Cñng cè dÆn dß : - Nhắc lại khái niệm đồng biến, nghịch biến của hàm số - Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số - Ứng dụng để chứng minh BĐT... KiÕn thøc - Tìm khoảng đơn điệu của hàm[r]
Trang 1Chương1 : ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Tiết 1: Đ1 Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số (Tiết 1)
Soạn ngày 20/08/09
A -Mục tiêu bài giảng:
1 Kiến thức
- Nắm vững định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của Hàm số
- Nắm được mối liên hệ của khái niệm này với đạo hàm
2 Kĩ năng
- Hình thành kĩ năng giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
B - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa , giáo án
- Kiến thức về đạo hàm, dụng cụ học tập…
C - Tiến trình tổ chức bài học:
1 ổn định lớp:
2 Giới thiệu chương trình SGK
3 Bài giảng:
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Nêu lại định nghĩa về sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số trên một khoảng
K (K R)
- Nói được: Hàm y = cosx tăng trên từng
2
3 2
Trên
0,
- Nghiên cứu phần định nghĩa về tính đơn
điệu của SGK (trang 4-5)
+ Nờu lờn mối liờn hệ giữa đồ thị của hàm
số và tớnh đơn điệu của hàm số?
I - Tính đơn điệu của hàm số
1 Nhắc lại định nghĩa +) Định nghĩa
+) Hàm f(x) đồng biến trên K tỉ số biến thiên:
f (x ) f (x )
0 x , x K(x x )
+) Hàm f(x) nghịch biến trên K tỉ số biến
f (x ) f (x ) 0 x , x K(x x )
đơn điệu của hàm số (SGK)
+ Đồ thị của hàm số đồng biến trờn K là một
Trang 2+) Gọi học sinh đọc định lí SGK
+) áp dụng xét tính đơn điệu, giải VD sau
+) Tìm TXĐ
+) Tìm y’
+) Giải PT y’ = 0
+) Xét dấu y’
+) Kết luận
+) Dựa vào lời giải VD trên, nêu các bước
xét tính đơn điệu một hàm số
- Tìm TXĐ
- Tìm y’
đường đi lờn từ trỏi sang phải
+ Đồ thị của hàm số nghịch biến trờn K là một đường đi xuống từ trỏi sang phải
2 Tính đơn điệu và dấu đạo hàm
* Định lớ 1: (SGK) Cho hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn K
* Nếu f'(x) > 0 x Kthỡ hàm số y = f(x) đồng biến trờn K
* Nếu f'(x) < 0 x Kthỡ hàm số y = f(x) nghịch biến trờn K
VD1 : Tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số: y = x3 3x + 1
Giải:
+ TXĐ: D = R
+ y' = 3x2 3 y' = 0 x = 1 x = 1
+ BBT:
x 1 1 + y' + 0 0 +
y
x O
x O
y
Trang 3- Tìm các …
+) Gọi học sinh đọc quy tắc
+) Tìm TXĐ
+) Tìm y’
+) Giải PT y’ = 0
+) Xét dấu y’
+) HD: Xột tớnh đơn điệu của hàm số y =
x - sinx trờn khoảng 0; từ đú rỳt ra
2
bđt cần chứng minh
- -1 0 1 +
y’ + 0 - || - 0 +
y
VD2: Xột tớnh đơn điệu của hàm số y = x3 ĐS: Hàm số luụn đồng biến
Chú ý : y’ = 0 x
II Quy tắc
1 Quy tắc (SGK) + Lưu ý: Việc tỡm cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cũn được gọi là xột chiều biến thiờn của hàm số đú
2 Một số VD
VD 1: Xột tớnh đơn điệu của hàm số sau:
1 2
x y x
ĐS: Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ; 2
và 2;
VD2 : CMR x > sinx với x 0;
2
VD 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
y = 3x + + 53
x
VD4 : Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến
của hàm số: y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7
4 Củng cố dặn dò :
- Nhắc lại khái niệm đồng biến, nghịch biến của hàm số
- Nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Ứng dụng để chứng minh BĐT
- Xem lại bài học, hoàn thành các bài tập còn lại
- Về nhà làm các bài tập 1-5 trang 10
Trang 4Tiết 2 Đ1 Sự đồng biến và nghịch biến … (Tiết 2) Soạn ngày 22/08/09
A Mục tiêu bài giảng:
1 Kiến thức
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
- Xây dựng quy tắc xét tình đơn điệu của hàm số
- áp dụng được đạo hàm để giải các bài toán đơn giản
- Chứng minh BĐT đơn giản bằng đạo hàm.
