Giáo án Hình học 12 tiết 35 đến 45

Muïc tieâu baøi daïy * Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ toạ độ đêcác vuông góc trong không gian, toạ độ của véctơ và của điểm trong không gian, chia đoạn thẳng theo một tỉ số cho trước để [r]

Trang 1

Tuaăn hóc thöù: 24 Ngaøy soán:22/2 Tieât chöông trình: 35

Baøi 2 BAØI TAÔP HEÔ TOÁ ÑOÔ ÑEĐCAÙC VUOĐNG GOÙC TRONG KHOĐNG GIAN, TOÁ ÑOÔ CỤA VEÙCTÔ VAØ CỤA ÑIEƠM.

I Múc tieđu baøi dáy

* Höôùng daên hóc sinh vaôn dúng heô toá ñoô ñeđcaùc vuođng goùc trong khođng gian, toá ñoô cụa veùctô vaø cụa ñieơm trong khođng gian, chia ñoán thaúng theo moôt tư soâ cho tröôùc ñeơ giại caùc baøi taôp sgk.

* Hóc sinh phại xaùc ñònh ñöôïc toá ñoô cụa moôt veùctô, ñieơm trong khođng gian.

* Reøn luyeôn vaø phaùt trieơn tö duy tröøu töôïng, kó naíng tính toaùn cho hóc sinh.

II Chuaơn bò cụa giaùo vieđn vaø hóc sinh

* Hóc laøm baøi tröôùc ôû nhaø.

* Giaùo vieđn nghieđn cöùu saùch giaùo khoa + taøi lieôu coù lieđn quan, chuaên bò bạng phú vaø caùc phöông tieôn dáy hóc khaùc.

* Caùc kieân thöùc veă veùctô trong khođng gian.

III Tieân trình baøi dáy.

 OƠn ñònh lôùp : (1’)

OƠn ñònh traôt töï, kieơm tra só soâ

 Kieơm tra baøi cuõ: (3’)

 Tieân haønh dáy baøi môùi.

T

Hoát ñoông 1 Höôùng daên hs giại

baøi taôp 1 sgk.

Trong kgOxz cho (x; y; z), v v

’(x’;y’;z’) thì :

<H> v v= ’  ? + ’= ? - ’= ?v v v v

k = ?v

baøi taôp 5 sgk.

<H> G laø tróng tađm cụa tam giaùc

ABC khi naøo ?

baøi taôp 6 sgk.

<H> G laø tróng tađm cụa töù dieôn

ABCD khi naøo ? Töø ñoù suy ra toá

ñoô ñieơm G ?

* = ’  x = x’, y = y’, z = z’v v

+ ’= (x + x’, y + y’, z + z’)v v

- ’= (x - x’, y – y’, z – z’)v v

k = (k.x, k.y, k.z)v

3

1 OA OB OC

3

C B

A x x

x  

3

C B

A y y

y  

3

C B

A z z

z  

Ta có:

OG= ( + + + )

4

1

OA OB OC OD

Bài 1 (Trang 65)

= -2 + nên = (-2, 1, 0); = 7 - 8 nên = (7, 0, -8)

= -9 nên = (0, 0, -9); = 3 - 4 + 5 nên = (3, -4, 5)

Bài 5 (Trang 65) A (xA, yA, zA); B (xB, yB, zB); C (xC, yC, zC) Tìm toạ độ trọng G tâm ABC

Ta có

OG= ( + + )

3

1 OA OB OC

3

C B

x  

3

C B

y  

3

C B

z  

A (xA, yA, zA); B (xB, yB, zB); C (xC, yC, zC); D (xD, yD, zD) Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện

Ta có:

Trang 2

baøi taôp 9 sgk.

<H> Ñeơ chöùng minh A, B, C

khođng thaúng haøng ta chöùng minh

nhö theâ naøo ? Coøn thaúng haønh thì

sao ?

baøi taôp 10 sgk.

