THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải[r]
Trang 1Trang 1
Chuyên Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1 Cho , 0 , tìm GTNN
1
a b
a b
2
P
ab
Giải
4
“=” ra
1
1
2 Min 4 khi
2
a
a b
a b
b
Bài toán 2 Cho , 0 , tìm GTNN
1
a b
a b
2 1
P
ab
Giải
P
ab
“=” ra 1 2 2 2 ( )2 1 0(voâ nghieäm) không #! $%
Min ? ?P
Lời giải 2 Ta có:
P
&' khác 2 1
a b
ab
3
P
1 2 1
a b
:;% "%% 1 $% sao sai? :;% "%% 2 $% sao >$% tách ? ? Làm sao
a b a b
2ab 6ab3ab
chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị
II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang 2Cĩ thể nĩi tằng bài tốn bất đằng thức nĩi chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nĩi riêng là một trong nhửng bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khĩ nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một
số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khĩ khăn do một
số sai lầm do thĩi quen như lời giải 1 trong bài tốn mở đầu là một ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải tốn bất đẳng thức”
III NỘI DUNG
1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa: a b a b 0
b c
a b a c b c
c d
a b
b) Một số bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Cauchy
Cho n a a1, , , (2 a n n 2) ta luơn cĩ
1 2
n n
n
a a a n
a a a
Một vài hệ quả quan trọng:
n
với i 0, 1,
n
Cho 2n <C 501!" (nZ n, 2): a a1, , , , , , ,2 a b b n 1 2 b n ta cĩ:
n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2
a b a b a b a a a b b b
Bất đẳng thức BCS
Cho 2n <C 501!" (nZ n, 2): a a1, , , , , , ,2 a b b n 1 2 b n ta cĩ:
(a b1 1a b2 2 a b n n)2 (a12a22 a n2)(b12 b22 b n2)
“=’ ra 1 2
(quy ước nếu 0 0)
n
n
a
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy <C a a1, , ,2 a n và , , , với b b1 2 b n b i 0 i 1,n ta luơn cĩ:
Trang 3Trang 3
“=’ ra 1 2
n
n
a
2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho f x x( , , , )1 2 x n là n n: : n
D f D
( , , , ) ( , , , ) Max
( , , , ) : ( , , , )
D
( , , , ) ( , , , ) Min
( , , , ) : ( , , , )
D
f m
3 Phương pháp chọn điểm rơi
ta 52 7(! 5 -O!" ta khi các -%?! -O!" nhau và ra $% biên
a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
PQ 56!" R S (1) và (2)
1
a b
a b
4
ab
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2ab ab 2ab ab P 4 2 2 MinP 2(2 2)
Sai lầm 2:
2 2
2
1
a b
1 2
7
MinP
2
a b Nguyên nhân sai lầm:
Trang 4Sai 1 1 1 là do thói quen 7T
ab ab ab
làm %R! a2b22ab(ab)2 4 2 2 1 4 “=” -
2
1
a b
ab
a b
2
a b
các <C $!" và MinP7 khi 1 là
2
a b
2
(1x) x x x1Min(x1)2x 1??
, ta 52 7(! 7$ $% , ta có: ,
2
a b
4 2
2 2
2
1
a b
1
a b
a b
S
Sai lầm thường gặp:
Ta có: 31 3 12 12 22 22 3 3 92 2 2 12 12
3
S
3
2
59
3
MinS
Nguyên nhân sai lầm:
59
( ) 3
1
a b
Lời giải đúng
Trang 5Trang 5
Ta 52 7(! 5 -O!" ra khi 1, và ta vì ? ta
2
a b a3b33a b2 3ab2 (ab)3
C! %R! (ab)3; ta áp 31 3 12 1 2 và !? ,
a b a b ab
, ta không
a b a b ab a b ab a b
3
20
4
S
a b
-O!" ra khi 1
2
a b
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
P
Sai lầm thường gặp:
P
10
9
MaxP
Sai lầm 2:
P
Nguyên nhân sai
2 2 10
( ) 2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
x y z
10 ( , , ) :
9
x y z D P
Lời giải đúng: \ hai >;% "%% trên ,N% 52 7(! MaxP 4 nên tách các <C
3
x y z
ra cho 5 -O!"] ra
2x x x
Cách 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1 , 01!" 2 và ta có:
2x y z x x y z 16 x x y z
1 16
P
4 3
x y z
2 4
x y z x x y z x x y z
Trang 6, 01!" 2 ta cĩ:
“=” ra khi , suy ra:
16
P
x y z
1 4
x y z
1
4
x y z
Nhận xét: Ta cĩ T ^ J!" bài 3:
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
P
số
,
, , R
thì bài tốn cĩ cịn
3
a b c
a b c
3a2b3b2c3c2a 3 33
Sai lầm thương gặp:
Ta cĩ: 3 1 1 ( 2 ) 2 2 , 01!" 2 ta cĩ:
1.1( 2 )
a b
,
a b b c c a
mà 5 3 3 3 đề ra sai ? ?
