Rèn luyện tư duy học sinh qua giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trong Đại số lớp 8

NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG ĐẠI SỐ LỚP 8... SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.[r]

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS nói chung ,môn Toán

lớp 8 nói riêng tôi nhận thấy được một số điều sau:

- Trong SGK có các bài tập được chia thành nhiều dạng : vận dụng trực tiếp

kiến thức, rèn luyện khả năng suy luận, rèn luyện tư duy sáng tạo,

- Khối lượng kiến thức trong một tiết học tương đối nhiều

- HS ỷ lại vào sách giải nhiều hơn là khả năng tư duy của bản thân và thói

quen độc lập suy nghĩ rất hạn chế

- Trong quá trình học tập học sinh chưa biết sắp xếp lịch học của mình một

cách khoa học và thường học một cách máy móc ,thiếu sự tư duy

Vì thế giáo viên không thể coi nhẹ việc trau dồi tư duy và luyện tập cho học

sinh các phương pháp suy luận sáng tạo.Do vậy trong giảng dạy môn toán,

giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán

dưới các dạng khác nhau Cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải

của một bài toán để luyện tập cho học sinh nhìn nhận một vấn đề nào đó theo

nhiều khía cạnh khác nhau Hơn thế nữa phải giúp cho học sinh nắm được bản

chất của bài toán để tự bản thân đưa ra được một đề toán theo định hướng

trước, kích thích được lòng say mê sáng tạo của học sinh, từ đó phát huy được

khả năng tư duy, sự linh hoạt khi tìm lời giải một bài toán

GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi:

- Học sinh khối 8 đang phát triển mạnh mẽ về thể chất và trí tuệ Các em đang

muốn thể hiện tính độc lập và sự hiểu biết của bản thân Đó là điều thuận lợi

cho việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho các em

- Được sự hỗ trợ của Ban Giám hiệu nhà trường và sự đóng góp ý

kiến nhiệt tình của đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành được sáng

kiến kinh nghiệm này

2 Khó khăn:

- HS đa số còn lười suy nghĩ, phần lớn các em dựa vào các loại sách giải đang

phát hành tràn lan

- Phương pháp này đòi hỏi người giáo viên phải mất nhiều thời gian vào việc

chuẩn bị bài để tìm ra nhiều hướng giải khác nhau của cùng 1 bài toán

- Lượng kiến thức và bài tập trong 1 tiết học còn nhiều

- Đa số HS chưa nắm vững kiến thức cơ bản ở các lớp dưới

3 Kết quả điều tra cơ bản:

- Tự bài toán trong sách giáo khoa bằng một cách duy nhất đã học : 25%

- Sáng tạo giải một bài toán bằng hai cách khác nhau: 2,5%

- Số còn lại thường dựa vào sách giải bài toán

III NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN:

- Ngành giáo dục ở nước ta hiện nay là đổi mới mục tiêu giáo dục theo

hướng toàn diện nhằm đáp ứng cho sự phát triển của đất nước và hòa nhập vào

sự tiến bộ chung của thế giới Vì vậy rèn luyện tư duy cho HS là một

trong các yêu cầu không thể thiếu trong quá trình dạy học

Một trong những đổi mới quan trọng nhất cần thực hiện trong dạy học toán

hiện nay là nhanh chóng chuyển từ hình thức thầy giảng – trò ghi sang hình

thức thầy tổ chức – trò tích cực hoạt động ,sáng tạo

II NỘI DUNG, BIỆN PHÁP THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI :

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Một số phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử

1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 10x (x – y) – 8y( y – x)

Hướng giải quyết

- Tìm nhân tử chung là những đơn

thức , đa thức có mặt trong tất cả các

hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích

của nhân tử chung và một nhân tử

khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu

ngoặc , viết các nhân tử còn lại của

mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể

cả dấu của chúng)

10x (x – y) – 8y( y – x)

= 2 5x (x –y) + 2 4y(x – y)

= 2(x – y)(5x + 4y)

1.2 Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 25x4 – 10x2y + y2

Hướng giải quyết

Vận dụng các hằng đẳng thức để

biến đổi đa thức thành tích các nhân

tử hoặc lũy thừa của một đa thức

đơn giản

25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 –y)2

1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x3 – 3x2 + 2x – 3

Hướng giải quyết

Dùng các tính chất giao hoán ,

kết hợp của phép cộng các đa thức ,

ta kết hợp những hạng tử của đa thức

thành từng nhóm thích hợp rồi dùng

2x3 – 3x2 + 2x – 3

= (2x3 – 2x) + (3x2 +3)

các phương pháp khác phân tích

thành nhân tử theo từng nhóm rồi

phân tích chung đối với các nhóm

= 2x(x2 + 1) + 3(x2 + 1)