<H> Töø caùc ñieơm A, B vaø D ñaõ

bieât toá ñoô Haõy tìm toá ñoô ñieơm

C ? Neđu caùch tìm caùc ñieơm coøn lái

?

baøi taôp 12 sgk.

Giạ söû ñt AB caĩt mp(Oyz) tái M.

<H> Toá ñoô M laø gì ?

<H> Töø ñoù xaùc ñònh toá ñoô M vaø

tư

soâ maø M chia ñoán thaúng AB

 Bước 4 Củng cố:

* Laøm caùc baøi taôp coøn lái trong

sgk.

4

D C B

A x x x

x   

4

D C B

A y y y

y   

4

D C B

A z z z

z   

* AB và AC không cùng phương

và cùng phương

* Theo quy tắc hình bình hành:

C(2; 0; 2)

AD AB

* Từ AA ' CC  ' A’(3; 5; -6)

BB ' CC  ' B’(4; 6; -5)

DD ' CC  ' D’(3; 4; -6)

* Vì M naỉm tređn (Oyz) neđn M(0, y, z)

= k

 2 = 4k  k = 1/2 -1 - y = k(5 - y) y = -7

7 - z = k(-2 - z) z = 16

OG= ( + + + )

4

1

OA OB OC OD

4

D C B

x   

4

D C B

y   

4

D C B

z   

Bài 9 (Trang 67):A(1, 3, 1), B(0, 1, 2), C(0, 0, 1)

AB= (-1, -2, 1)

AC = (-1, -3, 0)  AB và AC không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng

A'(1, 1, 1), B'(-4, 3, 1), C'(-9, 5, 1)

= (-5, 2, 0) '

'B A

= (-10, 4, 0)  và cùng phương nên A', B', C' '

'C

thẳng hàng

Bài 10 (Trang 67) A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; -1; 1); C’(4; 5; -5)

Theo quy tắc hình bình hành:AC  AB  AD C(2; 0; 2) Từ AA ' CC  ' A’(3; 5; -6)

BB ' CC  ' B’(4; 6; -5)

DD ' CC  ' D’(3; 4; -6)

Bài 12 (Trang 67): A = (2, -1, 7); B = (4, 5, -2), AB = (2, 6, -9)

AB cắt Oyz tại M(0, y, z) Ta có MA= kMB

 2 = 4k  k = 1/2 -1 - y = k(5 - y) y = -7

7 - z = k(-2 - z) z = 16 Vậy điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k =1/2 Tọa độ điểm M(0; -7; 16)

Trang 3

Tuaăn hóc thöù: 24-25 Ngaøy soán:22/2 Tieât chöông trình: 36-37

BAØI 3 BIEƠU THÖÙC TOÁ ÑOÔ CỤA TÍCH VOĐ HÖÔÙNG, TÍCH COÙ HÖÔÙNG CỤA HAI VEÙCTÔ

* Höôùng daên hóc sinh phaùt hieôn vaø naĩm vöõng bieơu thöùc toá ñoô cụa tích vođ höôùng cụa hai veùctô, khoạng caùch giöõa hai ñieơm, goùc giöõa hai veùctô tích coù höôùng cụa hai veùctö vaø öùng dúng.

* Hóc sinh phại vaôn dúng ñöôïc caùc kieân thöùc tređn ñeơ giại caùc baøi taôp.

* Hóc ñóc baøi vaø soán baøi tröôùc ôû nhaø.

