[r]
Trang 1¤i sè, gi£i t½ch v ùng döng
Nguy¹n Thà Nhung
Bë mæn To¡n - ¤i håc Th«ng Long
Ng y 17 th¡ng 12 n«m 2011
Ch÷ìng IV Ph²p t½nh vi ph¥n h m mët bi¸n
¤o h m c§p hai v mët sè kh¡i ni»m li¶n quan
ành ngh¾a ¤o h m c§p cao
ành ngh¾a
Cho h m sè y f pxq ¤o h m c§p n cõa f pxq, k½ hi»u l fpnqpxq ÷ñc
ành ngh¾a b¬ng qui n¤p nh÷ sau:
fp0q f pxq, fp1qpxq f1pxq, fpnqpxq pfpn1qq1,n ¥ 1
V½ dö: T½nh ¤o h m c§p n cõa c¡c h m sè sau:
a f pxq 2x5 5x4 1
2x
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 2¤o h m c§p hai v mët sè kh¡i ni»m li¶n quan
H m lçi, h m lãm
ành ngh¾a
Cho h m sè y f pxq Khi â:
f pxq ÷ñc gåi l h m lçi t¤i x x0n¸u f2px0q ¡ 0
f pxq ÷ñc gåi l h m lçi n¸u f2pxq ¡ 0 vîi måi x thuëc mi·n x¡c
ành
f pxq ÷ñc gåi l h m lãm t¤i x x0n¸u f2px0q 0
f pxq ÷ñc gåi l h m lãm n¸u f2pxq 0 vîi måi x thuëc mi·n x¡c
ành
V½ dö: Ta câ
f pxq x2l h m lçi
f pxq x2l h m lãm
f pxq x3 6x2 1 lãm t¤i x 1 v lçi t¤i x 1
¤o h m c§p hai v mët sè kh¡i ni»m li¶n quan
¤o h m c§p hai v kh¡i ni»m cªn bi¶n gi£m d¦n
Cho h m sè y f pxq, h m cªn bi¶n cõa f pxq l f1pxq H m cªn bi¶n cõa
f pxq gi£m d¦n tùc l f1pxq l h m gi£m hay f2pxq 0
ành ngh¾a
Trong to¡n kinh t¸ khi · cªp ¸n kh¡i ni»m cªn bi¶n gi£m d¦n l ta ·
cªp tîi kh¡i ni»m ¤o h m c§p 2 ¥m hay h m sè l h m lãm
¤o h m c§p hai v mët sè kh¡i ni»m li¶n quan
V½ dö
m¢n t½nh ch§t s£n ph©m cªn bi¶n theo lao ëng gi£m d¦n
s£n xu§t phò hñp v· m°t kinh t¸ theo lao ëng L
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 3B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n
Mæ t£ v· b i to¡n tèi ÷u
Nhúng b i to¡n nh÷ t¼m mùc s£n l÷ñng Q º lñi nhuªn cõa doanh
nghi»p ¤t tèi a hay t¼m mùc s£n l÷ñng Q º chi ph½ trung b¼nh cõa
doanh nghi»p ¤t tèi thiºu l nhúng b i to¡n tèi ÷u trong kinh t¸
B i to¡n tèi ÷u: B i to¡n t¼m GTLN ho°c GTNN cõa mët ¤i l÷ñng
n o â
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n: Cho h m sè y f pxq T¼m x º
h m sè f pxq ¤t GTLN v GTNN
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n ành ngh¾a gi¡ trà cüc ¤i, cüc tiºu, GTLN, GTNN
ành ngh¾a gi¡ trà cüc ¤i, cüc tiºu, GTLN, GTNN
ành ngh¾a
H m sè y f pxq ÷ñc gåi l ¤t cüc ¤i t¤i x x0 n¸u vîi måi x
thuëc l¥n cªn cõa x0ta câ f pxq ¤ f px0q
H m sè y f pxq ÷ñc gåi l ¤t cüc tiºu t¤i x x0 n¸u vîi måi x
thuëc l¥n cªn cõa x0ta câ f pxq ¥ f px0q
Gi¡ trà cüc ¤i, gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè y f pxq ÷ñc gåi chung
l gi¡ trà cüc trà hay cüc trà àa ph÷ìng
ành ngh¾a
H m sè y f pxq ÷ñc gåi l ¤t gi¡ trà lîn nh§t (GTLN) t¤i x x0
n¸u vîi måi x thuëc mi·n x¡c ành ta câ f pxq ¤ f px0q
H m sè y f pxq ÷ñc gåi l ¤t gi¡ trà nhä nh§t (GTNN) t¤i x x0
n¸u vîi måi x thuëc mi·n x¡c ành ta câ f pxq ¥ f px0q
Gi¡ trà lîn nh§t, gi¡ trà nhä nh§t ÷ñc gåi l cüc trà to n cöc
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
i·u ki»n c¦n cõa b i to¡n t¼m cüc trà
B i to¡n: Cho h m sè y f pxq T¼m gi¡ trà cüc ¤i, cüc tiºu cõa h m sè
i·u ki»n c¦n
ành l½
N¸u h m sè y f pxq ¤t cüc trà t¤i x x0th¼ f1px0q 0
Nhªn x²t: ành l½ (2.3) ch¿ ÷a cho ta i·u ki»n c¦n trong b i to¡n t¼m
cüc trà chù ch÷a ÷a ra i·u ki»n õ, tùc l ph¡t biºu £o l¤i cõa ành l½
(2.3) l khæng óng
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 4B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
Kh¡i ni»m v· gi¡ trà døng cõa h m sè
ành ngh¾a
Cho h m sè y f pxq Gi£ sû t¤i x x0ta câ f1px0q 0 Khi â
x0 ÷ñc gåi l gi¡ trà tîi h¤n cõa h m sè y f pxq;
f px0q ÷ñc gåi l gi¡ trà døng cõa cõa h m sè y f pxq;
px0,f px0qq ÷ñc gåi l iºm døng cõa h m sè y f pxq
Nhªn x²t: Gi¡ trà cüc trà cõa h m sè l gi¡ trà døng nh÷ng gi¡ trà døng
