Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đạo hàm

Xác định điều kiện để bất phương trình : f xi  M được thỏa mãn x  a, b Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của m thỏa điều kiện vừa nêu Xác định điều kiện để phương trì[r]

TÌM GTLN,GTNN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

A/ PHƯƠNG PHÁP CHUNG:

Cơ sở của phương pháp chủ yếu là dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng các giá tị đặc biệt trên tập xác định của hàm số

mà suy ra kết quả

Để tìm GTLN,GTNN của một đại lượng biến thiên A ta thực hiện các bước sau: Bước 1: chọn biến số x

Bước 2: giới hạn x : x a, b

Bước 3: tính A theo x : A = f(x)

Bước 4: khảo sát f(x) trên  a, b

Ví dụ minh họa :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

1

1





x x

x y

Giải Tập xác định: D R

Ta có:



















































2

0 0

2 0

1 x

2 1

1 1

2 1

2 ,

2 2

2 2

2

2

,

x

x x

x y

x

x x

x x

x x

x x

y

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta được: Giá trị lớn nhất của y = 1 khi x = 0

Giá trị nhỏ nhất của y = -1 khi x = -2

I/ Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên khoảng  a, b :

Phương Pháp :

*Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên (a;b))

* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn của hàm số trên thuộc khoảng (a; b)

* Lập bảng biến thiên

* Dựa vào bảng biến thiên kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ minh họa :

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 (x > 0)

5

y x

x

   GIẢI:

TXĐ: R \ 0  (xét trên (0;)

Đạo hàm:

2 2

1 ' x

y

x





















1

) ( 1 0

'

x

loai x

y

BBT:

x 0 1 

y' - 0 +

y  

-3

khi x= 1 Hàm số không có giá trị lớn nhất trên

Min f x0;  ( ) 3

II/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a, b] :

Phương pháp :

* Tìm tập xác định của hàm số ( Chỉ xét trên [a;b])

* Tính dạo hàm và tìm điểm tới hạn xi của hàm số trên thuộc đoạn  a, b

* Tính f ( xi); f ( a ); f ( b )

  ( )  ( ); ( ); ( ) 

b

; ( ) ( ); ( ); ( )i

a b

Ví dụ minh họa :

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

ysin3 xcos3 x trên đoạn 0;2

Ta có y sin3 xcos3 x  sinxcosx)1sinxcosx 









 







4 sin 2 cos

x x

x

t t 2; 2 x0;2 

.Thay vào hàm số ta được : 2

1 cos

sin

2 

t

x

x

 2; 2

; 2

3 2

1 2

1

1 2    3   









  

y

 1; 0 1  2; 2

2

'  t  y  t   

y

.So sánh các giá trị này ta được

    ;   1;   1

2

2

; 2

2

1 1

2

y

GTLN là 1 tại t=1 tức là x0;2;2;GTNN là -1 tại t =-1 tức là













 2

3

; 



x

/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối liên tục trên



một đoạn : Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x)liên tục trên đoạn  a, b

Cách giải:

B1: Xét hàm số , (không chứa dấu ), trên  a, b

- Tính đạo hàm:y f(x)

- Giải phương trình f  x( )0và tìm các nghiệm thuộca i  a, b

B2: Giải phương trình f(x)0và tìm các nghiệm thuộc đoạnb i  a, b

B3: Tính các giá trị: f(a); f(b); f(a i); f(b i)

- So sánh và kết luận

Ví dụ minh họa :

Tìm GTLN và GTNN của hàm số y x3x2x1trên đoạn3,0

B1: Xét hàm số y f(x)x3x2 x1trên đoạn [-3;0] ta có:

- y3x22x1

-

3

1 1

0   



y

B2: f(x)0x1x1

B3: ta có :

, 1

)

0

( 

f

27

32 ) 3

1 ( 

f

, 32

)

3

( 

Ta nhận thấy x3x2x10,x3,0

Vậy từ các kết quả trên ta suy ra:

 y

Max 3,0 f(3) 32

 y

Min 3,0 f(1) 0

B Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước

Phương pháp :

Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y f ( m x, )có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn  a, b là M (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau

Chú ý: Hàm sốy f ( m x, ) liên tục trên  a, b

Cách 1:

 Tính đạo hàm f  ( m x, )

 Gải phương trình f  m(x, )0để tìm các nghiệm x1;x2; ;x n a,b

 Tính các giá trị f(x1),f(x2), f(x n)và f(a), f(b)

 Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là f(x i)

 Giải phương trình f(x i)0để tìm nghiệm m

 Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán

Cách 2:

 Xác định điều kiện để bất phương trình : f(x i)M được thỏa mãn x a,b

 Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện vừa nêum

 Xác định điều kiện để phương trình: f(x,m)0có nghiệmx a,b

 Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của thỏa điều kiện m

 So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán

 Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán

Cách 3:

 Tính đạo hàm f  ( m x, )

 Giải phương trình f  m(x, )0 để tìm các nghiệm x1;x2; ;x n a,b

 Tính các giá trị f(x1),f(x2), f(x n)và f(a), f(b)

 Lần lượt giải các phương trình:

để tìm các nghiệm

M b f M a f M x f M x f M x

f( 1) , ( 2) , , ( n) , ( ) , ( )

của chúngm0

 Thay mm0vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị m0 thực sự thỏa bài toán để nhận hoặc loại giá trị m0

 Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán

Ví dụ minh họa :

Xét hàm số:yx2 2mxm2 Xác định giá trị của tham số sao cho hàm số giá m

trịlớn nhất trên  1,3là 6

 Ta có đạo hàmy :y2x2m, vậy y0  2x  m2 0 xm

 Nhận xét rằng :xR, y(m) y(1),y(3)

 Do vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 1,3 hoặc tại x1hoặc tạix3, suy ra

 y(1)6 (1)

 y(3)6 (2)

 Doy(1)3m3, nên từ (1) suy ra m1

 Doy(3)7m11, nên từ (2) suy ra

7

5



m

Vớim1, thay vào hàm số ta được:y x22x3

Ta có: y2x2

Cho y0 x1 y2

Bảng biến thiên :

x 1 1 3

- 0 +y

2 y

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên  1,3 là18, suy ra m1không thỏa bài toán Suy ra m1loại

Với , thay vào hàm số ta được :

7

5



m

7

9 7

10

2 

y

18

Ta có:

7

10

2 



y

Cho y x  y

7

5 0

7 38

Bảng biến thiên

1 3 x

7 5

- 0 + y

y

7 38

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên  a, b là 6

Suy ra giá trị thỏa mãn bài toán

7

5



m

 Kết luận: Giá trị cần tìm :

7

5



m

6