Luyện thi đại học - Phần I: Đại số tổ hợp và xác suất thống kê

Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành với 3 đỉnh là các điểm đã lấy ở trên?. Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?[r]

I Đại số tổ hợp.

1 Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng :

Giả sử khi thực hiện một công việc V ta phải xét k trường hợp (phương án) riêng biệt, mà:

Trường hợp 1: có n1 cách thực hiện việc V

Trường hợp 2: có n2 cách thực hiện

…………

Trường hợp k: có nk cách thực hiện

Khi đó ta có tất cả (n1 + n2 + … + nk) cách thực hiện công việc V

b) Quy tắc nhân :

Giả sử khi thực hiện một công việc V ta cần thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp nhau, mà:

Giai đoạn 1: có n1 cách thực hiện

Giai đoạn 2: có n2 cách thực hiện

…………

Giai đoạn k: có nk cách thực hiện

Khi đó ta có tất cả (n1.n2 … nk) cách thực hiện công việc V

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi

ghế một người ?

Giải

Mỗi cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người được thực hiện qua 4 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Xếp 1 người vào ghế thứ nhất có 4 cách

+ Giai đoạn 2: Xếp 1 người vào ghế thứ hai có 3 cách

+ Giai đoạn 3: Xếp 1 người vào ghế thứ ba có 2 cách

+ Giai đoạn 4: Xếp 1 người vào ghế thứ tư có 1 cách

Vậy cĩ tất cả: 4.3.2.1 = 24 cách xếp

Ví dụ 2: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi

ghế một người ?

Phần I: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Mỗi cách xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 4 ghế, mỗi ghế một người được thực hiện qua 4 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Xếp 1 người vào ghế thứ nhất có 6 cách

+ Giai đoạn 2: Xếp 1 người vào ghế thứ hai có 5 cách

+ Giai đoạn 3: Xếp 1 người vào ghế thứ ba có 4 cách

+ Giai đoạn 4: Xếp 1 người vào ghế thứ tư có 3 cách

Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp

Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, mỗi

người một ghế ?

Giải

Mỗi cách xếp 4 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, mỗi người một ghế được thực hiện qua 4 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Người thứ nhất chọn ghế có 6 cách

+ Giai đoạn 2: Người thứ hai chọn ghế có 5 cách

+ Giai đoạn 3: Người thứ ba chọn ghế có 4 cách

+ Giai đoạn 4: Người thứ tư chọn ghế có 3 cách

Vậy có tất cả: 6.5.4.3 = 360 cách xếp

Ví dụ 4: Có 3 con đường đi từ A đến B, 4 con đường đi từ B đến C, 3 con

đường đi từ C đến D và con đường đi từ A đến C không qua B Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi:

1/ Từ A đến C ? 2/ Từ A đến D ?

3/ Từ B đến D ? 4/ Từ A đến C ?

Chú ý: Mỗi cách chọn đường đi, mỗi địa điểm A, B, C, D chỉ qua không

quá một lần

2 Hoán vị

a) Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự nhất định

được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Ví dụ: Với 3 phần tử A, B,C có 6 hoán vị: AB, BA, AC, CA, BC, CB

b) Công thức tìm số hoán vị

Kí hiệu: Pn là số hoán vị của n phần tử

Ta có: Pn = n!

Chú ý: 0! = 1

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1

3 Chỉnh hợp

a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn và sắp xếp k phần tử từ n phần tử cho

trước theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Ví dụ: Với 3 phần tử A, B, C các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử trên là: AB, BA, AC, CA, BC, CB

b) Công thức tìm số chỉnh hợp

Kí hiệu: klà số chỉnh hợp chập k của n phần tử

n

A

( )!

k n

n

n k



4 Tổ hợp

a) Định nghĩa: Mỗi cách chọn k phần tử từ n phần tử cho trước được

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Ví dụ: Với 3 phần tử A, B, C các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử trên là: {A;B}, {A;C}, {B;C}

b) Công thức tìm số tổ hợp

Kí hiệu: klà số tổ hợp chập k của n phần tử

n

C

!.( )!

k n

n C

k n k





C C   k n

C C  C   k n

Chú ý: Cần phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, chỉnh hợp chọn và sắp xếp còn tổ hợp chỉ chọn mà không sắp xếp.

