Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỷ

Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: + Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.. + Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình c[r]

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1 Phương pháp lũy thừa 1

A Nội dung phương pháp 1

B Một số ví dụ 3

C Bài tập 8

D Đáp số 9

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ 11

A Nội dung phương pháp 11

B Một số ví dụ 12

C Bài tập 18

D Đáp số 20

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích 21

A Nội dung phương pháp 21

B Một số ví dụ 22

C Bài tập 24

D Đáp số 25

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt 27

A Một số ví dụ 27

B Bài tập 30

C Đáp số 31

Bản quyền thuộc về ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng

Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84

Từ khóa : pham hong phong, Phuong trinh vo ty

Loại 1 Phương pháp lũy thừa

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này

* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ

+) f x   g x      

 







+) f x   g x      

 

2









* Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ

 f x   g x      

 









 f x   g x      

 









 f x   g x  

 

 

 

  2 

  

























 f x   g x  

 

 

 

  2 

  

























 f x   g x  

 

 

  2 













THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

 f x   g x  

 

 

  2 













B Một số ví dụ

Giải

Ta cĩ  1  x 3 2x 5 2x 12

2x 1 0



 





1 2

x









 

2 3

 2  x  2 x 2  2x  2 

 

 

 

thỏa mãn 3 không thỏa mãn 3 thỏa mãn 3

 



  



  



Vậy tập nghiệm của  1 là 1;1  3

Giải

Ta cĩ  1  2x 1    x 2  3x 1    2 

2







 

2 3

 3  x 2  3x 1   0  3 5 3 5

2 x 2

     4

 2  x 4  6x 3  11x 2  8x  2  0

x 1  x  4x  2  0



 

 

 

thỏa mãn thỏa mãn không thỏa mãn

 



  



  



Tập nghiệm của  1 là 1;2  2

Giải

ĐK:

 





 





 x  2

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Ta có:

 1  5x 1   2x 4   x 1 

 5x 1   3x 5 2 2x   2  6x 4 

 2x 2  6x 4    (do x x 2  2  x  2  0)

 2x 2  6x 4   x 2  4x  4

 x 2  10x  0

 0  x  10

Kết hợp điều kiện  tập nghiệm của  1 là 2;10

Ví dụ 4 [ĐHA04] GBPT 2 x 2 16

7 x

x 3





Giải

ĐK:

2



 



 x  4

Ta có:  1   2 

2 x  16   x 3  7  x

2 x  16  10  2x























2





















x 5

x 5

















 x  10  34 (TMĐK)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 10  34;  

Ví dụ 5 GPT 2x  3  x  6  x  5  2 x  4  1

Giải

ĐK: x  6 Ta có

3x   3 2 2x  9x 18   3x   3 2 2 x   x 20

 2x 2  9x 18   2 x 2   x 20

 x  (không TMĐK) 2

Vậy  1 vô nghiệm

Giải

2

x 

Ta có  1  x  7  2 2x  3  5x  6  4x 1 

 9x 5 4 2x   2  11x 21   9x 5 2 20x   2  19x 6 

 2 2x 2  11x 21   20x 2  19x 6 

 4 2x 2  11x  21  20x 2  19x  6

 12x 2  63x 78   0

 4x 2  21x 26   0

4

x 2 x











Thử lại ta thấy chỉ 13

4

x  là nghiệm của  1 Vậy  1 có nghiệm duy nhất 13

4

x 

Nhận xét:

+) Hai phương trình: f x  g x  và f 2 x  g 2 x nói chung là không tương đương

Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng Trong ví

dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế Nhờ thế mà sau khi bình phương, ta giản ước được 9x  5 ở hai vế

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Giải

Ta có  1 





 





x 1







Do đó số nghiệm của  1 bằng số nghiệm thỏa mãn x  của 1  2 nên bằng số điểm chung của

đường thẳng y   m 1  với đồ thị hàm số f x  x 3  x 2  x ( x  ) 1

Ta có f ' x  3x 2  2x 1  f ' x  0  1

3

x

 









Kết luận:

* m 1    1  m   : 2  1 vô nghiệm

7

m 1

     m  18 7 :  1 có 1 nghiệm

*

25 7

m 1

   



  





18 7 m

 



  



:  1 có 2 nghiệm

* 25

        2 m  18 7 :  1 có 3 nghiệm

Ví dụ 8 [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt

 

2

x  mx  2  2x 1  1

Giải

Ta có  1  x 2 mx 2 2x 12

2x 1 0



 



1 2

x





 



 2 là phương trình bậc hai có  4 m  2  12  0  m   2 luôn có hai nghiệm phân biệt

1

x , x Theo định lý Vi-ét thì 2  

m 4

1

3

x x







 



 1 có hai nghiệm phân biệt   2 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1

2





1

1

x x

  





 





1

1 2 1

2 2







1

- 25 7

1

-∞

+

f x

f ' x ( )

1 3 -1

    

1 2 2 2

1 1

1 2 2 2









 

   

1 2

1 2 2 1 1 4

4







Thay  3 vào  4 ta thu được

m 4 3

1 0











 





 



