Ứng dụng phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh để nhận dạng thông số của hệ thống

Phương pháp nhận dạng trực tuyến hàm mật độ nhiệt lượng của nguồn nhiệt di động được đề xuất dựa trên phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh kết hợp với phương pháp cửa sổ trượt có [r]

ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY

Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRADIENT PHỐI NGẪU HIỆU CHỈNH ĐỂ NHẬN DẠNG THÔNG SỐ CỦA HỆ THỐNG

Applying modified conjugate gradient method for identifiying parameter of system

TS Trần Thanh Phong(1), ThS Nguyễn Hoàng Phương(2)

(1),(2) Trường Đại học Tiền Giang

TÓM TẮT

Bài báo này nghiên cứu vấn đề giải bài toán ngược liên quan đến việc nhận dạng giá trị các thông số bất định của hệ thống được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nhận dạng trực tuyến hàm mật độ nhiệt lượng của nguồn nhiệt di động được đề xuất dựa trên phương pháp gradient phối ngẫu hiệu chỉnh kết hợp với phương pháp cửa sổ trượt có dự báo Theo đó, một nhóm cảm biến cố định được đặt trên khu vực khảo sát để đo sự tiến triển của nhiệt độ theo thời gian và không gian Giải thuật lựa chọn cảm biến được xây dựng để tìm ra vị trí của ba cảm biến hữu ích nhất cho việc nhận dạng trong khoảng thời gian làm việc của cửa sổ trượt nhằm giảm thời gian tính toán Giá trị nhiệt độ đo đạc bị tác động bởi các nhiễu tuân theo hàm phân phối chuẩn Gauss Kết quả nghiên cứu cho thấy, phương pháp được

đề xuất có khả năng nhận dạng tốt hàm mật độ nhiệt lượng với độ trễ thấp với 241s và sai số là 0,5K đáp ứng yêu cầu đặt ra Hiệu quả của phương pháp này được chứng minh bằng các kết quả số thông qua việc mô phỏng

Từ khóa: bài toán ngược, nguồn nhiệt, nhận dạng thông số, phương pháp gradient phối ngẫu, phương trình đạo hàm riêng

ABSTRACT

This paper focuses on an ill-posed inverse problem with unknown parameters of a system, which can be described by partial differential equations (PDE) An online identification method of the density of a mobile heating source is proposed This approach was based on the algorithm of the predictive online conjugate gradient method (PCGM) with automatically adaptive sliding window size, which is based on the iterative regularization methods for the general case Assuming that the working area is limited, a set

of fixed sensors was placed on the domain to acquire the evolutions of the temperatures in a spatial-temporal manner A method was built on the order to select three sensors that are the most effective for the identification procedure by decreasing the computational time The measurements are disturbed according to a realistic Gaussian noise The results of this research show that the proposed method can

be able to identify the flux density of heat source with the low delay time about 241 seconds and the good response error about 0.5K The effectiveness of the proposed method were illustrated by the numerical results

Keywords: conjugate gradient method, heat source, identification, inverse problems, partial differential

