Tìm vị trí của M trên C để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. TÝnh tÝch ph©n:.[r]
Trang 1Trường THPT Nguyễn Huệ đề thi thử đại học lần 1 năm 2010
Môn: TOáN ; Khối: A,B
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2 Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ 012& trình: 1 1 4
2 Giải 012& trình: 1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
Câu III (1 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho 17& tròn (C) tâm O 17& kính AB = 2R.Trên 17& thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2 M là một
3
R
điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó
Câu IV (1 điểm)
Tính tích phân: I =
1
2
dx
Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực K12& thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng
1 1 1 1
x y y z z x
Phần riêng(3,0 điểm).Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích
bằng và trọng tâm thuộc 17& thẳng : 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C.3
Câu VII.a (1 điểm) Từ các chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 có thể lập 1\ bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
đôi một khác nhau ( chữ số đầu tiên phải khác 0) trong đó phải có chữ số 7
Câu VIII.a (1 điểm) Tìm a để bất 012& trình sau có nghiệm: 2
log x 1 log (axa)
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1 và 17& thẳng :3x + 4y =12
Từ điểm M bất kì trên kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng 17& thẳng AB luôn
đi qua một điểm cố định.
Câu VII.b (1 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).Giả sử 17& thẳng y = kx + 1 cắt (C)
2
4 3 2
y x
tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi k thay đổi.
Câu VIII.b (1 điểm) Giải 012& trình: log 2 log 2 2
3 1 xx 3 1 x 1 x
-
Trang 2-Trờng THPT Nguyễn Huệ đáp án – thang điểm
đề thi thử đại học lần 1 năm 2010
Môn: TOáN ; Khối: A,B
Lu ý:Mọi cách giải đúng và ngắn gọn đều cho điểm tối đa
I 1.(1,0 điểm) Khảo sát
(2,0 điểm) * Tập xác định: D = R\{ - 1} * Sự biến thiên - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2 ; tiệm cận ngang: y = 2 x y x y ; tiệm cận đứng: x = - 1 ( 1) ( 1) lim ; lim x y x y 0,25 - Bảng biến thiên Ta có ' 1 2 0 với mọi x - 1 ( 1) y x x - -1 +
y’ + +
y + 2
2 -
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1) và ( -1; + ) 0,5 * Đồ thị 0,25 2 (1,0 điểm) Tìm trên (C) những điểm
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0 - 1) thì 0
0 0
1
x y x
Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 2x0 1 - 2| = | |
1
0,25
0,25
Trang 3Theo Cauchy thì MA + MB 2 0 =2
0
1
x 1
1
x
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x 0 = 0 hoặc x 0 = -2.Nh vậy ta có hai
điểm cần tìm là (0;1) và (-2;3)
0,25
0,25
II 1.(1,0 điểm) Giải hệ
(2,0 điểm)
Điều kiện: x -1, y 1
Cộng vế theo vế rồi trừ vế theo vế ta có hệ
Đặt u= x 1 x 6 , v = y 1 y 4 Ta có hệ
10
5 5 2
u v
u v
5
5
u v
là nghiệm của hệ
3
5
x y
0,25 0,25
0,25
0,25
2 (1,0 điểm) Giải phơng trình
Điều kiện:sinx.cosx 0 và cotx 1
Phơng trình tơng đơng
1
cosx = x =
Đối chiếu điều kiện pt có 1 họ nghiệm x = 2
0,25 0,25
0,25 0,25 III Tìm vị trí
H I
O
B
M A
Trang 4Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2 ,
3
R
SM = 2 2 SH = R hay H là trung điểm của SM
2
SO OM R Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = SO=1 R ,
2
3 2
(không đổi)
V BAHM lớn nhất khi dt( MAB) lớn nhất M là điểm giữa của cung AB
Khi đó V BAHM = 3 3 (đvtt)
0,25
0,25
0,5
IV Tính tích phân
(1,0 điểm) Đặt u = x+ 2 thì u - x=
x ux u x
2
2
1
u
Đổi cận x= - 1 thì u = 2-1
x = 1 thì u = 2+1
2
1
2
du
u I
=
2
du
du
=1
0,25 0,25
0,25
0,25 Câu V
(1,0 điểm)
Đặt x=a3 y=b3 z=c3 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a 2+b2-ab ab
a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
a b 1 ab a b c
Tơng tự ta có
,
c 1 bc a b c
a 1 ca a b c
Cộng theo vế ta có
x y y z z x
1
1
1
=
a 1b c ab1 bc1 ca1
a 1b c c a b1
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
0,25
0,5
0,25
Trang 5(1,0 điểm) Ta có: AB = , M = ( 2 5; 5), pt AB: x – y – 5 = 0
2 2
SABC= d(C, AB).AB = 1 d(C, AB)=
2
3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1
2
d(G, AB)= = t = 1 hoặc t = 2
2
t t 1
2
G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà CM 3GM C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
0,25
0,5 0,25 VII a Từ các chữ số
(1,0 điểm) Gọi số có 6 chữ số là abcdef
Nếu a = 7 thì có 7 cách chọn b, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 7.6.5.4.3 = 2520số
Nếu b = 7 thì có 6 cách chọn a, 6 cách chọn c, 5 cách chọn d, 4 cách chọn e, 3 cách chọn f ở đây có 6.6.5.4.3 = 2160số
Tơng tự với c, d, e, f Vậy tất cả có 2520+5.2160 = 13320 số
0,25
0,5
0,25 VIII a Tìm a để
(1,0 điểm) Điều kiện: ax + a > 0
Bpt tơng đơng 2
1 ( 1)
x a x Nếu a>0 thì x +1 >0.Ta có
2
1 1
x
a x
Nếu a<0 thì x +1 <0.Ta có
2
1 1
x
a x
Xét hàm số y = với x - 1
2
1 1
x x
y’ = =0 khi x=1
2 2
1
x
x - -1 1 + y’ - || - 0 +
y -1 + 1
- 2
2
a> 2 hoặc a < - 1
2
0,25
0,25
0,25 0,25
VI b Chứng minh
(1,0 điểm) Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
Tiếp tuyến tại A có dạng
1
Trang 6Tiếp tuyến đi qua M nên
(1)
0 1 0 1
1
x x y y
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt
do M thuộc nên 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0
1
4 0 4 0
4
4
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0
Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)
0,5
0,25 VII b Tìm tập hợp
(1,0 điểm)
y = kx + 1 cắt (C): Ta có pt
2
4 3 2
y x
= kx + 1 có 2 nghiệm phân biệt
2
4 3 2
x
Trung điểm I của AB có tọa độ thỏa mãn
2 3
2 2 1
k x k
y kx
2
2 2
y
x
Vậy quĩ tích cần tìm là đờng cong 2 2 5 2
2 2
y
x
0,25 0,5
0,25 VIII b Giải phơng trình
(1,0 điểm) Điều kiện : x>0
Đặt log 2 =u, ta có pt
u +uv 2 = 1 + u 2 v 2 (uv 2 -1)(u – 1) = 0
x =1 2
1 1
u uv
0,25 0,5 0,25