Cho biểu thức P= cosA + cosB + cosC , trong đó A ,B ,C là các góc của một tam giác bất kỳ .Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất.. Tính tỉ số diện tích thiết[r]
Trang 1THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 Câu I :( 2,5 điểm)
1 Cho hàm số 2 1
1
y x
a Khảo sát hàm số đã cho
b Xác định điểmA x y( ; )1 1 ( vớix11 ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất
2 Tìm tập giá trị của hàm số và các tiệm cận của đồ thị của hàm
2
3 1
x y x
số đó
Câu II:( 1,5 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :
2 9x ( 1).3x 1 0
a a a
nghiệm đúng với mọi x
2. Giải và biện luận phương trình :logx a logax log 2 a 0
a x
trong đó a là tham số
Câu III:( 2 điểm)
1 Cho biểu thức P= cosA + cosB + cosC , trong đó A ,B ,C là các góc của một tam giác bất kỳ Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất
2 Chứng minh bất đẳng thức :1
0
sin
1 ln 2
1 sin
x x
dx
x x
Câu IV: (2,5 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đường cao SH và mặt phẳng( ) đi qua điểm A vuông góc với cạnh bên SC Biết mặt phẳng ( ) cắt SH tại điểmH1 mà
và cắt các cạnh bên SB, SC, SD lần lượt tại B’ ,C’ ,D’
1: 1: 3
SH SH
1 Tính tỉ số diện tích thiết diện AB’C’D’ và diện tích đáy hình chóp
2 Cho biết cạnh đáy của hình chóp bằng a.Tính thể tích của hình chóp S.AB’C’D’
Câu V : (1,5 điểm)
1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (x a )2y2 b2 với 0 < b < a
2 Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được lập thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8
ĐAP AN Câu I :
1) a) Khảo sát hàm số:
1
y
x
Trang 2 TXĐ :D R \ 1
2 2
2 '
( 1)
0
y x x
Tiệm cận đứng:
x = 1 vì
1
1 lim
1
Ta có: 1
1
y x
x
Tiệm cận xiên:
y = x vì lim 1 0
1
BBT:
Đồ thị :
X
Y O
(C)
-1 3
b) Xác định A x y( , ) ( )1 1 C với x 1 1 sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ nhất
Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận:
1
1 ( , ) ( )
1
x
Ta có : 2 2 2
2 2
1
1
1
x
Trang 3
2 2 2 2( 2 1)
Min khi :
AI 2 2( 2 1)
1
4
2
( 1) 1 1
2 1 1
1
2
x x
x
y
Vậy : 4 thì Min
A
2) Tìm tập giá trị của 2 3 và các tiệm cận của đồ thị hàm số đó:
1
x y x
Miền xác định R
' 2 1 3 2 ,
x y
1 ' 0
3
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:
Miền giá trị của hàm số :( 1, 10}
Đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang:y1 y 1
Câu II:
1) Tìm a để a.9x (a 1)3x 2 a 1 0 đúng x
Đặt t 3x Điều kiện: t > 0
Khi đó bất phương trình trở thành:
2 9( 1) 1 0
at a t a
2
(*) ( vì t > 0 )
29 1
9 1
t a
Xem hàm số : 29 1 trên
9 1
t y
Trang 4( 9 1)
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta được:
Bất phương trình đúng x
(*) đúng
a 1 2) Giải và biện luận phương trình:
logx alogax a loga x2 a 0
Trường hợp 1 : a 0: Phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2 : a = 1 : Phương trình trở thành :
log 1 log 1 log 1 0
x
Trường hợp 3 :0a 1
Điều kiện:x 0 x 1 x 1 x 12
Phương trình 1 1 1 2 0
loga x loga xa loga a x
loga x loga x 1 loga x 2
Đặt tloga x Điều kiện t0 t 1 t 2
Khi đó phương trình trở thành:
2
3 6 2 0
t t
(thoả điều kiện )
3
t
Vậy phương trình log 3 3 3 33
3
a x x a
Tóm lại: a 0: phương trình vô nghiệm
a = 1 : phương trình có nghiệm 0x 1
:phương trình có nghiệm
Câu III:
1) Cho P = cosA + cosB + cosC
Chứng minh P đạt giá trị lớn nhất nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 5 Ta có: 2 cos cos cos
2
2
2
2sin cos 1 2sin
Dấu = trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
2
2
2
sin sin ( loại vì nhọn )
A B
A B
A B
đều
A B
ABC C
Vậy Max P = khi 3 đều
2 ABC
Ta có : 2sin cos 1 2sin2
1 2sin sin cos
1 2sin 2sin sin
1 4sin sin sin , , nhọn
( Dấu = không thể xảy ra vì ) 1
P
2 2 2
A B C
Giả sử tồn tại Min P = k P k ( số k > 1)
Khi đó ( mâu thuẩn)
Kết luận :
Max P = , Min P không tồn tại.3
2
Câu III:
Trang 6Chứng minh 1
0
sin 1 ln 2
1 sin
x x dx
x x
Ta có x 0,1 thì sin (*)
x x x
Thật vậy: (*)xsinx x2sinx x x2sinx
xsinx x
x(sinx 1) 0 đúng
Vậy: 1 1
sin
1
0
1 0
1 1 1 ( ln 1 ) 1 ln 2
dx x
Câu IV:
1.Ta có (SBD) B D BD' '// và BD(SAC) nên B D SAC' '//( )
Ta có : ' ' 1 2
3
SH
B D
BD SH
2 ' ' 3
SAC cân tại S có làH1 trực tâm, AC’ qua H1 và AC'SC
AC’ là trung tuyến vừa là đường cao
đều
SAC
3
2
Ta có: ' ' ' 1 ' ' ' 1 2 3
AB C D
1 3 3
2BD AC 3 3 S ABCD
' ' ' 3
3
AB C D ABCD
S S
2) Cạnh đáy hình chóp bằng a 2
' ' ' 3
2
AB C D
Hình chóp SB’C’D’ có đáy là tứ giác AB’C’D’ và chiều cao là :
Trang 71 2 '
a
SC SC
3 2
Câu V:
1) Tính thể tích khi quay (C):(x a)2 y2 b2 (0 < b < a) quanh Oy
C D
B
O
A
y
b
Ta có:(x a)2 y2 b2
2 2 2
2 2
2 2 1
2 2 2
Gọi V V1, 2 lần lượt là thể tích của vật thể khi quay hình thang cong ABCO và ABDO quanh Oy
Suy ra thể tích cần tính là:
1 2
b
2 2 0
2
2
8
b
dy
b y dy
Đặt y = bsint dy bcos t dt
Đổi cận : y b t
y 0 t 0
Trang 82 2 2 0
2 0 2 0
0
8 sin cos
8 cos
4 (1 cos2 )
1
2
2) Tính tổng các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập thành từ 1, 3, 4,
5, 7, 8
Gọi số cần tìm có dạng: abcde
Số có dạng:abcd1 có số A54 = 120 số
Tương tự có 120 số với hàng đơn vị là 3 , là 4 , là 5 , là 7, là 8
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị của các số abcde là:
120(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 ) = 3360
Tương tự :
Tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn, hàng chục ngàn cũng là 3360
Do đó tổng tất cả các số abcde phải tính là:
3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 37.332.960