2 Kĩ năng
- Thành thạo kĩ năng giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
- Luyện kĩ năng giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
- Có kỹ năng thành thạo giải toán về xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
B - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa , giáo án
- Kiến thức về đạo hàm, dụng cụ học tập…
C - Tiến trình tổ chức bài học:
1 ổn định lớp, kiểm tra sĩ số :
2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp trong khi dạy)
3 Bài giảng
Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
+) Phát biểu định lí mối quan hệ đơn điệu và
đạo hàm của hàm số, nêu quy tắc xét tính đơn
điệu của hàm số
+) Gọi hai hs lên bảng làm bài tập 1 (trang 9)
+) GV cho bài tập bổ sung
Bài T1 : Xét sự biến thiên các hàm số sau
2
y = 3x 8
b.y =
1
x x
Bài T2 : .Tỡm giỏ trị của tham số a để hàm số
đồng biến trờn
1
3
Bài tập 1 (trang 9) : Tìm các khoảng đơn điệu của các
c) y = x4 2x2 3 TXĐ D = R y’ = 4x3- 4x y’ = 0
d) y = x3 x25 TXĐ D = R y’ = -3x2 + 2x y’ = 0 … Bài tập 2 (trang 10) Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y = 3x 1 y’ = > 0 x 1
1 x
4 (1 x) Vậy hàm số đ.biến trên các khoảng xác định
Trang 5- Trình bày bài giải.
- Nhận xét bài giải của bạn
Bài T3: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) cosx > 1 - (x > 0)
2 x 2 b) tanx > x + ( 0 < x < )
3 x
c) sinx + tanx > 2x ( 0 < x < )
2
d) x - x x3 sin x x x3 x5 với x > 0
e) sinx > 2x với x
f) 1 < cos2x < 2 với x
4
4
2
x 2x
1 x
2 2
x 2x 2 (1 x)
Vậy h.số n.biến trên các khoảng xác định c) y = x2 x 20
TXĐ D = (- ; - 4) (5 ;+ )
x
y’ = 0 22 1 = 0 VN
x
y’ > 0 x (5 ;+ ) … Bài T3 : a) f(x) = cosx - 1 + x2 f’(x) = x -
2 sinx > 0 x (0 ;+ ) nên f(x) đồng biến trên (0 ;+ )
f(0) = 0 nên f(x) > f(0) = 0 x(0;+ ) cosx > 1 - (x > 0)
2 x 2 b) g(x) = tanx - x +
3 x 2
2
1
1 x tan x x cos x = (tanx - x)(tanx + x)
Do x 0; tanx > x, tanx + x > 0 nên
2
suy ra được g’(x) > 0 x 0; g(x)
2
đồng biến trên 0; Lại có g(0) = 0
2
g(x) > g(0) = 0 x 0;
2
Trang 6 tanx > x + ( 0 < x < ).
