nên f(x) đồng biến trên (x ;+ )

Ngoài ra f(0) = 0 nên f(x) > f(0) = 0

x(0;+ ) suy ra cosx > 1 - (x > 0)

2 x 2 b) Hàm số g(x) = tgx - x + xác định với

3 x 2 các giá trị x  0; và có:

2



2

1

= (tgx - x)(tgx + x)

Do x  0;  tgx > x, tgx + x > 0 nên

2



suy ra được g’(x) > 0  x  0;  g(x)

2



đồng biến trên 0; Lại có g(0) = 0 

2



g(x) > g(0) = 0  x  0;  tgx > x

2



+ ( 0 < x < )

3 x



c) h(x) = sinx + tgx - 2x xác định với các giá trị x  0; và có: h’(x) = cosx +

2



- 2 > 0  x   suy ra 2

1



đpcm

Lop12.net

Trang 8

3/ Củng cố (3p):

Hệ thống cỏch giải 3 dạng toỏn cơ bản là

- Xột chiều biến thiờn

- C/m hàm số đồng biến, nghịch biến trờn khoảng , đoạn ; nữa khoảng cho trước

- C/m 1 bất đẳng thức bằng xử dụng tớnh đơn điệu của hàm số

III Hướng dẫn học và bài tập về nhà(2p)

- Nắm vững lý thuyết về tớnh đơn điệu của hàm số

- Nắm vững cỏch giải cỏc dạng toỏn bằng cỏch xử dụng tớnh đơn điệu

- Giải đầy đủ cỏc bài tập cũn lại của sỏch giỏo khoa

- Tham khảo và giải thờm bài tập ở sỏch bài tập

*************************************************

Số tiết: 04 Từ tiết 04 đến tiết 07.

Ngày soạn: 23/ 08/2009

Trang 9

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức: HS nắm được:

+ Biết cỏc khỏi niệm cực đại, cực tiểu; biết phõn biệt cỏc khấi niệm lớn nhất, nhỏ nhất + Biết cỏc điều kiện đủ để hàm số cú cực trị

2 Về kỹ năng :

+ Biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tỡm cực trị của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản

3 Về tư duy thái độ :

+ Hiểu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm

+ Cẩn thận, chớnh xỏc; Tớch cực hoạt động; rốn luyện tư duy trực quan, tương tự

1 Chuẩn bị của giáo viên : Các câu hỏi gợi mở, ví dụ sinh động

2 Chuẩn bị của HS : Nắm kiến thức bài cũ, nghiờn cứu bài mới, đồ dựng học tập

Tiết 04 : phần 1+ 2

Xột sự đồng biến, nghịch bến của hàm số: 1 3 2

2 3 3

y x  x  x

2 Bài mới:

ĐVĐ: ( 2’) Bài trước ta đã học về cách xét tính đơn điệu của 1 hàm số Tiết này ta nghiên cứu về cực trị của hàm số

Hoạt động 1 : ( 10’) Khái niệm cực đại, cực tiểu của hàm số.

Mục đích: Tỡm hiểu khỏi niệm cực đại, cực tiểu của hàm số

+ Treo bảng phụ (H8 tr 13 SGK) và giới

thiệu đõy là đồ thị của hàm số trờn

H1 Dựa vào đồ thị, hóy chỉ ra cỏc điểm tại

đú hàm số cú giỏ trị lớn nhất trờn khoảng

?

1 3

;

2 2

 

 

 

H2 Dựa vào đồ thị, hóy chỉ ra cỏc điểm tại

đú hàm số cú giỏ trị nhỏ nhất trờn khoảng

?

3

;4

2

 

 

 

+ Cho HS khỏc nhận xột sau đú GV chớnh

xỏc hoỏ cõu trả lời và giới thiệu điểm đú là

cực đại (cực tiểu)

+ Cho học sinh phỏt biểu nội dung định

nghĩa ở SGK, đồng thời GV giới thiệu chỳ

ý 1 và 2

+ Từ H8, GV kẻ tiếp tuyến tại cỏc điểm cực

Đồ thị hàm số y = x(x-3)2/3

x

y

4 3

3 2

1 2

Thảo luận nhúm để chỉ ra cỏc điểm mà tại

đú mỗi hàm số đó cho cú giỏ trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Lop12.net