equations

Email: tranthanhphong@tgu.edu.vn

1 Đặt vấn đề

Quá trình truyền nhiệt của nguồn nhiệt

di động trong bối cảnh của các vấn đề phi

tuyến là một ví dụ có liên quan đến các

hiện tượng vật lý có thể mô hình hóa bởi

phương trình vi phân đạo hàm riêng

Phương pháp này được đề xuất nhằm kiểm

chứng hiệu quả của phương pháp ước

lượng dựa trên phương pháp gradient phối

ngẫu (CGM) [1], [2] với việc sử dụng một

nhóm cảm biến hữu dụng Nhóm cảm biến

này được xác định dựa trên vị trí của nhóm

cảm biến cố định được thiết lập tại không

gian di chuyển của nguồn nhiệt thông qua

một giải thuật dựa trên mối quan hệ giữa vị

trí của nguồn nhiệt và vị trí của cảm biến

Việc này nhằm giúp loại bỏ vị trí của các

cảm biến không hữu ích để giảm thời gian

tính toán của hệ thống

Trong một vài nghiên cứu trước đây,

vấn đề giải bài toán nghịch của các hiện

tượng vật lý được mô tả bởi phương trình

đạo hàm riêng, cụ thể là quá trình truyền

nhiệt được đề xuất một cách không đầy đủ

bởi Hadamard với việc giải bài toán bằng

phương pháp lặp [3] Phương pháp

gradient phối ngẫu cũng được sử dụng để

tối thiểu hóa sai lệch bằng kỹ thuật lặp và

chứng tỏ đây là phương pháp ổn định để

ước lượng các thông số [4] Tuy nhiên, nó

chỉ có thể nhận dạng riêng lẻ một thông số

của nguồn nhiệt Hơn nữa, phương trình

truyền nhiệt tổng quát trong không gian đa

chiều rất phức tạp nên làm cho mô hình

toán của hệ thống trở nên cồng kềnh và gây

mất nhiều thời gian để xử lý [5], [6] Để cải

thiện hiệu năng của phương pháp, một giải

thuật lặp có hiệu chỉnh cũng được đề xuất

để nhằm rút ngắn thời gian tính của quá

trình nhận dạng các thông số bất định của

hệ thống cần xem xét [4], [5], [7]

Nghiên cứu này sẽ đề xuất một giải

thuật mới của phương pháp nhận dạng hệ thống một cách đầy đủ theo hướng của Hadamard kết hợp phương pháp cửa sổ trượt trực tuyến và giải thuật lựa chọn cảm biến Giải thuật nhận dạng này được xây dựng dựa trên phương pháp gradient phối ngẫu (conjugate gradient method) bao gồm

ba vấn đề chính cần giải quyết: vấn đề trực tiếp (direct problem), vấn đề bổ trợ (adjoint problem) và vấn đề độ nhạy (sensitivity problem) [6], [8], [9] bằng mô hình toán của bài toán ngược dựa trên phương pháp CGM, phương pháp cửa sổ trượt kết hợp với giải thuật xác định cảm biến tối ưu

2 Nghiên cứu 2.1 Mô tả hệ thống

Để xây dựng mô hình thí nghiệm cho phương pháp nhận dạng thông số của hệ thống được đề xuất trong bài viết này, giả

sử có một nguồn nhiệt S di chuyển trên bề

mặt của một tấm kim loại bằng nhôm hình vuông  3 có kích thước cạnh bên L

và độ dày e được mô tả như trong Hình 1 Giới hạn biên của miền làm việc được ký hiệu  2 [7], [10], [11]

Biến số không gian của hệ thống

 x y,    L2,L2  L2,L2

tính bằng mét và biến số thời gian là

0, f

t    t   được tính bằng giây Tấm

kim loại này được đốt nóng bởi hai nguồn nhiệt lần lượt có các hàm mật độ thông lượng nhiệt tương ứng là   t được tính bằng 2

Wm được giả định bằng một đĩa đồng chất di động D I t r ( ), I có tâm

 I(t), I( )

I x y t và bán kính rI Hàm phân

bố nhiệt độ của tấm kim loại  x y t, ,  là hàm liên tục theo không gian và thời gian được tính bằng Kelvin

Hình 1 Mô tả hệ thống thí nghiệm

Giả định rằng các giá trị của các thông

số Ψ , , , , , , ( ), ( ),  c h t I t 0 của hệ

thống sử dụng để xây dựng cho mô hình thí

nghiệm là biết trước và được liệt kê trong

Bảng 1 với đơn vị đo của các đại lượng

được tuân theo đơn vị đo lường trong hệ

thống đo lường quốc tế SI (tiếng Pháp:

Système International d'unités)