2

m











 m  9 2

Vậy  1 có hai nghiệm phân biệt  m  9 2

Chú ý: Ví dụ trên có thể được làm bằng cách khác như sau:

Biến đổi  1 về dạng:

2 3x 4x 1 x 1 2

m

x

 









  



 1 có hai nghiệm phân biệt  y  m có hai điểm chung với ĐTHS 3x 2 4x 1

x

2

x  

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

1) x  x 2   x 2  3 2) x   2 x 2  3x 1   0

3) 3x  x 3   x 1   2 4) x 3  x 2  6x  28   x 5

5) x 4  4x 3  14x 11    1 x 6) x 4  5x 3  12x 2  17x 7   6 x 1  

Bài 2 Giải các phương trình sau

1) x  3  3x 1   2 x  2x  2 2) x 2  2x  x  2  x  x 2  2x  2

x    x

Bài 3 Giải các phương trình sau

1) 3 x 1   3 x 1   x 2 3 2) 3 x 1   3 x 3   3 2

3) 3 2x 3   1 3 1 x  3  x

Bài 4 Giải các bất phương trình sau

x 1   2 x  1

3) 2x 5    x 2  4x  3 4) x 2  3x  2  x 2  4x  3  2 x 2  5x 4 

5) x 1   2x 1   3 x 1  

Bài 5 Giải và biện luận theo m các phương trình

Bài 6 [ĐHB07] Chứng minh với mọi m  0, phương trình x 2  2x   8 m x  2 có hai nghiệm phân biệt

Bài 7 Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau

D Đáp số

4) 1 , 1 13

2

 

3 2

5

1  x 

4) x  hoặc x 1  4 5) 1  x  2 6) 1

Bài 5 1) m   hoặc 1 0  m  1: vô nghiệm,

   hoặc m  : 1 m 2 1

2m

x    2) m  0 hoặc 0  m  2: vô nghiệm,

m  0: x  0,

m  : 2 m 2 4

4

x  

Bài 7 1) m   : x 1   m 1  ,

m   : x 1  m hoặc m    2 x   m 1 

4

2  m  : x  m,

9 4

4  x  2,

m  : x 2  2

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ

A Nội dung phương pháp

Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô

tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải các PT

2) x 5  2 x   3 x 2  3x  1

Giải

1) Đặt t  x 2  11  2   

2 2

 







, ta thu được phương trình

t 2  11  t 31  t 2   t 42  0     

 

thỏa mãn không thỏa mãn

 



  



Thay t  6 vào  2 ta cĩ x 2  11  6  x 2  11  36  x 2  25  x   5

Vậy tập nghiệm của phương trình là   5

2)  1  x 2  3x  3 x 2  3x  10  0

Đặt t  x 2  3x  2   

2 2

 







, ta thu được phương trình

2

 

thỏa mãn không thỏa mãn

 



  



Thay t  2 vào  2 ta cĩ x 2  3x  2  x 2  3x  4  x 2  3x 4   x 1





  



Vậy tập nghiệm của phương trình là 1; 4  

Ví dụ 2 Giải các phương trình

x

x  2x x   3x 1  1 2) x 2  3 x 4  x 2  2x 1   1

Giải

1) Ta thấy x  0 khơng phải nghiệm của  1 nên

x x

x   2 x    3 0

Đặt 1  

x

x

t x

t

 











, ta thu được phương trình

2

 

thỏa mãn không thỏa mãn

 



  



Thay t  1 vào  2 ta cĩ 1

x

x

x   1  x 2    x 1 0  1 5

2



Vậy tập nghiệm của phương trình là  1 5

2



2) Ta thấy x  0 khơng phải nghiệm của  1 nên

 1  3 1 1

x x

x   x    2 0

Đặt t  3 x  x 1  2 

x 3 1

x   t , ta thu được phương trình

3

t    t 2 0  t 1   t 2   t 2 0

 t   1 0 (do 2  12 7

t   t 2  t    0  ) x

 t  1 Thay t  1 vào  2 ta cĩ 3 1

x

x   1  x  1 x  1  x 2    x 1 0  1 5

2



Vậy tập nghiệm của phương trình là  1 5

2



Ví dụ 3 Giải các phương trình

1) 2x  x 1   x  2 x 2  x  1  1 2) x 2  2x  x  3  2x x  3  9

Giải

1) Đặt t  x   1 x  2 

 

2 2

 







Với phép đặt ẩn phụ như trên  1 trở thành

2

 

thỏa mãn không thỏa mãn

 



 



Thay t  1 vào  2 ta được x   1 x  1  4

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Xét  4 :

ĐK: x  0

* Dễ thấy x  0 là nghiệm của  4

* x  0  VT 4  1  x khơng phải nghiệm của  4

Vậy  1 cĩ nghiệm duy nhất x  0

2)  1  x 2   x x  x 3   2x x  3  9

Đặt t  x  x  3  2   

  







Với phép đặt ẩn phụ như trên  1 trở thành

2

 

thỏa mãn không thỏa mãn

 



 



Thay t  3 vào  2 ta được x  x  3  3  4

Xét  4 :

