Các dạng Toán Hình ôn thi tốt nghiệp

Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp... Chú ý: Ta không cần viết pt mpOyz mà ta c[r]

CÁC DẠNG TỐN ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng.

2 Các dạng tốn.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ;y ;z )0 0 0 và vuơng gĩc

Điểm đi qua M(x ;y ;z ) VTPT n a







  

Cần nhớ: MP vuơng gĩc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuơng gĩc với đt d:

x 1 2t

y 3t

z 2

 



  



 



Bài giải HD

Điểm đi qua A(2;2-1) VTPT n a







  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).

- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là n P ad 2; 3;0 

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

2 x 2 3 y 2 0 z 1 0 2x 4 3y 6 0

2x 3y 2 0

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.ad

Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuơng gĩc với đường thẳng d: x 1 y 2 z

   



Bài giải HD

Điểm đi qua A(2;2-1) VTPT n a







  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).

1 Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n 0  được gọi là vectơ pháp tuyến của

mp(P) nếu giá của vuơng gĩc với (P), viết tắt là n .

n (P)



- Nếu hai vectơ a, b  khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trên mp(P) thì

mp(P) cĩ một vectơ pháp tuyến là: nP   a,b .

- Phương trình tổng quát của mp cĩ dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A2B C2 2 0

- Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x ;y ;z )0 0 0 cĩ vectơ pháp tuyến

P

n  A;B;C



 0  0  0

A x x B y y C z z 0

Cần nhớ:

- Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:

0 0 0

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc mp một VTPT n A;B;C







- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là n P ad 1;2; 2 

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 2 2 y 2 2 z 1   0

x 2 2y 4 2z 2 0

x 2y 2z 8 0

      

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng d nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.ad

Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuơng gĩc với AC.

Bài giải HD

P

Điểm đi qua B(0;2;0) VTPT n AC







  

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).

- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là n P AC  2;0;2

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 0 0 y 2 2 z 0 0

x + 2z = 0 x+z=0

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vuơng gĩc với BC tại B.

Bài giải HD

P

Điểm đi qua B(0;2;0) VTPT n BC







  

- Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).

- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là n P BC0; 2;2 

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 0 2 y 2   2 z 0 0

y+4+2z=0 y+2z+4=0

Cần nhớ: Mp(P) vuơng gĩc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến.

Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài giải HD

P

Điểm đi qua là trung điểm I(2;2;2) VTPT n AB







  

- Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.

- Gọi I là trung điểm của ABI 2;2;2 

- Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).

- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là n P AB2;2;2

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

  x 2 2 y 2  2 z 2   0 y+2y+2z-12=0

Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuơng gĩc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB.

Kiến thức không được quên

- Trục Ox có VTCP là i 1;0;0

- Trục Oy có VTCP là j0;1;0

- Trục Oz có VTCP là k 0;0;1

- Mp (Oxy) có VTPT: n    i, j  k 0;0;1

- Mp (Oxz) có VTPT: n  i,k  j 0;1;0

- Mp (Oyz) có VTPT: n  j,k  i 1;0;0

Bài 5: Cho điểm M(1;2;3).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i 1;0;0





 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P  i 1;0;0

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 0 y 2   0 z 3 0

x-1=0



Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.i

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j 0;1;0





 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P  j 0;1;0

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 1 y 2   0 z 3 0

y-2=0



Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.j

3 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n k 0;0;1





 

  

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P  k 0;0;1

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 0 y 2 1 z 3     0.

z =0

  

Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.k

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C

HD 0 0 0

P

Ñieåm ñi qua A(x ;y ;z )





Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1)

Bài giải

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP  AB,AC 

Với  

AB 1;1;0

AC 1;0;1

 

 





nP AB,AC 1;1;1

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 1 y 0 1 z 0     0

x 1 y z 0 x y z 1 0

         

Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1) Viết phương trình mp(OMN).

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua O, VTPT n OM,ON

    

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP  OM,ON 

Với  

OM 1;1;1

ON 1; 1;1



 





nP OM,ON  2;0; 2 

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 0 0 y 0 2 z 0   0

x 2z 0

   

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x ;y ;z )0 0 0 và song song

Ñieåm ñi qua M(x ;y ;z ) VTPT n n







  

Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với

mp(Q): 2x+2y+z=0.

Bài giải HD

Ñieåm ñi qua A(1;2;3) VTPT n n







  

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P nQ 2;2;1

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 2 y 2 1 z 3     0

x 2 2y 4 z 3 0

x 2y z 9 0

       

     

Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT.

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)

Bài giải HD

P ABC

Ñieåm ñi qua M VTPT n n AB,AC





   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n P nABC  AB,AC 

Với  

AB 1;1;0

AC 1;0;1

 

 





nP AB,AC 1;1;1

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 1 y 2 1 z 3     0

x 1 y 2 z 3 0

x y z 6 0

      

    

Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i, j k 0;0;1





   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n  P   i, j  k 0;0;1

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 0 y 2 1 z 3     0

z-3=0



Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n i,k j 0;1;0



- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n  P i,k  j 0;1;0

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 1 y 2   0 z 3 0

y-2=0



Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).

Bài giải

HD

P

Ñieåm ñi qua M(1;2;3) VTPT n j,k i 1;0;0





   

- Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).

- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n  P j,k  i 1;0;0

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 1 0 y 2   0 z 3 0

x-1=0



Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và

vuông góc với mp(Q) HD

Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n





  

Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp

(Q): 2x-y+3z-1=0

Bài giải HD

Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,n





   

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

 

Q

AB 1; 2;5

n 2; 1;3

  





- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là : nP AB,n Q   1;13;5

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 3 13 y 1 5 z 1     0

x-13y-5z+5=0



Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua A VTPT n AB,k





   

- Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1)

- Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:

 

AB 1; 2;5

k 0;0;1

  







- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP  AB,k =(-2;1;0)

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 3 1 y 1 0 z 1     0

x+y+5=0

 

Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)

Bài giải HD

P

Ñieåm ñi qua O VTPT n OA,i





  

- Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0)

- Hai vectơ khơng cùng phương cĩ giá song song hoặc nằm trên (P) là:

 

OA 1;1;1

i 1;0;0









- Mặt phẳng (P) cĩ vectơ pháp tuyến là nP  OA,i =(0;1;-1)

- Pt mp(P) : A x x  0B y y  0C z z  00

x 0 1 y 0 1 z 0     0

y-z=0



Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng.

2 Các dạng tốn.

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.

HD

AB

Điểm đi qua A VTCP a AB







  

Cần nhớ: Đường thẳng AB cĩ vectơ chỉ phương là vectơ AB.

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).

Bài giải HD

AB

Điểm đi qua A VTCP a AB







  

- Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng AB cĩ vectơ chỉ phương là: a AB AB=(1;-1;1).

0 0 0

x x at x 1 t

y y bt y 2 t

z 3 t

z z ct

      

     



Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng OG.

Bài giải HD

OG

Điểm đi qua O VTCP a OG







  

1 Kiến thức cần nhớ:

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ cĩ giá song song với đt hoặc trùng với đt

- Đường thẳng d qua điểm M(x ;y ;z )0 0 0 cĩ vectơ chỉ phương ad a;b;c:

 Cĩ pt tham số:

0 0 0

x x at

y y bt

z z ct

 



  



  



 Cĩ phương trình chính tắc: x x0 y y0 z z0 , a.b.c 0

Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm:

0 0 0 d

một điểm M(x ;y ;z ) thuộc đường thẳng một VTCP a a;b;c







- Ta có G(2;3;4)

- Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0).

- Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: a OG OG=(2;3;4).

0 0 0

x x at x 0 2t

y y bt y 0 3t

z 0 4t

z z ct

      

     



Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P) HD

Ñieåm ñi qua M VTCPa n







  

Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0.

Bài giải HD

Ñieåm ñi qua M VTCP a n







  

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d nP =(1;-2;-1).

0 0 0

x x at x 1 t

y y bt y 2 2t

z 3 t

z z ct

      

     



Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP.

Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ

và vuông góc mp(ABC).

Bài giải HD

d ABC

Ñieåm ñi qua O





   

- Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d nABC  AB,AC =(1;1;1).

- Pt tham số của d là: .

0 0 0

x x at x t

y y bt y t

z t

z z ct

     

    



Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua M VTCP a i, j k





   

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d k=(0;0;1).

0 0 0

z 3 t

z z ct

     

     



Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz).

Bài giải

HD

d

Ñieåm ñi qua M VTCP a i,k j 0;1;0





   

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d  j=(0;1;0).

0 0 0

y y bt y 2 t

z 3

z z ct

      

    



Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz).

Bài giải

HD

d

Ñieåm ñi qua M VTPCP a j,k i 1;0;0





   

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d i =(1;0;0).

0 0 0

x x at x 1 t

z 3

z z ct

     

    



Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’ Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’:

x 1 t

y 2 3t

z 3 4t

 



  



  



Bài giải HD

d d '

Ñieåm ñi qua M VTCP a a







  

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad ' =(1;-3;4).

0 0 0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4t

z z ct

      

     



Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với đường thẳng d’: x 12 y 23 z



Bài giải HD

d d '

Ñieåm ñi qua M VTCP a a







  

- Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d ad ' =(1;-3;4).

0 0 0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4t

z z ct

      

     



Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A VTCP a BC







  

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d BC=(1;-3;4).

0 0 0

x x at x 1 t

y y bt y 2 3t

z 3 4t

z z ct

      

     



Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A VTCP a i







  

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d i=(1;0;0).

0 0 0

x x at x 1 t

z 3

z z ct

     

    



Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A VTCP a j







  

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3).

- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: a d  j 0;1;0

0 0 0

y y bt y 2 t

z 3

z z ct

      

    



Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.

Bài giải HD

d

Ñieåm ñi qua A VTCP a k







  

- Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là a d  k 0;0;1 x 1

Pt : y 2

z 3 t







  



Phương trình các trục tọa độ

Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i1;0;0 có pt tham số là: x t .

y 0

z 0





 



 



Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j0;1;0 có pt tham số là: x 0.

y t

z 0





 



 



Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k 0;0;1 có pt tham số là: x 0.

y 0

z t





 



 



Phương trình các mặt phẳng tọa độ.

Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT: n    i, j  k 0;0;1 có pt: z=0.

Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT: n  i,k j 0;1;0 có pt: y=0.

Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: n  j,k  i 1;0;0 có pt: x=0.

Kiến thức không được quên:

 Pt mp(Oxy) là: z=0

 Pt mp(Oxz) là: y=0

 Pt mp(Oyz) là: x=0

Vấn đề 2: Các dạng toán khác.

Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0.

x 1 t

y 1 t

z 2t

  



   



  



Bài giải.

- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

- Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0

t+4-4=0 -2+2t=0 2t=2 t=1 x=-1+1=0

y=-1+1=0 H(0;0; 2) z=-2.1=-2

   









Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số.

Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: x 1 y 1 z và mp(P):x+y-2z-4=0.

   



Bài giải.

 Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

- Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0).