3 x
4 Củng cố dặn dò
- Nắm chắc quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
- Chú ý các hàm số đa thức bậc 2, 3, 4 Hàm phân thức bậc 1/bậc1
- Hoàn thiện các bài tập còn lại ở trang 10 (SGK)
- Hướng dẫn học sinh về nhà đọc bài đọc thêm
Tiết 3: Đ2 - Cực trị của Hàm số (Tiết 1) Soạn ngày 23/08/08
A - Mục tiêu bài giảng:
1 Kiến thức
- Khái niệm cực đại, cực tiểu
- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lý 1 và quy tắc 1
2 Kĩ năng
- Biết khái niệm cực đại, cực tiểu Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
- Nắm được các điều kiện đủ để hàm số có cực trị
B - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa, giáo án,…
- SGK, vở ghi, dụng cụ học tập
C - Tiến trình tổ chức bài học:
1 ổn định lớp, kiểm tra sĩ số :
2 Kiểm tra bài cũ (Kết hợp trong khi dạy) bài tập 3 trang 10:
Chứng minh rằng hàm số y = 2x nghịch biến trên từng khoảng (- ; 1) và (1; + )
x 1
3 Bài giảng
Trang 7Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên
- Gọi một học sinh lên bảng trình
bày bài tập đã chuẩn bị ở nhà
- Cho tính thêm các giá trị của hàm
số tại các điểm x = 1
- Hãy chỉ ra điểm cao nhất, điểm
thấp nhất của đồ thị so với các điểm
xung quanh ?
+) HĐ1 Sgk T13
+) Gọi học sinh đọc định nghĩa
+) GV minh hoạ cho học sinh bằng
hình vẽ
+) Gọi học sinh đọc chú ý
+) GV tóm tắt lại bằng kí hiệu
+) Gọi học sinh đọc định lí
+) GV tóm tắt bằng kí hiệu và bằng
bảng
+) Gọi học sinh đọc quy tắc
+) GV tóm tắt lại quy tắc bằng kí
hiệu
- Hàm số xác định trên R và có y’ =
2 2 2
1 x
1 x
Ta có y’ = 0 x = 1 và xác định x R Ta có bảng:
x - -1 1 + y’ 0 + 0
-y 1
2
-1
2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ; 1) và (1; + )
I - Khái niệm cực đại, cực tiểu
1 Định nghĩa
2 Chú ý +) Điểm cực trị của hàm số, giá trị cực trị, điểm cực trị của đồ thị hàm số
+) Quan hệ cực trị với đạo hàm
II Điều kiện cực trị
Định lí 1
x x 0 - h x 0 x 0 + h f’(x) + -f(x) f CD
III – Qui tắc tìm cực trị
1 Quy tắc B1 : Tìm TXĐ : D =
x x 0 -h x 0 x 0 +h f’(x) - + f(x)
f CT
Trang 8+) HĐ 5 :
+) Tìm TXĐ
+) Tìm f’(x)
+) Giải PT f’(x) = 0
+) Lập BBT
+) Dựa vào BBT KL
+) Gọi học sinh lên bảng
B2 : Tìm y’, giải PT y’ = 0, tìm nghiệm và các giá trị làm cho y’ không xác định
B3 : Lập BBT Cực trị
2 Một số VD VD1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3) TXĐ : D =
f(x) = x(x2 - 3) = x3 - 3x
f’(x) = 3x2 - 3 f’(x) = 0 1 (1) 2
1 ( 1) 2
+) BBT
+) KL VD2 : Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau a) y = x4 - 2x2 - 3
b) y =
2
3
x
c) y = x3 - 2x2- 7x + 2
d) y = 2 5
3
x x
e) y = x + 9
x
3 Củng cố dặn dò
- Nắm chắc quy tắc1 tìm cực trị
Bài tập về nhà: 1, 3, 4 trang 18 (SGK)
Trang 9Tiết 4: Đ2 - Cực trị của Hàm số (Tiết 2) Soạn ngày 23/08/09
A - Mục tiêu bài giảng:
1 Kiến thức
- Nắm vững khái niệm cực đại, cực tiểu địa phương
-Phân biệt được với khái niệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất
- Nắm vững các điều kiện đủ để hàm số có cực trị
2 Kĩ năng
- Vận dụng thành thạo Định lý 2 và quy tắc 2
- Luyện kỹ năng áp dụng các quy tắc 1, 2 để tìm cực trị của hàm số
B - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa, giáo án
- SGK, dụng cụ học tập…
C - Tiến trình tổ chức bài học:
1 ổn định lớp, kiểm tra sĩ số :
2 Kiểm tra bài cũ :
áp dụng quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 c) y = x + 1
x
3 Bài giảng
- Gọi 2 học sinh lên bảng trình bày
bài giải đã chuẩn bị ở nhà
- Giao cho các học sinh bên dưới:
+ ở câu a) tính thêm y”(- 3); y”(2)
+ ở câu b) tính thêm y”(- 1); y”(1)
- Phát vấn:
Quan hệ giữa dấu của đạo hàm cấp
hai với cực trị của hàm số ?
