Hiện tượng này di do nhiều nguyên nhân, trong đó chủ yếu là do các học sinh đó chưa có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên chưa khơi dậy được niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề n[r]
Trang 1Mở đầu
I - Lý do chọn đề tài
Trong công tác dạy và học trong nhà trường phổ thông ở mị cấp học, việc
đổi mới phương pháp giảng dạy rất cần thiết tạo tiền đề cho việc rèn luyện tính tích cực, chủ động tìm ra kiến thức trong học tập cho học sinh theo phương châm: "Phát huy tính độc lập suy nghĩ, tự chủ trong học tập và rèn luyện"
Trong thực tế, ở các trường THCS số học sinh còn non về môn toán chiếm
tỷ lệ đáng kể Hiện tượng này di do nhiều nguyên nhân, trong đó chủ yếu là do các học sinh đó chưa có điều kiện tốt cho học tập, giáo viên chưa khơi dậy được niềm đam mê học toán cho học sinh …Vấn đề này đặt ra cho người thầy về phương pháp giảng dạy, thông qua từng tiết dạy, từng bài dạy trên lớp thực hiện theo định hướng là làm thế nào để học sinh phát huy được tính tích cực, sáng tạo, giúp các em biết cách học, cách suy nghĩ, tìm tòi và từng bước sáng tạo trong học toán
Với tinh thần đó, nhiệm vụ của giáo viên phổ thông nói chung, giáo viên dạy toán nói riêng phải chủ động tìm ra cách giải hợp lý để khơi dậy niềm đam
mê học toán cho học sinh, giúp cho tất cả các học sinh nắm được các kiến thức cơ bản, từ đó tự khai thác các kiến thức cao hơn, sâu hơn, tạo điều kiện tiếp cận nền khoa học kỹ thuật hiện đại, tiên tiến Góp phần thực hiện mục tiêu chiến lựơc của ngành Giáo dục và Đào tạo hiện nay: "Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài"
Là giáo viên dạy toán, tôi thấy rằng: môn Toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy (Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá và cụ thể hoá) Năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực suy luận lôgic và ngôn ngữ nhằm rèn luyện phẩm chất trí tuệ về tư dy độc lập, tư duy sáng tạo
Trong năm qua, được phân công giảng dạy toán lớp 7 ở phần đa thức SGK mới chỉ đề cập đến cộng, trừ đa thức, chứng tỏ một giá trị nào đó của biến
là nghiệm của đa thức (hoặc không phải là nghiệm của đa thức), tìm nghiệm của
đa thức ở mức độ đơn giản…Do dó, cần phải khai thác thêm các dạng toán phức tạp để tạo cơ hội cho học sinh tư duy sáng tạo khi học phần này Từ đó giúp các
em học tốt chương trình đại số sau này
Trang 2II Mục đích của đề tài.
