2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu S biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng P: z = 2 lần lượt cắt S theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8... 2 Trong khôn[r]
Trang 1Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH
PHÚ YÊN
Đề số 15
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Khối B
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PH ẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = f x ( ) = x3- mx2+ 2 m (1) ( m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: 2sin2 x + 3 sin 2 x + = 1 3 sin x + cos x
2) Giải hệ phương trình: ( )
2
x y
ï í
ïî
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
6 0
sin cos 2
p
ò x dx x
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên có độ dài bằng a và các mặt bên hợp với mặt đáy
góc 450 Tính thể tích của hình chóp đó theo a
Câu V (1 điểm): Cho các số thực x , y thuộc đoạn [ ] 2; 4 Chứng minh rằng: 4 ( ) 1 1 9
2
x y
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1:2 x + 5 y + = 3 0 ; d2:5 x - 2 y - = 7 0 cắt nhau tại
A và điểm P( 7;8) - Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua P tạo với d1, d2thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng 29
2
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng mặt phẳng Oxy và mặt phẳng (P):
2
z = lần lượt cắt (S) theo hai đường tròn có bán kính bằng 2 và 8
Câu VII.a (1 điểm): Tìm a và n nguyên dương thỏa :
n n
n
+
3
20
n
A = n
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng () đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn (C) có phương trình : x2+ y2- 2 x + 6 y - 15 = 0 thành một dây cung có độ dài bằng 8
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng (): 1
x - = y = z
- - và tạo với mặt
phẳng (P) : 2 x - 2 y - + = z 1 0 góc 600 Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz
Câu VII.b (1 điểm): Tìm giá trị của tham số m để cho phương trình ( ) (1 )(2 )
có nghiệm
============================
Trang 2Hướng dẫn:
I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) y ¢ = 3 x2- 2 mx = x x (3 - 2 ) m
· Khi m = 0 thì 2
y x Þ (1) đồng biến trên R Þ thoả yêu cầu bài toán
· Khi m ¹ 0thì (1) có 2 cực trị 1 2 2
0 ,
3
m
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi f x ( ).1 f x ( )2 > 0
2
0
m
m
¹ ì ï
Û í
ïî
Kết luận: khi 3 6 3 6
;
è ø thì đồ thị của (1) cắt Ox tại duy nhất một điểm
Câu II: 1) PT Û ( )2
3 sin x + cos x = 3 sin x + cos x Û ( 3 sin x + cos x )( 3 sin x + cos x - = 1 ) 0
ê
êë
Û
3 tan
3
é
= -ê
ê
ë
x x
2
3
p p
p
é = - + ê
ê
êë
2
ï
í
ïî
x y
Điều kiện : x y ³ 0 ; x ³ y
Ta có: (1) Û 3( x - y )2 = 4 xy Û (3 x - y x )( - 3 ) y = 0 3
3
y
x y hay x
· Với x = 3 y, thế vào (2) ta được : y2- 6 y + = Û = 8 0 y 2 ; y = 4
;
· Với
3
y
x = , thế vào (2) ta được : 3 y2- 2 y + 24 = 0 Vô nghiệm
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: 6 12
;
Câu III:
2
x x Đặt t = cos x Þ dt = - sin xdx
Ta được
3
1 2
2
3 1
2
ln
ln
-Câu IV: Kẻ đường cao SH, gọi I là trung điểm BC Giả thiết cho SIH = · 450
Gọi x là độ dài cạnh của DABC Suy ra : 3 3 3
SAH vuông tại H
2
3
x
Trang 3SHI vuông cân tại H 3
6
x
Suy ra:
2
S ABC
Câu V: Gọi A ( x y ) 1 1 2 x y
x t y
t
x
x
y y
£ £ ì
ïî
Ta có:
2
2
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Ta có A(1; 1) - và d1 ^ d2
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d1, d2 là: D1: 7 x + 3 y - = 4 0 và D2: 3 x - 7 y - 10 = 0
3
d tạo với d1, d2một tam giác vuông cân Þ d3vuông góc với D1 hoặc D2.
Þ Phương trình của d3có dạng: 7 x + 3 y C + = 0 hay 3 x - 7 y C + ¢ = 0
Mặt khác, d3qua P - ( 7;8)nên C = 25 ; C¢ = 77
Suy ra : d3: 7 x + 3 y + 25 = 0 hay d3 :3 x - 7 y + 77 = 0
Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng 29
2 Þ cạnh huyền bằng 58
Suy ra độ dài đường cao A H = 58
2 = d A d ( , 3)
· Với d3 : 7 x + 3 y + 25 = 0 thì 3 58
2
d A d = ( thích hợp) · Với d3 : 3 x - 7 y + 77 = 0 thì 3 87
58
d A d = ( loại )
2) Theo giả thiết mp(Oxy) và (P): z = vuông góc với trục Oz , cắt mặt cầu theo 2 đường tròn tâm 2 O1(0, 0, 0) , bán kínhR =1 2 và tâm O2(0, 0, 2), bán kínhR =2 8 Suy ra tâm mặt cầu (S) là I (0, 0, ) m Î Oz
R là bán kính mặt cầu thì :
2
2 2
2
2 2
2
-í
Þ R = 2 65, I 0; 0;16 ( )
Vậy phương trình mặt cầu (S) : x2+ y2+ ( z - 16)2 = 260
Câu VII.a: An3 = 20 n Û n n ( - 1)( n - 2) = 20 n Û n2- 3 n - 18 = 0 Û n = 6 và n = – 3 ( loại )
Khi đó:
127
Ta có : (1 + x )6 = C60+ C x C x16 + 62 2+ C x63 3+ C x64 4+ C x65 5+ C x66 6
a
a
Trang 4Û
7
a
+
Vậy a = 1 và n = 6
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I (1; 3) - và bán kính R = 5
Gọi H là trung điểm dây cung AB thì AH = 4 và IH = R2- AH2 = 52- 42 = 3 hay d I D = ( , ) 3 (*) () qua gốc tọa độ nên phương trình có dạng: Ax + By = 0 ; A2+ B2 ¹ 0
Từ (*) cho :
2 2
3
· Với 4 A + 3 B = 0, chọn A = 3; B = – 4 Þ Phương trình của (): 3 x - 4 y = 0
· Với A = 0, chọn B = 1 Þ Phương trình của (): y = 0
Kết luận : PT của () là 3 x - 4 y = 0 hay y = 0
2) () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u = ur (1; 1; 2) - - (P) có VTPT n r ¢ = (2; 2; 1)
- Giao điểm M(0;0;m) cho uuuur AM = - ( 1;0; ) m (a) có VTPT n ur = é ë uuuur ur AM u , ù û = ( ; m m - 2;1)
(a) và (P): 2 x - 2 y - + = z 1 0 tạo thành góc 600 nên :
2
r r
Û m = - 2 2 hay m = + 2 2
Kết luận : M (0; 0; 2 - 2) hay M (0; 0; 2 + 2 )
Câu VII.b: PT
3
x
x
x x
x m
x m
- £ £ ì
- £ £
=
Đặt : ( )
3x
x
( )
3
x
x
ln 3
Kết luận : Khi 1
3
.ln 3
m e
- £ £ thì PT có nghiệm
=====================