= (x2 + 1)(2x +3)

1.4 Phương pháp tách

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : 2x2 – 7xy + 5y2

Hướng giải quyết

Ta có thể tách một hạng tử nào đó

của đa thức thành hai hay nhiều hạng

tử thích hợp để làm xuất hiện những

nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các

phương pháp khác để phân tích được

2x2 – 7xy + 5y2

= 2x2 – 2xy – 5xy + 5y2 = 2x(x – y) – 5y(x – y) = (x – y)(2x – 5y)

1.5 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : a4 + 4

Hướng giải quyết

Ta thêm hoặc bớt cùng một hạng tử

nào đó vào đa thức để làm xuất hiện

những nhóm hạng tử mà ta có thể

dùng các phương pháp khác để phân

tích được

a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2

= (a2 + 2)2 – (2a)2

= (a2 + 2 – 2a)(a2 + 2 + 2a)

= (a2 – 2a + 2)(a2 + 2a + 2)

2 Vài phương pháp phân tích thành nhân tử khác

2.1 Phương pháp đặt biến phụ

Trong một số trường hợp để việc phân tích đa thức thành nhân tử được

thuận lợi ta phải đặt biến phụ thích hợp

Ví dụ : Phân tích thành nhân tử

A = (x2 + 2x + 8) + 3x(x2 + 2x + 8) + 2x2

Đặt y = x2 + 2x + 8 ta có :

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A = y2 + 3xy + 2x2 = y2 + xy + 2xy + 2x2

= y(y + x) + 2x(y + x) = (x + y)(2x +y)

A = (x 2 + 3x + 8)(x2 + 6x + 8) = (x2 + 3x + 8)(x + 2)(x + 4)

2.2 Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa

Phương pháp này chỉ sử dụng được cho các đa thức như a7 + a5 + 1 , a8 + a4 + 1 ,

… là những đa thứ có dạng a3k+1 + a3k +1 Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số mũ

của lũy thừa , ta cần chú ý đến các biểu thức dạng a6 – 1 , a3 – 1 là những biểu

thức chia hết cho a2 + a + 1

Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : A = a5 + a4 + 1

Ta có : A = a5 + a4 + a3 – a3 – a2 + a – a + 1

= (a5 + a4 + a3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a +1)

= (a2 + a + 1)(a3 – a + 1)

2.3 Phương pháp hệ số bất định

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc

nhất , một đa thức bậc hai dạng (a + b)(cx2 + dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất

hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia

Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : x3 – 15x – 18 thành tích một nhị thức bậc nhất

và một tam thức bậc hai

Giả sử đa thức trên được phân tích thì :

x3 – 15x – 18 = (x + a)( x2 + bx + c)

 x3 – 15x – 18 = x3 + (a+ b)x2 + (ab + c)x + ac

Đồng nhất hai đa thức ở 2 vế ta được :

Vì hai đa thức này đồng nhất nên :

0 15(*) 18

a b

ab c ac

 



   



  



Từ a c = -18 ta có thể chọn a = 3 c = - 6 ; b = - 3 thỏa mãn (*)

Vậy : x3 – 15x – 18 = (x + 3)(x2 – 3x – 6)

Nói chung khi phân tích một đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt ,

sáng tạo các phương pháp trên và phải biết phối hợp chúng một cách hợp lý

Kết quả phân tích đa thức thành nhân tử là duy nhất

3 Quá trình tư duy cần có :

3.1 Tính mềm dẻo:

Tính mềm dẻo là khả năng chỉ từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ

khác vận dụng linh hoạt các hoạt động Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng

như: quy nạp, suy diễn, tương tự, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ của học

sinh không rập khuôn, không áp dụng máy móc những kiến thức đã học Nhận

ra được vấn đề mới lạ trong điều kiện quen thuộc

Ví dụ : Phân tích đa thức y6 – 64x6 thành nhân tử

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1 : Ta có y6 – 64x6 = (y2)3 – (4x2)3

= (y2 – 4x2)[(y2)2 + 4x2y2 + (4x2)2]

