Chuyên đề Cực trị của hàm số (ôn thi vào Đại học)

Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS.[r]

PHẠM HỒNG PHONG

 Phân loại chi tiết

 Hệ thống ví dụ phong phú

 Bài tập có đáp số đầy đủ

 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012

HÀ NỘI - 2012

Bản quền thuộc về ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84

Từ khóa : pham hong phong, cuc tri cua ham so

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Mục lục

Loại 1 Kiến thức chung 1

A Tóm tắt lý thuyết 1

B Một số ví dụ 2

C Bài tập 5

D Đáp số 6

Loại 2 Cực trị của hàm bậc ba 7

A Tóm tắt lý thuyết 7

B Một số ví dụ 8

C Bài tập 14

D Đáp số 16

Loại 3 Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương 17

A Tóm tắt lý thuyết 17

B Một số ví dụ 18

C Bài tập 22

D Đáp số 23

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 1 Kiến thức chung

A Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm cực trị của hàm số

Cho f : D   và x 0  D

+) x được gọi là một điểm cực đại của 0 f nếu tồn tại khoảng a;b sao cho

 

       

0







+) x được gọi là một điểm cực tiểu của 0 f nếu tồn tại khoảng a;b sao cho

 

       

0







+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các thuật ngữ được sử dụng trong phần này:

0

x f x 0 x ;f x 0  0 

Điểm cực đại của f Giá trị cực đại của f Điểm cực đại của ĐTHS f

Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu của f Điểm cực tiểu của ĐTHS f

Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của ĐTHS f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

f có đạo hàm tại x , 0 f đạt cực trị tại x  0 f ' x 0  0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

* Quy tắc 1: +) f ' x  đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x  0 f đạt cực tiểu tại x 0

+) f ' x  đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x  0 f đạt cực đại tại x 0

* Quy tắc 2: 0

0

f '(x ) 0

f "(x ) 0











f

 đạt cực đại tại x , 0 0

0

f '(x ) 0

f "(x ) 0











f

 đạt cực tiểu tại x 0

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y 1 x 3 x 2 3x 4

Giải

+) TXÑ  

+) y '  x 2  2x  , y ' 3   0 x   1 hoặc x  3

+) Bảng biến thiên:

+∞

-∞

f x ( )

f ' x ( ) + 0 _ 0 +

- 23 3 3

+∞

3 -1

-∞

x

x

lim y



 ,

x

lim y



 .

+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x   1, giá trị cực đại tương ứng là y  1  3;

hàm số đạt cực tiểu tại x  3, giá trị cực tiểu tương ứng là y 3    23 7

Ví dụ 2 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y  x x  2

Giải

+) TXÑ  

x x

2 x x

y ' x 2 x

x



    (x  0)

+) Bảng biến thiên:

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

+∞

-∞

y

0 1

+∞

0 -1

-∞

x

 

x

lim f x



x

lim f x



 .

+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x   1, giá trị cực đại tương ứng là y  1  1;

hàm số đạt cực tiểu tại x  0, giá trị cực tiểu tương ứng là y 0  0

Ví dụ 3 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y 1 x 3 x 2 3x 4

Giải

+) TXÑ  

+) y '  x 2  2x  , y ' 3   0 x   1 hoặc x  3

+) y "  2x  , 2

 

y "  1    4 0  hàm số đạt cực đại tại x   1, giá trị cực đại tương ứng là y  1  3,

 

y " 3  4  0  hàm số đạt cực tiểu tại x  3, giá trị cực tiểu tương ứng là   23

7

y 3  

Ví dụ 4 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y  x sin 2x   2

Giải

+) TXÑ  

+) y '   1 2 cos 2x, y '   0 1

2

cos 2x  

3

2x     2k  

6

x      ( k k  ) +) y "  4sin 2x,

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

-) y "6     k  4 sin3   2k   2 3  0  hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