a) Tập xác định của hàm số là tập R
y’ = 6x2 + 6x - 36; y’ = 0 x = - 3; x = 2
Ta có bảng:
x - - 3 2 +
y’ + 0 - 0 +
y CĐ - 54
71 CT Suy ra yCĐ = y(- 3) = 71; yCT = y(2) = - 54 c) Tập xác định của hàm số là R \ 0
Trang 10+) Gọi học sinh đọc định lí 2
+) GV tóm tắt bằng kí hiệu
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập
theo 2 cách: Một học sinh dùng quy
tắc 1, một học sinh dùng quy tắc 2 và
so sánh các kết quả tìm được
- Chú ý cho học sinh:
+ Trường hợp y” = 0 không có kết
luận gì về điểm cực trị của hàm số
+ Khi nào nên dùng quy tắc 1, khi
nào nên dùng quy tắc 2 ?
- Đối với các hàm số không có đạo
hàm cấp 1 (và do đó không có đạo
hàm cấp 2) thì không thể dùng quy
tắc 2
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã
chuẩn bị
- Củng cố quy tắc 2
y’ = 1 - 12 = ; y’ = 0 x = - 1; x = 1
x
2
2
x
Lập bảng, suy ra: yCĐ= y(-1) = - 2; yCT = y(1) = 2
III – Qui tắc tìm cực trị (tiếp)
3 Định lí 2
4 Quy tắc 2
5 Một số VD VD1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số:
y = f(x) = x1 4 - 2x2 + 6
4
- Tập xác định của hàm số: R f’(x) = x3 - 4x = x(x2 - 4); f’(x) = 0 x = 2; x = 0 Quy tắc 1: Lập bảng xét dấu của f’(x) để suy ra các
điểm cực trị
x - - 2 0 2 +
f’ - 0 + 0 - 0 + f
2 CĐ 2
CT 6 CT
Suy ra: fCT = f( 2) = 2; fCĐ =f(0) = 6 Quy tắc 2: Tính f”(x) = 3x2 - 4 nên ta có:
f”( 2) = 8 > 0 hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và fCT = f( 2) = 2 f”(0) = - 4 < 0
hàm số đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = f(0) = 6
VD2 : Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
y = f(x) = sin2x + cos2x Hàm số xác định trên tập R
y’ = f’(x) = 2(cos2x - sin2x)
Trang 11- Uốn nắn cách biểu đạt của học
sinh
y’ = 0 tan2x = 1 x = k
y” = f”(x) = - 4(sin2x + cos2x) nên ta có:
= 4 2 n
4 2 n
ếu k = 2m m
ếu k = 2m + 1 m
Kết luận được: fCĐ = f m = -
8
fCT = f 5 m = -
8
3 Củng cố dặn dò
- Nắm vững hai qui tắc tìm cực trị của hàm số
- Điều kiện đêt hàm số có cực trị tại điểm x = x0
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực đại tại điểm x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 + Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu tại điểm x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực đại tại điểm x = x0: 0
0
'( ) 0 '( ) 0
f x
f x
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu tại điểm x = x0: 0
0
'( ) 0 '( ) 0
f x
f x
- Bài tập về nhà: Hoàn thiện các bài tập ở trang 18
Trang 12Tiết 5: Đ2 - Cực trị của Hàm số (Tiết 3) Soạn ngày 24/08/09