T

Hoạt động 1 Hướng dẫn học sinh phát

hiện vàn nắm vững biểu thức toạ độ của

tvh

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

=(x1; y1; z1) và =(x2; y2; z2)

<H> = ?a b

Công thức trên gọi là biểu thức toạ độ của

tích vô hướng

<H> a2 = ? Suy ra: | | ?a

<H>  khi nào ?a b

Hoạt động 2 Hướng dẫn hs phát hiện

công thức tính khoảng cách giữa hai

điểm

Cho A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB)

* = a b

(x1i+y1j+z1k) (x2i+y2 j+z2k) =

x1xx +y1y2 + z1z2

* a2 = x1 + y1 + z1

* | | = a 2

1

2 1

2

x  

*   xa b 1xx +y1y2 + z1z2 = 0

* BA= (xB – xA, yB – yA , zB - zA) suy ra:

AB =

2 2

) (x Bx A  y By A  z B z A

1 Định lý:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu =(xa 1; y1; z1) và =(xb 2; y2; z2) thì = xa b 1xx +y1y2 + z1z2

Công thức trên gọi là biểu thức toạ độ của tích vô hướng Đặc biệt nếu = , ta có bình phương vô hướng:a b

a2 = x1 + y1 + z1

Do đó độ dài của được tính theo công thức:a

| | = a 2

1

2 1

2

x  

  xa b 1xx +y1y2 + z1z2 = 0

2 Khoảng cách giữa hai điểm

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA; zA) và B(xB; yB;

zB) thì AB = (x B x A)2 (y B y A)2 (z B z A)2

3 Góc giữa hai vectơ Gọi  là góc giữa hai vectơ và với a b

Trang 4

<H> Tìm toạ độ BA? Suy ra AB = ?

công thức tính góc giữa hai véctơ

Gọi  là góc giữa hai vectơ và với a b

, 

a b 0

<H> Tính góc giưũa hai véctơ và ?a b

khái niệm tích có hướng của hai véctơ

Cho hai vectơ = (xa 1; y1; z1) và

=(x2; y2; z2)

b

<H> Khi hai véctơ = (xa 1; y1; z1) và

=(x2; y2; z2) cùng phương, nhận xét gì

b

về các định thức:

2 2

1 1 2 2

1 1

2

1

;

y x

y x x z

x z

z

y

z

y

Điều ngược lại thì sao ?

* GV đưa ra khái niệm tích có hướng của

hai véctơ và hướng dẫn hs phát hiện tính

chất của chúng

<H> và cùng phương khi và chỉ khi a b

nào ?

<H> Nhận xét gì về [ , ] và ?a b a

Tương tự ta có điêug gì ?

Ta dễ dàng cm được: |[ , ]| = | |.| | a b a b

sin, trong đó  là góc giữa hai vectơ a

và b

Xét tam giác ABC

<H> Diện tích tam giác ABC bằng gì ?

* Hướng dẫn hs phát hiện điều kiện đồng

phẳng của ba véctơ, thể tích hình hộp

Hoạt động 5 Hướng dẫn hs vận dụng

* cos =

2 2

2 1

2 1 2 1 2 1

.

|

|.

|

.

z y x z y x

z z y y x x b

a

b a





Chúng bằng 0 Nếu các định thức

bằng 0

2 2

1 1 2 2

1

y x

y x x z

x z z y

z y

thì hai véctơ đó bằng 0

* và cùng phương khi và chỉ khi a b

[ , ] = a b 0

* [a b, ]  vì [ , ] = 0.a a b a

* Tương tự ta có: [ , ]  a b b

SABC = AB.ACsinBAC= |

2

1

2 1

|

] , [ AB AC

* Ta cm ba vectơ không đồng phẳng

a b 0

2 2

2 1

2 1 2 1 2 1

.

|

| |

|

.

z y x z y x

z z y y x x b

a

b a





4 Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng a) Bài toán: Chứng minh rằng hai vectơ = (xa 1; y1; z1) và =(xb 2;

y2; z2) cùng phương khi và chỉ khi cả ba định thức cấp hai sau đây đều bằng không: (*)

2 2

1 1 2 2

1

y x

y x x z

x z z y

z y

b) Định nghĩa: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai

vectơ bất kỳ =(xa 1; y1; z1) và =(xb 2; y2; z2) Vectơ có toạ độ là ba định thức (*) gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ a

và và ký hiệu [ , ].b a b

Vậy [ , ] = (a b )