Trong đó, tấm kim loại sẽ được đốt

nóng bởi hai nguồn nhiệt di chuyển trên bề

mặt (mặt phẳng xOy) của tấm kim loại để

giúp ta khảo sát quá trình truyền nhiệt trên

bề mặt và bên trong tấm kim loại này Quỹ

đạo di chuyển của hai nguồn nhiệt được

mô tả như trong Hình 2 (a) Đồng thời, các

hàm mật độ dòng nhiệt của các nguồn được

cho bởi hàm số có đồ thị được thể hiện như

trong Hình 2 (b) Biểu thức của hàm mật

độ công suất nhiệt tổng của cả hai nguồn

trên x y t, ,  được sử dụng để đốt nóng

tấm kim loại thực nghiệm được diễn đạt

như sau:

I

Theo một cách khác, biểu thức

x y t, , 

 còn có thể được biểu diễn một

cách liên tục và khả vi dưới dạng hàm tổng

hợp của các hàm mật độ thành phần theo

biến thời gian và theo các tọa độ trong không gian như sau:

( )

t

x y t







(2)

Với, hệ số   được chọn nhằm mục đích rời rạc hóa hàm mật độ dòng nhiệt liên tục Khoảng thời gian  có thể được chia ra thành Nt đoạn

1 1 0

,

t

N

i i i







 với ti   i và bước chia rời rạc hóa được định nghĩa bởi

f t

  Để tránh mất tính tổng quát, phương trình quỹ đạo của tất cả các vị trí định vị bất kỳ của các nguồn nhiệt

 I( ), I( ) 

dưới dạng các hàm rời rạc một cách tuyến tính và được viết lại bằng cách sử dụng các hàm nón cơ bản s t i( ) với i  0, , Nt:

1 1

0 othe rwise

i

















(3)

Hàm mật độ dòng nhiệt được diễn đạt lại như sau ( )t i i s t( )( ) tr s t( )

và phương trình quỹ đạo di chuyển của

Nguồn nhiệt Quỹ đạo nguồn nhiệt

   

x

y

z

h

e

L

L

h

x

y

r

các nguồn nhiệt cũng được diễn đạt lại

như sau x tI( )  x s ti I i( )  ( ) xI trs t ( ),

( ) ( ) ( ) ( )

hiệu ma trận chuyển vị

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

X [m]

Trajectory of source Sensor Ci

1 1.5 2 2.5 3 3.5

4x 10

4

Time [seconde]

2 ]

Real flux Flux to be estimated Initial flux

Hình 2 Hàm mật độ dòng nhệt và quỹ đạo di chuyển của các nguồn nhiệt

2.2 Vấn đề thuận (direct problem)

Nếu tất cả các thông số được biết trong

bảng phụ lục, sự tiến triển của nhiệt độ

trong không gian và thời gian là kết quả nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc hai:

0

( , , ) ( , , ) 2 ( , , )

( , , )

x y t

x y t n









 





(4)

(c) Phân bố nhiệt độ tại t=900s (d) Phân bố nhiệt độ tại t=1500s

Hình 3 Phân bố nhiệt độ trên tấm kim loại theo thời gian

280

315

350

385

420

455

490

525

560

Time [s]

Temperature evolution in time

Hình 4 Hàm mật độ dòng nhiệt và quỹ đạo di chuyển của các nguồn nhiệt

Kết quả số thu được nhờ sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM, Finite Element Method) thực hiện trong phần mềm COMSOL MultiphysicsTM được nhúng vào phần mềm Matlab® [12], [18] Quá trình phân bố của nhiệt độ trên tấm nhôm theo thời gian

được thể hiện tại các thời thời điểm t=(300, 600, 900, 1500) như Hình 4 Để đánh giá độ

tin cậy của mô hình toán đề xuất để đơn giản hóa phương trình truyền nhiệt trong không

gian hai chiều, 25 cảm biến nhiệt C n được đặt cố định trên tấm kim loại như trong Hình 2(a) nhằm mục đích thu thập dữ liệu nhiệt độ của điểm đặt cảm biến trong suốt quá tình thực nghiệm Hơn nữa, để đánh giá ảnh hưởng của các sai số trong quá trình đo đạc, giả định rằng nhiệt độ thu thập từ các cảm biến đã bị tác động bởi các nhiễu Những nhiễu này