5.Công thức nhị thức Newton, Tam giác Pascal

a) Nhị thức Newton

Nhà toán học Newton đã đưa ra công thức khai triển các hằng đẳng thức dạng (a + b)n một cách tổng quát với mọi n nguyên dương như sau: (a + b)n = 0an + an – 1.b + an – 2.b2 + + bn

n

n

n

n

C

Chú ý: + Trong khai triển nhị thức Newton có ( n + 1) số hạng

+ Trong toán học người ta kí hiệu 1 2 ;

1

n

i



   

 : đọc là

n i

a

 xích_ma (tổng) ai với i chạy từ 1 đến n

+ Sử dụng kí hiệu xích_ma thì khai triển nhị thức Newton được

viết như sau: (a + b)n = ; số hạng Tk + 1= an – k.bk gọi là

0

n

k n k k n

k

C a  b



n

C

số hạng tổng quát của khai triển và là số hạng thứ (k + 1) của khai triển

Tính chất: + 2n = (1 + 1)n = 0 + + + +

n

n

n

n

C + 0 = (1 - 1)n = 0 - + + + (-1)n

n

n

n

n

C + 0 + + + … = + + + … = 2n – 1

n

n

n

n

n

n

C

b) Tam giác Pascal

Nhà toán học Pascal đã dựa vào tính chất

để xác định các hệ số trong khai triển nhị

1

1 1 (1 )

n

C

thức Niutơn dưới dạng một tam giác, gọi là tam giác Pascal như sau:

k

5 4 4

Vấn đề 1: Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1/ ! ( 1)! 1

( 1)! 6

m

2

3A n 42 A n

3/ C1nC n2C n3 5n 4/ 2 2

2

2A n 50A n

14k 14k 2 14k

·

2

x x x

7/ A x35A x2 21x 8/ A10x A x9 9A x8

9/ C x1 6C x2 6C x2 9x1 14x 10/ 3 2 14 x1

x x

A

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

1/

3

1

4

1 3

1

14

x

x

x

C







1

2C x 3A x 30

2

10

2A x A x C x

x



Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

1/

















80 2

5

90 5

2

y x

y

x

y x

y

x

C A

C A

1: : 6 : 5 : 2

C C  C 

Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN ĐỐ

Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số có 8 chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Trong

đó 1 và 6 có mặt hai lần, các số còn lại 1 lần

Bài 2: Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số đầu

tiên là số lẻ

Bài 3: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 3 chữ

số chẵn và 3 chữ số lẻ

Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong

đó có mặt số 0 nhưng không có mặt số 1?

Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng số 2 có mặt 2 lần,

số 3 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại không quá một lần?

Bài 6: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 lấy

10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n>1) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n

Bài 7: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lâp bao nhiêu số chẵn, mỗi

số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số lẻ

đó đứng cạnh nhau?

Bài 8: Từ các số 0,1, 2, 3, 4 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số

khác nhau? Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó

Bài 9: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho: Chữ số 0 có mặt

hai lần, số 1 có mặt 1 lần, 2 số còn lại phân biệt

Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số sao cho không có chữ số

nào lặp lại 3 lần

Bài 11: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số sao cho: Số 2 có mặt 2lần,

số 3 có mặt 3 lần, các số còn lại không quá một lần

Bài 12: Cho đa giác đều A1, A2, A2n nội tiếp đường tròn tâm O, biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, A2n gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm.Tìm n

Bài 13: Từ các số 1, 2, , 6 Lập bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và

chia hết cho 3

Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn gồm 5 chữ số khác nhau và không

bắt đầu bằng 123

Bài 15: Một chi đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ Muốn chọn một

tổ công tác 5 người Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ tổ cần ít nhất một người nữ ?

Bài 16: Có hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau, trên d1 lấy 15 điểm phân biệt, trên d2 lấy 9 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành với 3 đỉnh là các điểm đã lấy ở trên ?

Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp

thành một dãy ? Mỗi người một ghế

Bài 18: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 5 chữ số khác nhau và thỏa:

1/ Là số chẵn 2/ Là số chẵn và phải có mặt chữ số 3 3/ Là số lẻ 4/ Là số lẻ và phải có mặt chữ số 7 5/ Phải có mặt chữ số 2 nhưng không có mặt chữ số 6

Bài 20: Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?

Chú ý: “số tự nhiên nếu có từ hai chữ số trở lên, thì quy ước chữ số đầu tiên phải khác chữ số 0 Khi làm bài về số tự nhiên cần chú ý các chữ số có khác nhau hay không?”.