2 2

1 1 2 2

1

y x

y x x z

x z z y

z y

c) Tính chất:

i) và cùng phương khi và chỉ khi [ , ] = a b a b 0

ii) [ , ]  ; [ , ]  a b a a b b

iii) |[ , ]| = | |.| | sin, trong đó  là góc giữa hai vectơ và a b a b a

b

d) Diện tích tam giác

Ta có diện tích tam giác ABC là: SABC = | |

2

1

] , [ AB AC

e) Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định lý: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ , và đồng phẳng a b c

là: [ , ] = 0a b c

f) Thể tích hình hộp

VABCD.A’B’C’D’ = |[AB , AD ] AA '|

Ví dụ:

Trang 5

các kiến thức đã học để giải ví dụ.

<H> Để C/m A; B; C; D là 4 đỉnh của một

tứ diện la làm ntn ?

<H> Để tính đường cao của tam giác BCD

hạ từ D ta làm như thế nào ?

<H> Để tính góc BCD ta làm nth ?

* Laøm caùc baøi taôp trong sgk.

hay A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện Vậy ta cần cm:

|[BA , BC ] BD 0

* Ta tính SBCD rồi suy ra độ dài đường cao của tam giác BCD kẻ từ

D là:

BC

S BCD

* Ta tính góc giữa hai véctơ CB và

CD

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;1);

B(- 1; 1; 2); C(- 1; 1; 0); D(2; - 1; -2) a) C/m A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện b) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ D c) Tính góc BCD và góc giữa hai đường thẳng AB; CD

d) Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

a) [BA , BC ] BD= - 2  0 Vậy ba vectơ không đồng phẳng hay A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện

b) S = 13; DK = 13

c) cosCBD =

29 4

d) V = 1/3 và AH = 13/13

Tuaăn hóc thöù: 26 Ngaøy soán: 7/3 Tieât chöông trình: 38

BAØI TAÔP BIEƠU THÖÙC TOÁ ÑOÔ CỤA TÍCH VOĐ HÖÔÙNG, TÍCH COÙ HÖÔÙNG CỤA HAI VEÙCTÔ

* Höôùng daên hóc sinh vaôn dúng bieơu thöùc toá ñoô cụa tích vođ höôùng cụa hai veùctô, khoạng caùch giöõa hai ñieơm, goùc giöõa hai veùctô tích coù höôùng cụa hai veùctö vaø öùng dúng.

* Hóc sinh phại xaùc ñònh ñöôïc tích vođ höôùng cụa hai veùctô, giại ñöôïc caùc baøi taôp sgk.

* Caùc kieân thöùc veă bieơu thöùc toá ñoô cụa tích vođ höôùng cụa hai veùctô, khoạng caùch giöõa hai ñieơm, goùc giöõa hai veùctô tích coù höôùng cụa hai veùctö vaø öùng dúng.

Trang 6

Hoát ñoông 1 Höôùng daên hs giại baøi

taôp 1 sgk.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

nếu =(xa 1; y1; z1) và =(xb 2; y2; z2) thì

<H> = ?a b

<H> a2 = ?

<H> | | = ?a

taôp 2 sgk.

<H> Goùc giöõa hai veùctô a=(x1; y1;

z1) và =(xb 2; y2; z2) ñöôïc tính theo

cođng thöùc naøo ?

taôp 4 sgk.

<H> Neđu ñieău kieôn ñoăng phaúng cụa

ba veùctô ?

taôp 5 sgk.

<H> Ñeơ chöùng minh A, B, C khođng

thaúng haøng ta chöùng minh nhö theâ

naøo ?

<H> Ñeơ tính dieôn tích tam giaùc ABC

ta laøm ntn ?

Töù giaùc ABCD laø moôt HBH khi naøo

?

taôp 6 sgk.