= (y – 2x)(y + 2x)(y4 + 4x2y2 + 16x4)

Cách 2 : Ta có y6 – 64x6 = (y3)2 – (8x3)2

= (y3 – 8x3)(y3 + 8x3) = [y3 – (2x)3][y3 + (2x)3]

= (y – 2x)(y2 + 2xy + 4x2) (y + 2x)(y2 - 2xy + 4x2)

Qua ví dụ trên , ta thấy ngay được việc lựa chọn hướng biến đổi theo hằng

đẳng thức một cách thích hợp sẽ nhận được kết quả tốt hơn

3.2 Tính nhuần nhuyễn:

- Phải có khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác

- Phải có khả năng tìm được nhiều lời giải trên nhiều góc độ và tình huống

khác, để từ đó tìm được phương pháp hay nhất

- Để làm được những điều trên bản thân học sinh phải cần nắm vững các

kiến thức cơ bản đã học Do đó, giáo viên cần dặn dò học sinh ở tiết trước ôn lại

những phần nào có liên quan tới tiết học sau, kể cả những kiến thức đã học ở lớp

dưới có liên quan

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 – 4)2 – 8x – 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

(x2 – 4)2 – 8x – 1 = x4 – 8x2 + 16 – 8x – 1

= x4 + 8x2 + 16 – 16x2 - 8x – 1

= (x2 + 4)2 – (4x + 1)2

= (x2 + 4 – 4x – 1)(x2 + 4 + 4x + 1)

= (x2 – 4x + 3)(x2 + 4x + 5)

= (x – 1)(x – 3) )(x2 + 4x + 5)

Học sinh thường khó biết cách thêm bớt 8x2

3.3 Tính độc đáo:

Phải rèn luyện cho học sinh các khả năng sau:

- Tìm lời giải lạ

- Tìm ra mối liên hệ giữa kiến thức cũ và mới

- Nhìn ra mối liên hệ trong những điều kiện bên ngoài tưởng như không liên

hệ với nhau

Ví dụ : Rút gọn biểu thức : 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

Khi mới đọc xong đề, học sinh thường máy móc tính theo cách thông thường

Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy các lũy thừa trong các biểu thức

có liên quan gì với nhau bằng cách gợi ý sau:

- Các biểu thức trong ngoặc có liên quan đến hằng đẳng thức nào không ?

- Đa thức 24 +1 nhân với một đa thức nào để đưa về dạng x8 – 1?

- Làm thế nào để xuất hiện đa thức 24 – 1 ?

- Cần biến đổi 3 thành biểu thức như thế nào kết hợp với 22 +1 thành đa thức

24 – 1 ?

- Từ đó học sinh áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức (a - b)(a + b) = a2 – b2

Giải: Thay 3 = 22 – 1 , ta được :

(22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)

= (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)

= (216 - 1) )(216 + 1)

= 232 - 1

4 Các dạng bài toán bồi dưỡng tư duy sáng tạo:

Các bài tập ra cho học sinh cần được chọn lọc để tìm đúng bài cần thiết, ra

đúng thời điểm cần thiết Bài dễ chuẩn bị cho bài khó, bài trước là một gợi ý

cho cách giải bài sau, cứ thế học sinh có thể tự mình giải quyết được những vấn

đề mới đặt ra, tự mình làm được công việc của người khám phá kiến thức Nếu

đặt trước học sinh những bài toán quá khó, vượt qua sức mình sẽ làm các em

choáng ngợp, mất tự tin, thổi tắt ngọn lửa sáng tạo mới nhen nhóm trong các

em Phải luôn tạo cho học sinh nhiều dịp tập dượt các thao tác tư duy, dành lại

cho các em sự độc lập suy nghĩ để từ đó nảy sinh mầm mống của sự sáng tạo

Một số dạng bài toán rẻn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh :

4.1 Bài toán có nhiều cách giải:

Giáo viên có thể:

- Chia nhiều nhóm cùng giải một bài toán

- Hoặc gợi ý để học sinh có nhiều cách giải khác nhau

Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 4x + 3

Cách 1: ( Sử dụng phép tách theo B)

Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3 = (x2 + x)(3x + 3)

= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)

= (x +1)(4x – 3x + 3) = (x + 1)(x + 3)

Cách 2: ( Sử dụng phép tách theo A)

Ta có : x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3 = (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)

= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1) = 4x(x + 1) – 3(x – 1) (x + 1)