Bài 21: Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên chẵn : 1/ có ba chữ số ? 2/ có ba chữ số khác nhau?

Bài 22: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số

chẵn ?

Bài 23: Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số, trong đó các chữ số

cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau ?

Bài 24: Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 5 ?

Bài 25: Một đội văn nghệ đã chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6

bài hát Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được phép trình diễn 1 vở kịch, 1 bài hát

và 1 điệu múa Hỏi đội văn nghệ nói trên

1/ có bao nhiêu cách chọn các tiết mục biểu diễn ?

2/ có bao nhiêu cách trình diễn chương trình văn nghệ ?

Bài 26: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A

đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường Không có con đường nào nối B với C Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ

thành phố A đến thành phố D? ( Mỗi cách chọn đường đi chỉ qua mỗi thành phố nhiều nhất một lần)

Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau và khác

không, biết rằng tổng ba chữ số này bằng 8?

Bài 28: Có bao nhiêu đường chéo trong một thập giác lồi?

Bài 29: Có bao nhiêu cách phân phối hết 5 đồ vật khác nhau cho 3 người

sao cho:

1/ Một người nhận được một đồ vật, còn hai người kia mỗi người nhận được hai đồ vật?

2/ Mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật?

Bài 30: 1/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và giảm dần

từ trái sang phải?

2/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và tăng dần từ trái sang phải?

3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

Bài 31: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số

1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:

1/ Bắt đầu bởi chữ số 4? 2/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? 3/ Bắt đầu bởi 23? 4/ Không bắt đầu bởi 453?

Bài 32: Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

gồm 5 chữ số khác nhau và không vượt quá 45000 ?

Bài 33: Cho tap X ={ a, b, c, d,e} Hãy lập tất cả các tập con của X thỏa:

a/ Không chứa phần tử a

b/ Phải có chứa phần tử e nhưng không chứa phần tử d

Bài 34: Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo?

a/ Ngũ giác lồi b/ Đa giác lồi có 12 cạnh

c/ Đa giác lồi có n cạnh ( n > 3)

Bài 35: 1/ Trong một mặt phẳng có n điểm phân biệt sao cho không có 3

điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập được bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong n điểm đã cho? Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy

từ trong n điểm đã cho?

2/ Trong một mặt phẳng có n điểm, trong đó có m điểm thẳng hàng (m< n) các điểm còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập được bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong n điểm đã cho? Lập được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy từ trong n điểm đã cho?

Bài 36: Cho đa giác lồi có 15 cạnh Hỏi:

a/ Có thể lập được bao nhiêu  mà 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác? b/ Trong các tam giác lập được từ câu a/ có bao nhiêu tam giác có chung một cạnh với đa giác? Có chung 2 cạnh với đa giác? Không có chung cạnh nào với đa giác?

Bài 37: Có 6 con tem khác nhau và 7 bì thư khác nhau Hỏi có bao nhiêu

cách chọn ra 3 con tem và 3 bì thư rồi dán tem vào bì thư sao cho mỗi bì thư dán đúng một tem?

Bài 38: Một lớp học đề cử 8 học sinh, trong đó có 3 nữ để bầu cử chọn

ban cán sự lớp gồm: LT, LP, thư kí Hỏi có bao nhiêu cách chọn BCS lớp nếu: a/ không phân biệt nam nữ ? b/ thư ký phải là nữ ?

Bài 39: Một cuốn sách bài tập Toán có 30 bài tập giải tích và 20 bài tập

hình học (trong sách không có bài tập trùng nhau) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 bài tập để lập thành một đề thi sao cho:

a/ Trong đề thi tỉ lệ giữa số bài giải tích và hình học là tùy ý?

b/ Trong đề thi có 3 bài giải tích và 2 bài hình học?

c/ Trong đề thi có 2 bài giải tích và 3 bài hình học?

d/ Trong đề thi có ít nhất 1 bài giải tích và 1 bài hình học?

e/ Trong đề thi có ít nhất 1 bài giải tích?

Bài 40: Một lớp học có 45 học sinh gồm 25 nam và 20 nữ GVCN muốn

chọn 4 em vào ban trật tự Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a/ số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý? b/ phải có 1 nam và 3 nữ? c/ phải có 2 nam và 2 nữ? d/ ít nhất phải có 1 nam?