ch÷a h¯n ¢ l gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
i·u ki»n õ cõa b i to¡n t¼m cüc trà
i·u ki»n õ
D§u hi»u ¤o h m c§p 1
ành l½
Cho h m sè y f pxq Gi£ sû t¤i x x0ta câ f1px0q 0 Khi â
f px0q l gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè n¸u f1pxq êi d§u tø ¥m sang d÷ìng
khi i tø tr¡i sang ph£i cõa x0
f px0q l gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè n¸u f1pxq êi d§u tø d÷ìng sang
¥m khi i tø tr¡i sang ph£i cõa x0
f px0q khæng l gi¡ trà cüc trà cõa h m sè n¸u f1pxq giú nguy¶n d§u khi
i tø tr¡i sang ph£i cõa x0
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
i·u ki»n õ cõa b i to¡n t¼m cüc trà
D§u hi»u ¤o h m c§p 2
ành l½
Cho h m sè y f pxq Gi£ sû t¤i x x0ta câ f1px0q 0 Khi â
N¸u f2px0q ¡ 0 th¼ f px0q l gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè
N¸u f2px0q 0 th¼ f px0q l gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè
N¸u f2px0q 0 th¼ ta ch÷a câ k¸t luªn g¼ v· cüc trà cõa h m sè t¤i
x x0
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 5B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
V½ dö
T¼m cüc trà cõa h m sè sau:
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n D§u hi»u ¤o h m c§p mët, c§p hai t¼m cüc trà cõa h m sè
Líi gi£i
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n GTLN, GTNN v mèi li¶n h» vîi gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
GTLN v GTNN cõa h m sè
ành l½
Cho f : ra, bs ÝÑ R l h m sè li¶n töc tr¶n ra, bs Khi â f pxq ¤t gi¡ trà
lîn nh§t v gi¡ trà nhä nh§t tr¶n ra, bs v
GTLNra,bsf pxq maxtf paq, f pbq, f pa1q, , f panqu,
GTNNra,bsf pxq mintf paq, f pbq, f pa1q, , f panqu,
trong â f pa1q, f pa2q, , f panq l c¡c gi¡ trà cüc trà cõa f pxq
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 6B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n GTLN, GTNN v mèi li¶n h» vîi gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
GTLN v GTNN cõa h m sè
ành l½
N¸u f pxq ¤t cüc ¤i t¤i x x0 v f2pxq 0, @x th¼ f pxq ¤t cüc ¤i
duy nh§t t¤i x x0v f px0q l gi¡ trà lîn nh§t cõa h m sè
N¸u f pxq ¤t cüc tiºu t¤i x x0 v f2pxq ¡ 0, @x th¼ f pxq ¤t cüc
tiºu duy nh§t t¤i x x0v f px0q l gi¡ trà nhä nh§t cõa h m sè
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n GTLN, GTNN v mèi li¶n h» vîi gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
V½ dö
T¼m GTLN v GTNN cõa h m sè tr¶n R
T¼m GTLN v GTNN cõa h m sè tr¶n r0, 10s
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n GTLN, GTNN v mèi li¶n h» vîi gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
Líi gi£i
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó
Trang 7B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n GTLN, GTNN v mèi li¶n h» vîi gi¡ trà cüc trà cõa h m sè
V½ dö
T¼m GTLN v GTNN cõa h m sè sau:
y f pxq x2{3 5x 20
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n Ùng döng trong kinh t¸
B i to¡n tèi a hâa lñi nhuªn
B i to¡n (B i to¡n t¼m mùc s£n l÷ñng tèi ÷u)
Gi£ sû mët doanh nghi»p câ h m têng chi ph½ l TC TCpQq, h m têng
doanh thu l TR TRpQq T¼m mùc s£n l÷ñng Q l m tèi a hâa lñi nhuªn
cõa doanh nghi»p
Ta câ h m lñi nhuªn cõa doanh nghi»p l ΠpQq TRpQq TCpQq Ta
t¼m mùc s£n l÷ñng Q l m tèi a hâa lñi nhuªn cõa doanh nghi»p tùc l
t¼m gi¡ trà Q ¥ 0 º h m ΠpQq ¤t GTLN
B i to¡n tèi ÷u cho h m mët bi¸n Ùng döng trong kinh t¸
V½ dö
Mët doanh nghi»p câ h m têng chi ph½ cho bði TC 1
v h m c¦u cõa h¢ng l Q 116 2P
b T¼m mùc s£n l÷ñng Q º lñi nhuªn doanh nghi»p ¤t tèi a bi¸t doanh
nghi»p khæng s£n xu§t qu¡ 10 ìn và s£n ph©m
Ghi chó
Ghi chó
Ghi chó