6

x     , giá k

y     k     k  2

-) y " 6     k  4 sin 3   2k    2 3  0  hàm số đạt cực đại tại các điểm

6

x     , k

y       k     k  2

Ví dụ 5 [SGK] Tìm a , b, c sao cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx d  đạt cực tiểu tại điểm

x  0, y 0  0 và đạt cực đại tại x  1, f 1  1

Giải

+) Ta có y '  3ax 2  2bx 2  c

Từ giả thiết suy ra

 

 

 

 

y ' 0 0

y 0 0

y ' 1 0

y 1 1



































    





 















 



+) Khi đó y   2x 3  3x 2, y '   6x 2  6x, y "   12x  Ta có 6 y " 0  6  0  hàm số đạt

cực tiểu tại x  0, y " 1    6 0  hàm số đạt cực đại tại x  1 (thỏa mãn)

Vậy a   2, b  3, c  0, d  0

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C Bài tập

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số

1) f x  2x 3  9x 2  12x  3

2) f x   5x 3  3x 2  4x  5

3) f x  3x 4  4x 3  24x 2  48x  3

x 2

f x x 3



  

5)   2 2 8x 24

4

f x  



2 4

f x





7) f x  x 3 x 

8) f x  x 2  2 x  2

9) f x  sin x 2  3 cos x

10) f x  2 sin x  cos 2x

Bài 2 Tìm a , b, c để hàm số f x  x 3  ax 2  bx  đạt cực tiểu tại c x  1, f 1   3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Bài 3 Tìm p, q sao cho hàm số f x  x p q

x 1

 đạt cực đại tại điểm x   2 và

 

f  2   2

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

D Đáp số

Bài 1

1) Hàm số đạt cực đại tại điểm x  1, f 1  8 và đạt cực tiểu tại điểm x  2, f 2  7

2) Hàm số nghịch biến trên  nên không có cực trị

3) Hàm số đạt cực tiểu tại x   2, f 2  115 và x  2, f 2  13, đạt cực đại tại điểm

x  1, f 1  20

4) Hàm số đạt cực đại tại điểm x   1, f  1   7 và đạt cực tiểu tại điểm x  5, f 5  5 5) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1, y 1  5 và đạt cực đại tại điểm x  4, y 4  2

6) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x   2,   1

4

y  2   và đạt cực đại tại điểm x  2,   1

4

y 4 

7) Hàm số đạt cực tiểu tại x  1; f 1  5, đạt cực đại tại điểm x  4; f 4  2

8) Hàm số đạt cực tiểu tại x   2;   1

4

f  2   , đạt cực đại tại điểm x  2;   1

4

f 2 

9) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x  2k , y 2k    2 3 và x    2k ,

y   2k    2 3 Hàm số đạt cực đại tại các điểm 5

6

x     2k  ,  5  1

y    2k   

10) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm

2

x    2k  , y 2  2k   1 và

2

x     2k  ,

y    2k    3 Hàm số đạt cực đại tại các điểm

6

x    2k  ,   3

y   2k   và

5

6

x    2k  , 5  3

y   2k  

Bài 2 a  3, b   9, c  2

Bài 3 p  , q 1  1

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Loại 2 Cực trị của hàm bậc ba

A Tóm tắt lý thuyết

Xét hàm f x  ax 3  bx 2  cx d   C (a  0), f ' x  3ax 2  2bx c  là tam thức bậc hai có

2

* Điều kiện có cực trị

+) f có cực trị  f có hai cực trị

  C có các điểm cực đại cực tiểu

 f ' x  có hai nghiệm phân biệt

   ' 0 +) f không có cực trị    ' 0

* Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS

Giả sử f có cực trị, thực hiện phép chia đa thức f x  cho f ' x  để có:

     

f x  p x f ' x  ax  b

Từ đây suy ra:

+) x là điểm cực trị của 0 f  f ' x 0  0  f x 0  ax 0  b

+)  : y  ax b  là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của  C

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số y m  2 x 3  3x 2  mx 5  có cực đại, cực tiểu