ĐK: x   3

* Dễ thấy x  là nghiệm của 1  4

* x  1  VT 4  4  x khơng phải nghiệm của  4

*   3 x  1  VT 4  4  x khơng phải nghiệm của  4

Vậy  1 cĩ nghiệm duy nhất x  1

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: x 2  2x 2m 5 2x x    2  m 2  1

Giải

Đặt t  5 2x x   2  2  x 2  2x   5 t 2 Phương trình  1 trở thành:

Khi đĩ phương trình trở thành: t 2  2mt  m 2  5  0  3  t  m  5

Xét hàm f x  5 2x x   2 Ta cĩ f x  6 x 1  2 Ta thấy f x  0  x, dấu bằng xảy

ra  x    1 6; f x  6  , dấu bằng xảy ra x  x   Do đĩ tập giá trị của hàm f là 1 0; 6

 , thành thử  2 cĩ nghiệm  t    0; 6  

Vậy  1 có nghiệm   2 có nghiệm t   0; 6 









Chú ý:

 Điều kiện phương trình f x  m  * có nghiệm:

o  * có nghiệm  đường thẳng y  m có điểm chung với đồ thị hàm

số y  f x 

o  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số y  f x 

 Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình

có nghiệm Về việc tìm tập giá trị của hàm số y  f x , ta có thể dùng khẳng

định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là M tại b và

f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a, b thì tập giá trị của f là m;M

Ví dụ 5 Giải phương trình 2 1 x   x 2  2x 1   x 2  2x 1   1

Giải

Đặt t  x 2  2x 1   2 ,  1 trở thành:

2 1 x t   t  t t    2 1 x     0 









Thay t  0 vào  2 ta có x 2  2x 1   0  x 2  2x 1   0  x    1 2

Thay t  2 1  x vào  2 ta có

x 2  2x 1   2 1 x     









2

x 1 3x 10x 5









3

x 1











3

Vậy tập nghiệm của phương trình là  5 10

3

1 2; 

Ví dụ 6 Giải phương trình x 35 3  x 3   x  3 35  x 3    30  1

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Giải

Đặt t  3 35 x  3  t 3  35 x  3  x 3  t 3  35  2

Thay t  3 35 x  3 vào  1 , ta có xt x  t 30  3

Ta có hệ gồm hai phương trình  2 và  3 :

3 3







3







  

3







(thay phương trình dưới vào phương trình trên)



 







 x t 5

xt 6

 









(thay phương trình trên vào phương trình dưới)

Ta có T 2  5T 6   0  T 2











Do đó, hệ nói trên tương đương với

  











  









Vậy tập nghiệm của  1 là 2; 3

Chú ý: Định lý Vi-ét đảo

Xét hệ x y S (1)









và phương trình t 2  St  P  0 (2) Khi đó:

 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm

 Trong trường hợp (2) có nghiệm t và 1 t thì: 2

1 2 2 1

(1)

  









   



  



Ví dụ 7 [ĐHA09] Giải phương trình 2 3x 2 3   3 6 5x    8 0  1

Giải

Đk: 6  5x  0  x  6 5

   

3

2







 v  0

Ta có  2 

3 2





 





3 2







 5u 3  3v 2  8 

 

5u  3v  8  0 3

Thay  2 vào  1 , ta được 2u  3v  8  0  2   

3

v   u  4 4 Thay  4 vào  3 , ta có:

3 5u  3   u  4   8  0 3

3

5u  u  8u 16    8 0

 15u 3  4u 2  32u 40   0

 u  2 15u  2  26u  20 0



2







 u   2 Thay u   2 vào  2a , ta được 3 3x 2    2  3x  2   8  x   2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x   2

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1) 1 x   1 x   2 1 x  2  4 2) 3x   2 x 1   4x 9   2 3x 2  5x  2 3) x 3  3x 2  2 x  23  6x  0 4) 3  x  6  x  3  3  x6  x

5) 2x 2  x 2  5x 6   10x 15  6) 7x 7   7x 6   2 49x 2  7x 42   181 14x 

2x

2 x

4

Bài 2 Cho phương trình 3  x  6  x  3  x 6  x  m

1) Giải phương trình với m  3

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 3 Tìm m để BPT m   x 2  2x  2  1    x 2  x 0

Bài 4 Tìm m để BPT 2  x 4  x  x 2  2x  m nghiệm đúng với mọi x   2;4

Bài 5 Giải các PT sau:

1) 1  1 x  2  2x 2 2) x 3  1 x  23  x 2 1 x  2

3) 1 x  2  4x 3  3x

Bài 6 Giải các PT sau:

1) 5 x 3   1 2 x 2  2 2) 5x 2  14x 9   x 2   x 20  5 x 1 

2x  5x  2  4 2 x  21x  20 4) 2 x 2  3x  2 3 x 3  8

Bài 7 [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1   m x 1   2 x 4 2  1

Bài 8 Giải các phương trình:

1) 3 24  x  12  x  6 2) x  3  3 x  3

3) 4 x  4 17  x  3 4) 32 x  2  37 x  2  32 x  7 x    3