Trang 10

trị và dẫn dắt đến chỳ ý 3 và nhấn mạnh:

nếu f x'( )0  0 thỡ x0 khụng phải là điểm

cực trị

- Gv lưu ý thờm cho học sinh:

Chỳ ý (sgk trang 14)

Hoạt động 2 : ( 15’) Điều kiện đủ để hàm số cú cực trị

Mục đích: Chiếm lĩnh khái niệm điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Xét hoạt động 3:

a/ Sử dụng đồ thị để xột xem cỏc hàm số sau

đõy cú cực trị hay khụng: y = - 2x + 1; và

y = (x – 3)2

3

x

b/ Từ đú hóy nờu lờn mối liờn hệ giữa sự tồn

tại của cực trị và dấu của đạo hàm

+ Cho HS nhận xột và GV chớnh xỏc hoỏ kiến

thức, từ đú dẫn dắt đến nội dung định lớ 1

SGK

Thảo luận nhúm để:

a/ Sử dụng đồ thị để xột xem cỏc hàm số sau đõy cú cực trị hay khụng: y = - 2x + 1;

và

y = (x – 3)2

3

x

b/ Từ đú hóy nờu lờn mối liờn hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm

Định lớ 1 (SGK)

x x0-h x0 x0+h f’(x) + -f(x) fCD

x x0-h x0 x0+h f’(x) - + f(x)

fCT

Hoạt động 3 : ( 10’) Ví dụ:

Mục đích: Củng cố khái niệm

Tỡm cực trị của cỏc hàm số:

a y = - 2x3 + 3x2 + 12x – 5 ;

b y = x4 - x3 + 3

4

1

c ( )  4 3

x x

x

+ Ta cú:

Trang 11

2

2 2

4 4

1 ) ( '

x

x x x

2 0

4 0

) (

+ Bảng biến thiờn:

x   -2 0 2





f’(x) + 0 – – 0 + f(x) -7

1 + Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -2, giỏ trị cực đai là -7; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giỏ trị cực tiểu là 1

HS về nhà làm các bài tập SGK, SBT

*************************************************

Lop12.net

Trang 12

Ngày soạn: 23/ 08/2009

Tiết 05 : phần 3: quy tắc tìm cực trị

a Hóy nờu định lớ 1

b Áp dụng định lớ 1, tỡm cỏc điểm cực trị của hàm số sau:

x x

y  1

2 Bài mới:

ĐVĐ: ( 2’) Tiết trước ta đã có khái niệm về cực trị của hàm số cũng như điều kiện cần,

đủ để hàm số có cực trị Tiết này ta cùng nhau nghiên cứu tiếp quy tắc tìm cực trị của hàm

số nhờ đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2

Hoạt động 1 : ( 10’) Quy tắc 1(Tìm cực trị nhờ đạo hàm cấp 1).

Mục đích: Tỡm hiểu Quy tắc tỡm cực trị

- Giỏo viờn đặt vấn đề: Để tỡm điểm cực trị

ta tỡm trong số cỏc điểm mà tại đú cú đạo

hàm bằng khụng, nhưng vấn đề là điểm nào

sẽ điểm cực trị?

- Gv yờu cầu học sinh nhắc lại định lý 2 và

sau đú, thảo luận nhúm suy ra cỏc bước tỡm

cực đại, cực tiểu của hàm số

- Gv tổng kết lại và thụng bỏo Quy tắc 1

- Gv cũng cố quy tắc 1 thụng qua bài tập:

Tỡm cực trị của hàm số: ( )  4 3

x x x f

- Gv gọi học sinh lờn bảng trỡnh bày và theo

dừi từng bước giải của học sinh

- Học sinh tập trung chỳ ý

- Học sinh thảo luận nhúm, rỳt ra cỏc bước tỡm cực đại cực tiểu

- Học sinh ghi quy tắc 1;

- Học sinh đọc bài tập và nghiờn cứu

- Học sinh lờn bảng trỡnh bày bài giải:

+ TXĐ: D = R + Ta cú:

2

2 2

4 4

1 ) ( '

x

x x x

2 0

4 0

) (

+ Bảng biến thiờn:

x   -2 0 2





f’(x) + 0 – – 0 + f(x) -7 1 + Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -2, giỏ trị

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	385,03 KB