Giải

Ta có y '  3 m  2 x 2  6x  m y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

Khi đó y ' là tam thức bậc hai có    ' 3 m 2  2m  3

y có cực đại, cực tiểu    ' 0  m 2  2m  3  0    3 m  1  2

Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

m    3; 2   2;1

Ví dụ 2 [ĐHD12] Tìm m để hàm số 2 3 2  2  2

y  x  mx  2 3m  1 x  có hai điểm cực trị x , 1

2

x sao cho x x 1 2  2 x 1  x 2 1

Giải

 

t x

y '  2x  2mx  2 3m  1  2 x  mx  3m  1



 

t x là tam thức bậc hai có   13m 2  4

y có hai điểm cực trị  y ' có hai nghiệm phân biệt

 t x  có hai nghiệm phân biệt

   0



2 13 13

2 13 13

m m





 



1

x , x là các nghiệm của 2 t x  nên theo định lý Vi-ét, ta có 1 2

2

x x 3m 1

 





  



THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Do đĩ x x 1 2  2 x 1  x 2  3m 2  2m 1 

x x  2 x  x  1   3m 2  2m 1   1

  3m 2  2m  0

 

không thỏa mãn thỏa mãn

2 3

 



 



3

m 

Ví dụ 3 [ĐHB07] Tìm m để hàm số y   x 3  3x 2  3 m 2  1 x  3m 2  cĩ cực đại, cực 1

tiểu và các điểm cực trị của ĐTHS cách đều gốc tọa độ O

Giải

 

t x

y '   3x  6x  3 m  1   3 x  2 x m   1

  

 

t x là tam thức bậc hai cĩ   ' m 2

y cĩ cực đại cực tiểu  y ' cĩ hai nghiệm phân biệt

 t x  cĩ hai nghiệm phân biệt

   ' 0

Khi đĩ y ' cĩ các nghiệm là: 1 m   tọa độ các điểm cực trị của ĐTHS là

A 1 m; 2    2m và B 1 m; 2    2m 3

OA 1 m; 2 2m    

OA  1 m   4 1 m 

OB 1 m; 2     2m

OB  1 m   4 1 m 

A và B cách đều gốc tọa độ  OA  OB

 OA 2  OB 2

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

  2  32  2  32

1 m   4 1 m   1 m   4 1 m 

  2  2  3 2 32

  4m 16m  3  0

 

không thỏa mãn thỏa mãn

1 2

 



  



2

m  

Ví dụ 4 [ĐHB12] Tìm m để ĐTHS y  x 3  3mx 2  3m 3 cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 48

Giải

Ta cĩ

2

y '  3x  6mx  3x x  2m , y '   0 x 0











ĐTHS cĩ hai điểm cực trị khi và chỉ khi

Khi đĩ, các điểm cực trị của ĐTHS là A 0;3m 3, B 2m; m  3

+) OA 0;3m  3

+) Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d B, OA  d B, Oy  2 m  3

Do đĩ: S OAB  48  3m 4  48  m   2 (thỏa mãn  1 )

Ví dụ 5 Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực

trị của ĐTHS f x  x 3  3x 2  6x  8  C

Giải

Ta cĩ f ' x  3x 2  6x  6  3 x 2  2x  2

  , f ' x  0  t x  0  x x 1 1 3



THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

Bảng biến thiên

f x2  

x2

+∞

-∞

y

f x1  

+∞

x1 -∞

x

Từ bảng biến thiên ta thấy f đạt cực đại tại x , đạt cực tiểu tại 1 x 2

Thực hiện phép chia f x  cho t x  ta có: f x   x 1 t x     6x  6

Ta có

+) f x  1  x 1  1 t x  1  6x 1  6   6x 1  6 (vì f ' x 1  0  t x 1  0)

 f x 1  f 1  3  6 1  3 6  6 3  tọa độ điểm cực đại: 1  3;6 3

Tương tự : f x 2   6 3  tọa độ điểm cực tiểu: 1  3; 6 3  

+) Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của  C cùng thỏa mãn phương trình y   6x  nên 6

phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS là y   6x  6

Nhận xét: Trong ví dụ trên thay vì chia f x  cho f ' x , ta thực hiện phép chia f x  cho t x 