<H> Ñeơ chöùng minh A, B, C, D laø 4

ñưnh cụa moôt töù dieôn ta laøm ntn ?

khođng thaúng haøng ta chöùng minh

* a b = x1xx +y1y2 + z1z2

* a2 = x1 + y1 + z1

* | | = a 2

1

2 1

2

x  

* cos =

2 2

2 1

2 1 2 1 2 1

.

|

|.|

|

.

z y x z y x

z z y y x x b

a

b a





* Điều kiện cần và đủ để ba vectơ , a b

và đồng phẳng là: [ , ].c a b

= 0

c

* Ta cm [CA CB, ] ≠ nên 0 AB AC, không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng

* Diện tích tam giác ABC :

S = |[ , ] |=

2

1

CA CB

2 6

 Tứ giác ABCD là một HBH khi và chỉ khi BA  CD

* Ta cm A; B; C; D là 4 đỉnh của một tứ diện hay ba vectơAB , AC , AD không

= (1, -1, 1); = (4, 0, -1), = (3, 2, -1) nên:

a, ( ) = (9, 6, -3); b, a b c a2( ) = 39; b c

c, a2b c b+ 2 + c2a= (77, 20, -6)…

Bài 2 (Trang 75) a,Tính góc giữa các véctơ: = (4, 3, 1); = (-1, 2, 3) Cos = a b 

91 2 5

b,Tính góc giữa các véctơ: = (2, 5, 4); = (6, 0, -3) a b

Ta có: a b = 0 nên = 

2



a, = (1, -1, 1); = (0, 1, 2), = (4, 2, 3) nên [ ; ] ≠ 0 nên ba a b c a b c

véctơ không đồng phẳng

b, = (4, 3, 4); = (2, -1, 1), = (1, 2, 1) nên [ ; ] = 0 nên ba a b c a b c

véctơ đồng phẳng

Bài 5 (Trang 76):A(1, 0, 0), B(0, 0, 1), C(2, 1, 1)

a,CB= (-2, -1, 0)

CA = (-1, -1, -1)  [CA CB, ] ≠ nên 0 AB AC, không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng

b, Chu vi tam giác ABC: p = AB + BC + CA = 2+ 5+ 3

Diện tích tam giác ABC : S = |[ , ] |=

2

1

CA CB

2 6

c, Gọi D(x, y, z) Tứ giác ABCD là một HBH khi và chỉ khi BA  CD

 D(1, 1, 2)

d, Độ dài đường cao hạ từ A là: ha = =

BC

S ABC

2

5 30

Bài 6 (Trang 76) A(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1)

a) [AB , AC ] AD= -3  0 Vậy ba vectơ không đồng phẳng hay A; B; C;

D là 4 đỉnh của một tứ diện

Trang 7

nhö theâ naøo ?

<H> Theơ tích cụa töù dieôn V = ?

Suy ra ñoô daøi ñöôøng cao kẹ töø A ?

* Laøm caùc baøi taôp coøn lái trong sgk.

đồng phẳng hay AB , AC ] AD 0

Ta có thể tích tứ diện là:

=

| ] , [

| 6

1

AD AC AB

V 

2 1

Ñộ dài đường cao kẻ từ A là: = 1

BCD S

V

3

b, Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD Ta có: cos =

2 1

nên  =

4



Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AD Ta có: cos =

22 2

c, Ta có thể tích tứ diện là: |[ , ] | =

6

1

AD AC AB

V 

2 1

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là: = 1

BCD S

V

3

Tuaăn hóc thöù: 27 Ngaøy soán: 143 Tieât chöông trình: 39

BAØI 4 PHÖÔNG TRÌNH TOƠNG QUAÙT CỤA MAỊT PHAÚNG.

* Höôùng daên hóc sinh phaùt hieôn vaø naĩm vöõng veùctô phaùp tuyeân cụa maịt phaúng, PTTQ cụa maịt phaúng, caùch laôp PTTQ cụa maịt phaúng, vaø caùc tröôøng hôïp rieđng cụa PTTQ cụa mp.