A - Mục tiêu bài giảng:
- Có kĩ năng thành thạo tìm cực trị của hàm số
- Giải được loại toán về cực trị của hàm số có chứa tham số
- Củng cố kiến thức cơ bản
B - Nội dung và mức độ:
- Củng cố kiến thức về cực trị của hàm số
- Chữa bài tập cho ở tiết 3 - 4
- Chú trọng các bài tập có chứa tham số
C - Chuẩn bị của thầy và trò:
- Sách giáo khoa, sách bài tập, giáo án
- SGK, dụng cụ học tập, bài tập đã giao, máy tính điện tử Casio fx - 570 MS
D - Tiến trình tổ chức bài học:
1 ổn định lớp, kiểm tra sĩ số :
2 Kiểm tra bài cũ (Kết hớp trong khi dạy)
3 Bài giảng
- Gọi 2 học sinh thực hiện bài tập đã
chuẩn bị ở nhà
- Hướng dẫn học sinh tính cực trị của
hàm số phân thức: y = f(x) = g(x)
h(x)
yCĐ = fCĐ = ;
CC
g ' x
h ' x
Đ
Đ
yCT = fCT =
CTCT
g ' x
h ' x
- Củng cố quy tắc 1
- Uốn nắn cách biểu đạt của học sinh
+) GV cho BT
d) y = f(x) = x2 2x 3 TXĐ : D = R \
x 1
y’ = f’(x) = ; y’ = 0
2 2
x 1
Lập bảng xét dấu của f’(x) và suy ra được:
fCT = f(1 + 2) = 2 2; fCĐ = f(1 - 2) = - 2 2 e) y = g(x) = x3(1 - x)2 TXĐ : D = R
y’ = g’(x) = x2(1 - x)(3 - 5x); y’ = 0
x 0 3 x 5
x 1
Lập bảng xét dấu của g’(x), suy ra được:
gCĐ = g 3 =
5
108 3125
Trang 13BT1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số
y = g(x) = 10 2
1 sin x
- Phát vấn:
Viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x)
đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x0 ?
- Củng cố:
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực
đại tại điểm x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và
f’(x) dổi dấu từ dương sang âm khi đi
qua x0
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực
tiểu tại điểm x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và
f’(x) dổi dấu từ âm sang dương khi đi
qua x0
- Phát vấn:
Có thể dùng quy tắc 2 để viết điều kiện
cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại (cực
BT1 : Hàm số xác định trên tập R
y’ = g’(x) = ; y’ = 0 x = k
10sin 2x
1 sin x
3 2
20cos 2x 1 sin x 20sin 2x
1 sin x
g” k =
2
20cos k
1 sin k
2
= 20 0 n
5
ếu k = 2m
> 0 nếu k = 2m + 1
Hàm đạt cực đại tại x = m; yCĐ = 10
Hàm đạt cực tiểu tại x = m ; yCT = 5
2
Bài tập 6 (trang 18) Xác định m để hàm số:
y = f(x) = x2 mx 1 đạt cực đại tại x = 2
x m
- Hàm số xác định trên R \ m và ta có:
y’ = f’(x) =
2
x m
- Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f’(2) = 0, tức là: m2 + 4m + 3 = 0 m 1
a) Xét m = -1 y = x2 x 1 và y’ =
x 1
2 2
x 2x
x 1
Ta có bảng:
x - 0 1 2 + y’ + 0 - - 0 + y
hàm số không đạt cực đại tại x = 2 nên giá trị m
= - 1 loại