đơn giản hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp Sở dĩ có thể làm được như thế là vì

 

f ' x và t x  có cùng tập nghiệm

Ví dụ 6 [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS

y   x  3mx  3 1 m  x m   m

Giải

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

 

t x

f ' x   3x  6mx  3 1 m    3 x  2mx m   1



 

t x có    ' 1 0  t x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai

nghiệm này  t x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này

 f có cực đại, cực tiểu

Thực hiện phép chia f x  cho t x  ta có: f x   m  x t x   2x m  2  m

0

x là điểm cực trị nào đó của f

f x  m  x t x  2x  m  m  2x  m  m (vì f ' x 0  0  t x 0  0)

 f x 0  2x 0  m 2  m

 phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS là y  2x m  2  m

Ví dụ 7 Tìm m để ĐTHS f x  x 3  3 m 1 x   2 2m 2  3m  2 x m m 1     có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng 1

4

y   x

một góc 45 o

Giải

* Ta có f ' x  3x 2  6 m 1  x  2m 2  3 m  2 Ta thấy f ' x  là tam thức bậc hai có

' 3 m 3m 1

    f có cực đại, cực tiểu    ' 0   

2

2

m

1 m













* Thực hiện phép chia f x  cho f ' x  ta có:

f x  x m 1 f ' x    m  3m 1 x   m  4m  2m 1 

Nếu x là điểm cực trị nào đó của hàm số thì

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

f x  x  m 1 f ' x   m  3m 1 x   m  4m  2m 1 

0

3 m 3m 1 x 3 m 4m 2m 1

: y m 3m 1 x m 4m 2m 1

ĐTHS

3

k   m  3m 1   tạo với 1

4

y   x góc 45  khi và chỉ khi

1 k 4 k 1 4 tan 45





1 k 4 k 1 4 1





 

1 k 4 k 1 4 1 k 4 k 1 4

1

1





















3 5 5 3

k

k

 



  



5

10

m   ( không thỏa mãn  1 )

3

k    2 2  5

      2m 2  6m  3  0  3 15

2

m   (thỏa mãn  1 )

2

m  

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

C Bài tập

Bài 1 Cho y  mx 3  3mx 2 m 1 x 1    Tìm m để hàm số có cực trị tại các điểm âm Bài 2 Cho y  2x 3  mx 2  12x 13  C m

1) Chứng tỏ rằng với mọi m , C m luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi x , 1 x là hoành độ 2

các điểm cực trị của C m, tìm GTNN của biểu thức S  x 1 2  x 2 2 x 1  1x 2  1

2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của C m cách đều trục tung

Bài 3 Cho y   x 3  3x 2  3 m 2  1 x  3m 2  1 C m

1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

2) Tìm m để C m có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS

1) f x   x 3  3 x 2  2x 1 

2) f x  2x 3  x 2   x 5

3) f x  x 3  2 x 2  10x  3  1

Bài 5 Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi

qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS

1) f x  x 3  3mx 2  3 m 2  1 x m  3

2) f x  x 3  3 m 1 x   2 2m 2  3m  2 x m m 1    

Bài 6 Tìm m để ĐTHS

1) f x  2x 3  3 m 1 x   2  6 m  2 x 1  có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng

đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y   4x 1 

2) f x  2x 3  3 m 1 x   2  6m 1 2m x   có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng y   4x

3) f x  x 3  mx 2  7x  có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực 3

đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y  3x  7

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44

4) y   x 3  3mx 2  3 1 m  2x m  3  m 2 có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại cực tiểu và điểm M 1;0  thẳng hàng

5) f x  x 3  x 2  m x m 2  có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

5

1

y  x 

2

1

f x  x   x  mx có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

72x 12y   35  0