* Hóc sinh phại vaôn dúng ñöôïc caùc kieân thöùc tređn ñeơ giại caùc baøi taôp.

* Hóc ñóc baøi vaø soán baøi tröôùc ôû nhaø.

T

hiện vàn nắm vững khái niệm véctơ pháp

tưyến của đường thẳng ?

GV đưa ra khái niệm VTPT của mp

<H> Một mp có bao nhiêu VTPT ? Nhận

xét gì về các VTPT này ?

* Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ này cùng phương với nhau

* Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác 

định khi biết một điểm thuộc nó và

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

a) Định nghĩa: vectơ khác vectơ được gọi là một vectơ pháp n 0

tuyến của mặt phẳng ( ) nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc 

với ( )(Nói tắt là vectơ vuông góc với ( )). n 

Ký hiệu:  ( ).n 

Trang 8

<H> Mặt phẳng được xác định khi nào ?

Cho =(x a 1; y1;z1) và =(x b 2; y2; z2) là

hai vectơ không cùng phương và các

đường thẳng chứa chúng song song

với (hoặc nằm trên )một mặt phẳng ( 

), thì

<H> vectơ pháp tuyến của mp ( ) là gì ?

* Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng

hàng trong mặt phẳng ( ) thì 

<H> vectơ pháp tuyến của mp ( ) là gì ?

hiện và nắm vững khái niệm pttq của mp

Giả sử mp () có vtpt =(A, B, C) và đi n

qua M0(x0, y0, z0)

<H> Nêu điều kiện cần và đủ để M(x,y, z)

nằm trên mp() ?

Ngược lại tập hợp các điểm M(x, y, z)

thoả mãn pt Ax + By + Cz + D = 0 nằm

trên một mp nào đó

* GV đưa ra định lý và đn pttq của mp

Ví dụ: Viết pttq của mp đi qua P(1; -2; 3) và

song song với mp 2x - 3y + z + 5 = 0

<H> Chỉ ra vtpt của mp này ? Suy ra pttq

của mp này ?

hiện và nắm vững các trường hợp đặc biệt

của pttq của mp

Giả sử ( ) là mặt phẳng có pt: Ax + By + 

Cz + D = 0

<H> Khi D = 0 mp luôn đi qua điểm nào ?

<H> Nếu A= 0; B  0; C  0 mặt phẳng có

một vectơ pháp tuyến của nó

* Vectơ pháp tuyến của mp ( ) 

2 2

1 1 2 2

1

y x

y x x z

x z z y

z y

* Vectơ =[n M1M2; M1M3 ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (

)

* M(x,y, z) nằm trên mp() 

0

M

 Ax + By + Cz + (- Ax0 - By0 - Cz0)

= 0  Ax + By + Cz + D = 0

 Nếu ( ) là mặt phẳng có pt: Ax + 

By + Cz + D = 0 thì = (A; B; C) là n

một vectơ pháp tuyến của nó

* vtpt n = (2, -3, 1)

Pttq: 2(x – 1) – 3(y + 2) + (z – 1) = 0 Hay 2x – 3y + z – 6 = 0

Nhận xét: + Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, các vectơ này cùng phương với nhau

+ Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định khi biết một điểm 

thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó

b) Chú ý:

 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu =(xa 1; y1;z1) và =(xb 2;

y2; z2) là hai vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trên )một mặt phẳng ( ), thì vectơ: 

=[ , ] = (n a b )

2 2

1 1 2 2

1

y x

y x x z

x z z y

z y

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )

 Hai vectơ và còn gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng a b

( ).

Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng ( ) 

thì các vectơ M1M2; M1M3là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( ) và do đó vectơ =[ n M1M2; M1M3 ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ).

