Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 8 - ThS. Nguyễn Phương - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Vấn đề đặt ra là có hay không mối quan hệ phụ thuộc giữa X và Y. Nếu X và Y phụ thuộc thì sự phụ thuộc và mức độ phụ thuộc là như thế nào.[r]

Chương 8:

TƯƠNG QUAN và HỒI QUY

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

NỘI DUNG

1 Phân tích hồi quy

Mở đầu

Hồi quy tuyến tính

2 Phân tích tương quan

Giả sử có hai biến ngẫu nhiên X và Y Vấn đề đặt ra là có hay không mối quan hệ phụ thuộc giữa X và Y Nếu X và Y phụ thuộc thì sự phụ thuộc và mức độ phụ thuộc là như thế nào Ta coi X và Y có các loại phụ thuộc sau:

- Sự phụ thuộc hàm số: tồn tại hàm f(x) sao cho Y = f(X)

- Sự phụ thuộc thống kê: X thay đổi thì phân phối xác suất của Y cũng thay đổi

- Sự phụ thuộc tương quan: X thay đổi thì trung bình điều kiện E(Y|X) cũng thay đổi, nghĩa là E(Y|X) =ϕ(X) , hằng số Trong tất cả các hàm h(X) được dùng để ước lượng Y thìϕ(X) = E(Y|X) làm cho sai số bình phương trung bình E(Y − h(X))2 đạt cực tiểu

+ Phương trình E(Y|X) =ϕ(X) được gọi là phương trình hồi quy của Y theo

X + Phương trình E(Y|X) = AX + B được gọi là phương trình hồi quy tuyến tính củaY theo X

Giả sử X là biến độc lập, Y là biến phụ thuộc và giữa chúng có mối tương quan tuyến tính: E(Y|X) = AX + B với A , 0

A, B được gọi là các hệ số hồi quy lí thuyết

- Vấn đề đặt ra là từ mẫu (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn), hãy ước lượng các hệ

số A, B sao cho sai lệch giữa các giá trị quan sát yi và giá trị tính từ phương trình hồi quy Axi+ B là nhỏ nhất

Đặt F(A, B) = Pn

i=1

(yi− Axi− B)2, hai số a, b được chọn làm ước lượng cho

A, B nếu F(a, b) = min

(A ,B)F(A, B) Từ điều kiện cực trị, ta tìm được:























a = n

n

P

i=1

xiyi−

n

P

i=1

xi

! Pn

i=1

yi

!

n

n

P

i=1

x2

i −

n

P

i=1

xi

!2

b =

n

P

i=1

yi− a.Pn

i=1

xi n

a, b được gọi là hệ số hồi quy mẫu của Y theo X, đường thẳng có phương trình

y = ax + b được gọi là đường thẳng hồi quy

Ví dụ

Một công ti tiến hành phân tích hiệu quả quảng cáo của công ti và thu nhập

số liệu trong thời gian 5 tháng được kết quả:

X 5 8 10 15 22

Y 6 15 20 30 39 trong đó X là số tiền chi cho quảng cáo (đơn vị: triệu đồng), Y là tổng doanh thu (đơn vị: chục triệu đồng).Tìm các hệ số hồi quy a, b và phương trình hồi quy của Y theo X

Ví dụ

Một mẫu gồm 7 sinh viên được chọn để nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm thi đại học (X) và điểm thi ở kì thi cuối năm thứ nhất (Y) (thang điểm 5)

Y 2,5 2 2 3 3,5 4 4 a) Tính hệ số tương quan mẫu

b) Tìm phương trình hồi quy tuyến tính mẫu của Y theo X

c) Nếu điểm thi vào đại học của sinh viên là 3,3 thì dự đoán điểm thi cuối năm thứ nhất của sinh viên này là bao nhiêu?

5

Định nghĩa

Hệ số tương quan mẫu, kí hiệu là r, được xác định như sau:

r =

n

P

i=1

(xi− ¯x)(yi− ¯y)

r n

P

i=1

(xi− ¯x)2.Pn

i=1

(yi− ¯y)2

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta thường sử dụng công thức:

r =

n

n

P

i=1

xiyi−

n

P

i=1

xi

! Pn

i=1

yi

!

s n

n

P

i=1

x2

i −

n

P

i=1

xi

!2

s n

n

P

i=1

y2

i −

n

P

i=1

yi

!2

Ví dụ

Một công ti tiến hành phân tích hiệu quả quảng cáo của công ti và thu nhập

số liệu trong thời gian 5 tháng được kết quả:

X 5 8 10 15 22

Y 6 15 20 30 39 trong đó X là số tiền chi cho quảng cáo (đơn vị: triệu đồng), Y là tổng doanh thu (đơn vị: chục triệu đồng) Hãy xác định hệ số tương quan mẫu

Ví dụ

Cho mẫu điều tra về (X, Y) có bảng số liệu như sau:

H H H H H X

Y

0 − 0, 2 0, 2 − 0, 4 0, 4 − 0, 6

Tính hệ số tương quan mẫu r