Bài 41: Trong mặt phẳng xét một họ gồm 20 đường thẳng song song cắt

một họ gồm 15 đường thẳng song song khác Hỏi có nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Bài 42: Ông A muốn mời đúng 6 người trong số 10 người bạn của mình

đến dự một buổi liên hoan Trong 10 người bạn có 2 người không chịu dự chung buổi liên hoan Hỏi có bao nhiêu cách mời?

Vấn đề 3: NHỊ THỨC NEWTON

I Áp dụng công thức khai triển.

Bài 1: Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển

10

1

x x

  

Bài 2: Tìm hệ số của số hạng thứ 31 trong khai triển

40 2

1











 

x x

Bài 3: Tìm hạng tử chứa x2 của khai triển:  7

3 x 2 x

Bài 4: Tìm hạng tử không chứa x trong các khai triển sau:

1/

12

3









 

x

x

2/

7

4

3 1











x x

Bài 5: Tìm hạng tử đứng giữa trong khai triển

10 3 5

1













 x

x

Bài 6: Trong khai triển

21

3













a

b b

a

tìm hệ số của số hạng chứa a

và b có số mũ bằng nhau ?

Bài 7: Tìm hệ số của x12y13 trong khai triển của (2x – 3y)25;

10

40

7

12, 7

10

21

C

25.2 ( 3)

II Khai triển với giả thiết có điều kiện.

Bài 1: Biết khai triển

n

x









 2 1

Tổng các hệ số của số hạng thứ nhất, hai, ba là 46 Tìm số hạng không chứa x? ĐS: n = 9  6

9

C

Bài 2: Biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 2 2 n

x x

= 97 Tìm hạng tử của khai triển chứa x4; ĐS: n = 8  4 4 4

8( 2)

n n n n

n

n n

n

C x

C x

C x

3

1 ) 1 .(

3

1 3









hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển là 5 Tìm số hạng chính giữa ?

ĐS: n = 10 

5

10

1 3

C   x

n

n n n

x C x

C x

x 2 ) ( ) ( 2 )

2

tổng ba hệ số đầu là 33 Tìm hệ số của x2 ĐS: n = 4  2 2

4.2

C

Bài 5: Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

n

x









3

1

Biết rằng )

3 ( 7

3

1

4    



 C n

n

n

12

C x

III Chứng minh hoặc tính tổng biểu thức tổ hợp

Bài 1: Khai triển (3x –1)16 Từ đó chứng minh:

16 16 16

1 16 15 0 16

n n

n

C0  1  2   2 2/

n n n

n

n n n

2

2 2

0 2 1 2 2

3

2

1

2        

n n n

n n

3

1

3

1 3

1

3 1



n n

2

2 2

0

2   

2

3 2

1

2    n

n n

C

2004

2 2004

0

2004 C  C 2

C

2/

2

1 3 2

2

2004 2004 4

2004 4 2 2004 2 0 2004









C

Bài 6: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (2 –3x)2n trong đó n thoả mãn hệ

1 2

3 1 2

1

1

2     





 n n n

10.2 ( 3)

2n 2n 2n

C C   C 2 1

Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển

n

x









4

1

biết n thoả mãn hệ thức: 1 2 3 2n+1 21 ĐS: n = 10 

2n+1 2n+1 2n+1 2n+1

C C C   C 2 1

6

10

C

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 khi khai triển (2 + x)n biết:

2048 )

1 (

3 3

3 0   1 1   2 2    n 

n

n n

n n

n n

10

11

2.C

IV Khai triển nhiều hạng tử

Bài 1: Tìm hệ số của x6 trong khai triển (1+x2(1+x))7 thành đa thức

Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 khi khai triển (1+2x+3x2)10

7 3 7 2

10 .24 10 .2 33 10 .32

Bài 3: Tìm hệ số chứa x10 khi khai triển:

P(x) = (1+x) + 2(1+x)2+3(1+x)3+ +15(1+x)15

10 11 12 13 14 15

10.C 11.C 12.C 13C 14.C 15C

Bài 4: Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

x(1-2x)5 + x2(1+3x)10

Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khi khai triển P(x) =

9 2

1 2









x x

5.( 2) 10.3

9 .29 9 .29 9 .23

Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa

3

1

x khi khai triển:

P(x) =

7

3 2

1 2















x

7 .( 2)4

C C 

V Sử dụng đạo hàm hoặc tích phân

Bài 1: Chứng minh: 1/ 1 2 2 3 3  n  2n 1

n n

n

C