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian cho một hệ tọa độ Oxyz

a) Định lý: Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có toạ độ (x; y; z) thoả mãn một phương trìng dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2  0 (1) và ngược lại, tập hợp tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn pt (1) là một mặt phẳng

b) Định nghĩa: Phương trình dạng

Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2  0 Được gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng (hay đơn giản là pt mặt phẳng)

c) Chú ý:

 Nếu mặt phẳng ( ) đi qua điểm M 0(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến = (A; B; C) thì pt của nó là:n

A( x - x0) +B( y - y0) +C( z - z0) = 0

 Nếu ( ) là mặt phẳng có pt: Ax + By + Cz + D = 0 thì = (A; B;  n

Trang 9

vtpt là gì ? Suy ra đặc điểm gì của mp này

?

Tương tự khi A  0; B = 0; C  0 và A  0;

B  0; C = 0 ?

<H> Khi A= 0; B = 0; C  0 thì sao ?

* Gv hướng dẫn hs giải các ví dụ còn lại ?

Củng cố:

 Nắm được vectơ pháp tuyến của mặt

phẳng, cặp vectơ chỉ phương của mặt

phẳng

 Nắm vững phương trình tổng quát của

mặt phẳng, các trường hợp riêng của

phương trình tổng quát của mặt phẳng và

áp dụng làm các bài tập

Bài tập 1- 8 trang 82 - 83

* Đi qua gốc toạ độ

* = (0; B; C) là một vectơ pháp n

tuyến của nó nên = 0 nên mp n i

chứa hoặc // Ox

* Nếu A= 0; B = 0; C  0 mặt phẳng

Cz + D = 0 // hoặc trùng với mp(Oxy)

C) là một vectơ pháp tuyến của nó

3 Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát a) Nếu D = 0, mặt phẳng Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc toạ độ.

b) Nếu A= 0; B  0; C  0 mặt phẳng By + Cz + D = 0 chứa hoặc //

Ox

c) Nếu A= 0; B = 0; C  0 mặt phẳng Cz + D = 0 // hoặc trùng với

mp(Oxy)

d) Nếu A; B; C ; D  0 đặt a = -D/A; b = -D/B; c = -D/C ta đưa pt(1) về

dạng:   1 Mặt phẳng nay cắt các trục Ox; Oy; Oz tại các

c

z b

y a x

điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0); C(0; 0; c)

Ví dụ:

1/ Viết pttq của mp đi qua P(1; -2; 3) và song song với mp 2x - 3y + z + 5 = 0

2/ Viết pttq của mp đi qua 3 điểm P(1; -2; 3);Q( 2; 0; 1); R( -1; 1; 2) 3/ Viết pt mặt phẳng trung trực đoạn AB biết A( 1; 3; -2) B( 1; 2; 1)

Tuaăn hóc thöù: 27 Ngaøy soán: 14/3 Tieât chöông trình: 40

BAØI TAÔP PHÖÔNG TRÌNH TOƠNG QUAÙT CỤA MAỊT PHAÚNG.

* Höôùng daên hóc sinh vaôn dúng veùctô phaùp tuyeân cụa maịt phaúng, PTTQ cụa maịt phaúng, caùch laôp PTTQ cụa maịt phaúng, vaø caùc tröôøng hôïp rieđng cụa PTTQ cụa mp ñeơ giại caùc baøi taôp sgk.

* Hóc sinh phại xaùc ñònh ñöôïc tích vođ höôùng cụa hai veùctô, giại ñöôïc caùc baøi taôp sgk.

* Caùc kieân thöùc veă bieơu thöùc toá ñoô cụa tích vođ höôùng cụa hai veùctô, khoạng caùch giöõa hai ñieơm, goùc giöõa hai veùctô tích coù höôùng cụa hai veùcto vaø öùng dúng.

Trang 10

T

2 sgk.

<H> Hai mp song song thì ta keât luaôn

gì veă hai vtpt cụa chuùng ?

Maịt phaúng (Oxy) coù vtpt laø gì ? Suy

ra pt mp qua M0 (x0, y0, z0) song song

vôùi mp(Oxy).

taôp 3 sgk.

<H> Mặt phẳng vuông góc với trục Oy

có vtpt là gì ?