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh lớp 7 nắm chắc, đào sâu kiến thức về phần đa thức thông qua việc:
+ Rèn luyện cho học sinh tư duy độc lập, sáng tạo
+ Học sinh biết cách suy luận, lập luận đúng để tìm tòi dự đoán và phát hiện vấn đề
+ Học sinh biết tìm ra nhiều lời giải, chọn lời giải hợp lý, khoa học
Nội dung chính:
1 Một số ví dụ:
Xuất phát từ bài tập ở SGK:
Ví dụ 1: Cho các đa thức
A(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 2 B(x) = x3 + 4x2 + 8x + 5 Chứng tỏ rằng: a) x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x)
b) x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x)
- Học sinh dễ dàng chỉ ra được:
A(1) = 3.13 - 5.12+ 4.1 - 2 = 3 - 5 + 4 - 2 = 0 B(-1) = (-1)3 + 4 (-1)2 + 8(-1) + 5 = -1 + 4 - 8 + 5 = 0
Từ đó kết luận
x = 1 là một nghiệm của đa thức A(x)
x = -1 là một nghiệm của đa thức B(x) Qua ví dụ này giáo viên có thể nêu câu hỏi gợi mở để học sinh dự đoán, nhận xét về hệ số các hạng tử của đa thức và đưa ra bài toán mới:
Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d
Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c + d = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
b) Nếu a + c = b + d thì x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Với bài toán này cần sử dụng định nghĩa nghiệm của một đa thức:
Trang 3"x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0"
a) x = 1 là một nghiệm của f(x) f(1) = 0
Thật vậy, f(1) = a.13 + b.12 + c.1 + d
f(1) = a + b + c + d
mà a + b + c + d = 0 (theo gt) f(1) = 0
b) x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) f(-1) = 0
Thật vậy, f(-1) = a.(-1)3 + b.(-1)2 + c.(-1) + d
f(-1) = -a + b - c + d (1)
mà a + c = b + d (gt) -a - c + b + d = 0 (2)
Từ (1) và (2) f(-1) = 0
Qua bài toán này, giáo viên có thể tổng quát:
" x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0"
" x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi tổng các hệ số của các hạng tử có luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử có luỹ thừa bậc lẻ (xem hạng tử tự do là hệ số của x0)"
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của các đa thức:
M(x) = x2 + 3x + 2 N(x) = x2 - 4x + 3 Học sinh dễ dàng nhẩm được x = -1 là một nghiệm của đa thức M(x)
(Vì…….1 + 2 = 3) Vấn đề đặt ra là tìm các nghiệm còn lại của đa thức là như thế nào ?
Giáo viên cần gợi ý để học sinh hiểu được nếu x = a là nghiệm của f(x) f(x) = (x - a).g(x) Từ đó, học sinh tìm ra cách giải:
a) Ta có M(x) = x2 + 3x +2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2.(x + 1)
= (x + 1) (x + 2) M(x) = 0 (x + 1) (x + 2) = 0
x + 1 = 0 x = -1
x + 2 = 0 x = -1
Trang 4Vậy, x = -1, x = -2 là nghiệm của đa thức M(x)
b) Ta có: N(x) = x2 - 4x + 3 = x2 - x - 3x + 3 = x(x - 1) - 3(x - 1)
= (x - 1)(x - 3) N(x) = 0 (x - 1)(x - 3) = 0
x - 1 = 0 x = 1
x - 3 = 0 x = 3 Vậy x = 1, x = 3 là nghiệm của đa thức N(x)
Qua ví dụ này, giáo viên gợi mở để học sinh nhận xét được:
" Một đa thức với hệ số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 thì moị nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) là ước của hạng tử tự do"
Ví dụ 4:
Chứng tỏ rằng đa thức: P(x) = x2- 4x + 3 chia hết cho đa thức Q(x) = x - 3
Cách 1: Sử dụng phép biến đổi ở mục b ví dụ 3:
P(x) = (x- 1) (x - 3) Học sinh đễ dàng chỉ ra được đa thức Q(x) là ước của đa thức P(x)
Qua đó, giáo viên có thể gợi mở để học sinh hiểu được P(x) chia hết cho Q(x) khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của Q(x) cũng là nghiệm của P(x)
Ta có cách giải 2: Q(x) = 0 x - 3 = 0 x = 3
Với x = 3, ta có: P(3) = 32 - 4.3 + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Vậy đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Ví dụ 5: Chứng tỏ rằng biểu thức:
x3 + 6x2 + 3x - 10
M =
x2 + x - 2 nguyên ( Bài toán này chưa đề cập đến điều kiện có nghĩa của biểu thức)
Dễ thấy M nguyên đa thức x2 + x - 2 là ước của đa thức x3 + 6x2 +3x - 10
Do đó, ta có cách giải sau:
Đặt f(x) = x3 + 6x2 + 3x - 10
Trang 5g(x) = x2 + x - 2 g(x) = 0 x2 + x - 2 = 0
(x - 1) (x + 2) = 0 x = 1 hoÆc x = 2 Víi x = 1, ta cã: f(1) = 13 + 6.12 + 3.1 - 10 = 0
Víi x = -2, ta cã: f(-2) = (-2)3 + 6(-2)2 + 3 (-2) - 10 = 0
Do mäi nghiÖm cña g(x) còng lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x)
Suy ra: f(x) chia hÕt cho g(x)
x3 + 6x2 + 3x - 10 VËy: M =
x2 + x - 2 nguyªn
VÝ dô 6: T×m gi¸ trÞ cña m vµ n, sao cho:
2x4 - 3x3 + 7x2 - (m + 1)x - n - 1
Q =
x2 - 5x + 6 nguyªn VËn dông c¸ch gi¶i vÝ dô 5, häc sinh gi¶i nh sau:
§Æt M(x) = 2x4 - 3x3 + 7x2 -(m + 1)x - n - 1
N(x) = x2 - 5x + 6
N(x) = 0 x2 - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0 x = 2 hoÆc x = 3
Q nguyªn M(x) chia hÕt cho N(x)
M(2) = 0
M(3) = 0 2.24 - 3.23 + 7.22 -(m + 1).2 - n - 1 = 0 2.34 - 3.33 + 7.32 - (m + 1).3 - n - 1 = 0
33 - 2m - n = 0 (1)
130 - 3m - n = 0 (2)
Tõ (1) suy ra: n = 33 - 2m, thay vµo (2) ta cã:
Trang 6130 - 3m - (33 - 2m) = 0 m = 97
Thay m = 97 vào n = 33 - 2m ta được: n = -161
Vậy với m = 97 và n = -161 thì biểu thức Q nguyên
Ví dụ 7: Tim nghiệm nguyên của đa thức:
f(x,y) = (x - y) (x + y) - 5 Học sinh đã được làm quen với cách tìm a, b nguyên, biết a b = k
(kz) đã được học ở lớp 6
Nếu k = 0 a = 0 hoặc b = 0
Nếu k 0; viết k = ki kj (ki, kj là ước của k), đưa về:
a = kj a = ki
b = ki b = kj
Từ đó đưa ra cách giải cho bài tập ở ví dụ 7
f(x,y) = 0 (x - y) (x + y) - 5 = 0
(x - y) (x + y) = 5 (1)
Ta có: 5 = 1.5 = (-1).(-5)
x - y = 5
x + y = 1
x - y = 1
x + y = 5
x - y = -1
x + y = -5
x - y = -5
x + y = -1 Vậy đa thức f(x,y) có nghiệm nguyên là:
(x = 3; y = -2); (x = 3; y = 2); (x = -3; y = 2); (x = -3; y = -2)
Ví dụ 8: Tìm nguyện nguyên của đa thức:
g(x,y) = 3x2 + 5xy + 2y2 + 7
Hoặc
(1)
x = 3; y = -2
x = 3; y = 2
x = -3; y = 2
x = -3; y = -2
Trang 7Với bài toán dạng này đưa về: 3x2 + 5xy + 2y2 + 7 = 0
3x2 + 5xy + 2y2 = -7
(3x + 2y) (x + y) = -7
Đến đây bài toán giải tương tự như ví dụ 7
* Một số bài toán cần lưu ý thêm:
1 Chứng tỏ rằng đa thức: f(x) có ít nhất hai nghiệm, biết rằng:
xf(x + 1) = (x + 2)f(x)
2 Tìm nghiệm của đa thức:
f(x) = 4x2 + 4x + 1 (đề thi khảo sát học sinh khá, giỏi)
3 Cho các đa thức:
f(x) = x3 - 7x2 - 9x + 8 g(x) = ax + b
h(x) = x2 + x - 1 a) Tìm a, b để f(x) = g(x) h(x)
b) Có tồn tại a và b để f(x) = g(x) (x - 1) không ?
4 Tìm giá trị lớn nhất, (bé nhất)