= (x + 1)(4x – 3x + 3) = (x +1)(x + 3)

Cách 3: ( Sử dụng phép tách theo C)

Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1 = (x2 – 1)(4x + 4)

= (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – 1 + 4)

= (x + 1)(x + 3)

Cách 4: ( Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức)

Ta có : x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2x + 22 – 1 = (x + 2)2 – 1

= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1) = (x + 1)(x + 3)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

4.2 Bài toán có tính đặc thù:

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phát hiện ra được tính đặc thù, dạng

đặc biệt của bài toán, để tìm cách giải phù hợp

Ví dụ: Tìm x , biết :

Nếu thu gọn vế trái bằng cách cộng các phân thức thì học sinh sẽ gặp khó

khăn trong tính toán Nếu phát hiện được dạng đặc biệt của bài toán và dùng các

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành nhân tử

thì bài toán sẽ được giải rất dễ dàng

Bài toán được giải như sau :

          

              

(100 – x) 1 1 1 1 1 0

41 43 45 47 49

     

Vì 1 1 1 1 1 , nên 100 –x = 0 x = 100

41 43 45 47 49      0 

4.3 Bài toán ngụy biện:

Giáo viên đưa ra một số bài toán có lời giải sai để học sinh xem xét và phát

hiện ra chỗ sai Từ đó học sinh sẽ khắc sâu hơn các kiến thức đã học

Ví dụ : Rút gọn phân thức : 16(2 )2

6 12

x x





Một học sinh đã giải như sau:

2 16(2 )

6 12

x x





2 16(2 ) 6( 2)

x x





2 16( 2) 6( 2)

x x



8 ( 2)

3 x

  Hãy cho biết bài toán trên giải đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào?

* Nếu không chú ý kỹ và không nắm vững tính chất bình phương của hai đa

thức đối nhau thì bằng nhau thì học sinh không thể phát hiện ra được chỗ sai

Vì vậy, khi phát hiện ra được chỗ sai -16(x – 2)2 thì học sinh sẽ khắc sâu tính

chất bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau tránh được những sai

lầm sau này khi giải bài toán tương tự

4.4 Bài toán đặt ẩn phụ:

Có những đa thức nếu không đặt ẩn phụ thì sẽ gặp khó khăn, thậm chí bế tắc

trong việc phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu đặt ẩn phụ thì bài toán trở nên đơn giản hơn

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử : (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6

Hướng dẫn học sinh chọn ẩn phụ cho thích hợp :

Đặt: y = x2 + 3x + 1 , ta có :

y(y + 1) – 6 = y2 + y – 6 = y2 + 3y – 2y – 6

= y(y + 3) – 2 (y + 3) = (y – 2)(y + 3)

Thay y = x2 + 3x + 1 , ta được (x2 + 3x -1)(x2 + 3x + 4)

IV KẾT QUẢ

V BÀI HỌC KINH NGHIỆM

- Giáo viên cần nhiều thời gian để đầu tư cho việc nghiên cứu, soạn giảng để

tìm ra nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán,

- Giáo viên không nên giải bài tập trong một tiết học mà nên chọn ra các bài

tập có tính chất đặc trưng để rèn luyện tư duy cho học sinh qua một số hệ thống

bài tập từ cơ bản đế nâng cao

VI KẾT LUẬN

Trong thời gian giảng dạy ở trường trung học cơ sở, qua học hỏi ở đồng

nghiệp và một phần nhờ kinh nghiệm của bản thân, tôi đã rút ra được việc phân

loại các bài toán và chọn lựa bài toán để giải cho học sinh đã phần nào giúp cho

học sinh có thói quen suy nghĩ Qua đó, học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo

của bản thân mình trong quá trình học tập

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Để tài này đã được thử nghiệm đối với lớp học đại trà Tuy bước đầu học

sinh còn bỡ ngỡ (vì kiến thức cũ còn nhiều hạn chế), nhưng nhìn chung học sinh

rất có hứng thú trong học tập Hy vọng rằng điều đó sẽ giúp học sinh tích cực

hơn trong việc rèn luyện tư duy của bản thân

VII TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu

Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận

- Sách giáo viên Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Vũ Hữu

Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận

- Sách bài tập Toán 8 – Nhà xuất bản Giáo dục – Nhóm tác giả: Tôn Thân ,

Vũ Hữu Bình, Trần đình Châu , Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận

MỤC LỤC

Trang