<H> Mặt phẳng vuông góc với M1M2

có vtpt là gì ?

<H> Mặt phẳng song song với mp 2x

– y + 3z – 4 = 0 có vtpt la gì ?

taôp 4 sgk.

<H> Mặt phẳng trung trực của M1M2

có vtpt la gì và đi qua điểm nào ?

taôp 5 sgk.

<H> Mặt phẳng (ABC) có vtpt là gì ?

taôp 6 sgk.

<H> Xác định hình chiếu của A(2, 3,

4) lên các trục: Ox ? Oy ? Oz?

<H> Xác định phương trình mp đi qua

các điểm này?

GV hướng dẫn hs giải bt 8.

* Laøm caùc baøi taôp coøn lái trong sgk.

* Hai vtpt cụa chuùng cuøng phöông

* Veùctô = (0, 0, 1).n

* Phương trình mặt phẳng đi qua

Mo(xo, yo, zo) và song song với mp(Oxy) là: z = zo

* Mặt phẳng vuông góc với trục Oy có vtpt là: = (0, 1, 0) n

* Mặt phẳng vuông góc với trục Oy có vtpt là: = (1, -6, 4) n

* Mặt phẳng song song với mp 2x – y + 3z – 4 = 0 vtpt là: = (2, -1, 3).n

* Mặt phẳng trung trực của M1M2 có vtpt là: = (1, -2, -2) và đi qua trung điểm n

I(3, 1, -2) của M1M2

* Mặt phẳng (ABC) có vtpt là:

hay

) 39 , 9 , 18 ( ] , [ AB AC   

= (6, - 3, 13).n

* Hình chiếu của A(2, 3, 4) lên các trục:

Ox là: B(2, 0, 0),Oy là: C(0, 3, 0),Oz là D(0, 0, 4) Theo phương rình đoạn chắn thì mp đi qua B, C, D có pt:

1 4 3

2x y  z 

Phương trình mặt phẳng đi qua Mo(xo, yo, zo) và song song với mp

* (Oxy) là: z = zo

* (Oxz) là: y = yo

* (Oyz) là: x = xo

a, Mặt phẳng đi qua Mo(1, 3, -2) và vuông góc với trục Oy có vtpt là:

= (0, 1, 0) nên nó có pttq là: y = 3

n

b, Mặt phẳng đi qua Mo(1, 3, -2) và vuông góc đt M1M2 có vtpt là:

= (1, -6, 4) nên nó có pttq là: x – 6y + 4z + + 25 = 0

n

c, Mặt phẳng đi qua Mo(1, 3, -2) và song song với mp 2x – y + 3z – 4

= 0 có vtpt là: = (2, - 1, 3) nên nó có pttq là: 2x – y + 3z + 7 = 0.n

Mặt phẳng trung trực của M1M2 có vtpt là: = (1, -2, -2) và đi qua n

trung điểm I(3, 1, -2) của M1M2 nên nó có pttq là: x – 2y + 2z +3 = 0

Bài 5 (Trang 83):A(-1, 2, 3), B(2, -4, 3), C(4, 5, 6).

Ta có: [ AB , AC ]  (  18 ,  9 , 39 )nên mp(ABC) có vtpt = (6, - 3, 13) n

nên nó có pttq là: 6x –3 y + 13z + 39 = 0

Bài 6 (Trang 83): Hình chiếu của A(2, 3, 4) lên các trục:

Ox là: B(2, 0, 0),

Oy là: C(0, 3, 0),

Oz là D(0, 0, 4)

Theo phương rình đoạn chắn thì mp đi qua B, C, D có pt:

1 4 3

2x y  z 

Bài 8 (Trang 83) Mặt phẳng cần tìm có cặp vtcp là:

nên nó có vtpt là: Do đó

) 3 , 1 , 2 ( ' );

0 , 1 , 0

nó có pttq: 3x - 2y - 2 = 0

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	273,38 KB