được tuân theo hàm phân phối xác suất Gauss N  ,  với giá trị trung bình  0 và độ lệch chuẩn   1

2.3 Phương pháp gradient phối ngẫu

2.3.1 Hàm mục tiêu

Để nhận dạng hàm mật độ dòng nhiệt ( )t , xét rằng “nhiệt độ đo” ˆ( , )C t n tại vị trí cảm biến C n1,2, ,25, một vấn đề ngược có thể được thiết lập và giải nghiệm bằng việc tối thiểu hóa một tiêu chuẩn bậc hai:

1 0

, ( , , ) , , ( , , ) ,

2

f

t N

n



Trong phần tiếp theo, việc thiết lập mô hình toán của các vấn đề sẽ được giới thiệu nhằm tính toán các thông số trung gian của phương pháp nhận dạng thông số bất định hệ thống dựa trên phương pháp CGM

2.3.2 Độ nhạy (sensitivity problem)

Xét rằng độ thay đổi của nhiệt độ ( , , )x y t được sinh ra bởi sự thay đổi của mật độ dòng nhiệt tổng được cho bởi: x y t, ,  x y, ,tx, ,y t

0

, , lim x y t x y t

x y t











Vấn đề độ nhạy của hệ thống được mô tả bởi hệ thống sau:

( , , ) ( , , ) 2 ( , , )

( , , )

x y t

x y t n











 





(6)

Trong đó, sự thay đổi của là:

( )

t









Nghiệm của vấn đề độ nhạy ( , , )x y t

là rất hữu ích trong viêc tính toán độ tăng

giảm k 1

cho mỗi vòng lặp: k1 k k1 k1

d



   

Độ tăng giảm k 1

làm tối thiểu tiêu chuẩn  1

, k

J    :

1

Arg m n i ,

J

1

1

0

k

d















 

Điều này suy ra độ tăng giảm k 1 được tính toán cho mỗi vòng lặp là:

1

1 0

2 1

0

1

, ,

, ,

ˆ ,

f

f

c

c

t

k n

N

k

n k

t

k n n

N

C t dt

t

t

t 















 





(7)

Để tính toán vấn đề độ nhạy, chiều

hướng tăng giảm d k1 6N t phải là được

biết thông qua việc tính toán với hàm mục

tiêu, cụ thể là gradient của hàm mục tiêu

phải được tính toán thông qua vấn đề phối

ngẫu sau đây

2.3.3 Vấn đề phối ngẫu (adjoint

problem)

Nhằm mục đích tính toán gradienr

i

J J



  

   

   i 1, 2, ,N t cho mỗi vòng lặp, một công thức Lagrange ( ( , , ), , ) x y t  được giới thiệu như sau:

0

( ( , , ), , ) ( ( , , ), )

2 ( , , ) ( , , )

( , , ) (

f

t

x y t







 

Nếu ( , , ) x y t là nghiệm của phương

trình (4) do đó:

( ( , , ), , ) x y t   J( ( , , ), x y t  )

và  ( ( , , ), , )x y t   J( ( , , ),x y t  )

Độ biến thiên Lagrange có thể được

viết lại:

( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , )

( , , )

( , , )

x y t

x y t

x y t

x y t

x y t

x y t













Với ( , , )x y t được cố định để

( , , )

( , , ) 0 ( , , )x y t x y t



phương trình phức hợp được kiểm chứng, nên:

( , , ) ( , , )

( ( , , ), )

 

 



Từ   ( ( , , ), , )

( )

x y t

t



 



và với ( ) ( , 1) ˆ ( )

k

d t  t    t , độ biến thiên Lagrange có thể được viết lại như sau:

1

( , , )

2 ( , , )

n

x y t

t













1

c

N

n



D x x C D y y C

là hàm phân phối Dirac liên quan đến cảm biến ( , )

n n

n C C

C x y và ( ) ( , , )x y t , nên:

0

( )

f

t

f

h

e

 









 