3
a b c
5
P
ta áp 56!" 1
a b c
Cauchy cho ba <C a2 ,3,3b ta cĩ:
, 01!" 2 ta cĩ:
3
, 5 -O!" ra khi
3
3 3
1
a b c
Bài 5 Cho , , 0,
1
x y z xyz
y z x
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: P 2 2 2 3 ( )2 , ' khác , suy ra:
3
Trang 7Trang 7
, 5 “=” ra khi (1y)(1z)(1x) 8 xyz 8 3
2
2
2
2
(1 ) 2 1
1
(1 ) 2 1
x
y y
z z
x
' khác x y z 33 xyz 3 P 0
Nguyên nhân sai lầm:
1 1 0
a b
a b
Ở sai lầm 2: “=” ra 2 1 , 2 1 , 2 1 ( )
1
x y z
xyz
Lời giải đúng: Ta 52 7(! 5 “=” ra khi x y z 1 Vì , khi áp 56!" Cauchy cho
và :
2
1
x
y
1 y
4
Ta cĩ:
2
2
2
1
1
x y
z
z x
“=” ra khi x y z 1
Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học)
1
x y z xyz
3 3
,N% mN: Nếu m1 là đề thi Đại học khối D năm 2005
Bài 2 Cho x y z, , là 3 <C c x y z 0,
(7A tham 2005)
3 4 x 3 4 y 3 4 z 6
Bài 3 Cho a2,b3,c4, tìm GTLN: P ab c 4 bc a 2 ca b 3
abc
Bài 4 Cho a b c, , là các <C 501!" c mãn 3
4
a b c
Trang 89!" minh O!"3a3b3b2c3c3a 3 (e a 2005)
Bài 5 Cho , , 0 , tìm GTNN
1
a b c
a b c
P
ab bc ca
S
ab bc ca
Q
ab bc ca
2
Bài 7 Cho a b c, , là các
Q
Bài 8 Cho a b c, , 501!" c abc 1, tìm GTNN
(eU 2000 – 2001)
Q
a b c b c a c a b
1
x y z
x y
P
Bài 10 Cho x y z, , là ba <C 501!" và x y z 1,
FeU 2003)
82
b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS.
Bài 1 Cho x y z, , là ba <C 501!" và x y z 1,
82
1 1
2
P3 2 ?
Trang 9Trang 9
Nguyên nhân sai lầm:
1
x y z
; và
1 3
x y z
cho tam <Q 56!" BCS: 2 2 2 2 ,N% là !j!" <C c mãn:
2
1
y x
,
2
1
9
x x
1 9
82
82
x y z
1 1 1
x y z
x y z
P 82, 5 “=” ra khi 1
3
x y z
, , 0
1 1 1
1
x y z
x y z
P
Giải
z
y z
1 1
2
2
2 2
2 2
y z
P
x y z MaxP x y z
Bài tập áp dụng
Trang 10Bài 1 Cho , , 0
1
a b c abc
2
a b c b c a c a b
Bài 2 Cho , , 0, tìm GTNN
1
a b c abc
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
P
Bài 3 Cho a b c d, , , 0, tìm GTNN
P
1
0, 1, 1
i n i i
x
P 1x1 1x2 1x n
Bài 5 Cho a b c, , 0,
IV THAY CHO LỜI KẾT
Để làm rõ vai trò quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài toán
và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tôi xin nêu một phương pháp mới giải bài toán sau:
Bài toán: 9!" minh O!" trong M% tam giác ABC ta luôn có sin sin sin 3 3
2
A B C
Phân tích
3
Vì A B C ta "% -N <C -%?! -O!" sinC sin cosA Bsin cosB A
, ta !"l 7?!
sin sin sin sin sin sin cos sin cos
; không còn quan
sin A,cos A
2
, Ta áp 56!" Cauchy:
3