Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England.[r]
Trang 1Hướng dẫn học
thảo luận trên diễn đàn
1 Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, phần I: Đại số tuyến tính, NXB Đại
học KTQD, 2012
2 Bộ môn toán cơ bản, 2009, Bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB
Thống kê
3 Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, 2008, Toán cao cấp 1, NXB
Giáo dục
4 Alpha C.Chiang, 1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc
5 Michael Hoy, John Livernois, Chris Mc Kenna, Ray Rees, Thanasis Stengo S,
2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England
qua email
Nội dung
Mục tiêu
Phương pháp ma trận nghịch đảo và phương pháp Cramer
BÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Trang 2T ình huống dẫn nhập
Tính doanh thu của một cửa hàng
Một cửa hàng gạo chuyên kinh doanh ba mặt hàng: gạo Bắc Hương, gạo Tám Điện Biên và gạo
Tám Thái Lan với giá tương ứng là 18.000 đồng/1kg; 20.000 đồng/1kg và 19.000 đồng/1kg
Trong 3 tháng đầu năm, cửa hàng bán được số lượng cụ thể như sau:
Đơn vị: kg
Tháng Loại gạo
Bắc Hương 345 340 350
Hãy sử dụng ma trận, tính doanh thu của cửa hàng trong từng tháng
Trang 35.1 Phép nhân ma trận với ma trận
5.1.1 Định nghĩa phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận:
Trong đó ma trận A có số cột bằng số dòng của ma trận B
Định nghĩa: Tích của ma trận A và ma trận B là một ma trận cấp m×p, ký hiệu là AB
và được xác định như sau
AB =
Trong đó:
cij = ailblj + ai2b2j + … + ainbnj
(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p)
Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa trên bạn cần lưu ý mấy điểm sau đây:
Tồn tại tích AB khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (ma trận B);
Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng số dòng của ma trận
A và số cột bằng số cột của ma trận B
tích của dòng thứ i của ma trận A với cột thứ j của ma trận B theo quy tắc nhân một dòng với một cột như sau:
1 2
n
y y
y
Ví dụ 1: Cho 2 ma trận
Trong trường hợp này tích AB có nghĩa vì số cột của A và số dòng của B cùng 3, nhưng tích BA không có nghĩa vì số cột của B (ma trận đứng trước) bằng 4, trong khi
Trang 4Ma trận AB là một ma trận cấp 3×4:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB ta lấy dòng thứ nhất của A nhân lần lượt với các cột của B theo quy tắc nhân một dòng với một cột:
11
0
5
12
2
1
13
5
4
14
1
1
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A nhân lần lượt với các cột của B:
21 22 23 24
c = 2.0 + 5.1 + 4.( 5) = 15
c = 2.2 + 5.3 + 4.( 1) = 15
c = 2.( 5) + 5.0 + 4.4 = 6
c = 2.1 + 5.( 1) + 4.1 = 1
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ ba của AB ta lấy dòng thứ ba của A nhân lần lượt với các cột của B
31 32 33 34
c = ( 1).0 + 0.1 + ( 3).( 5) = 15
c = ( 1).2 + 0.3 + ( 3).( 1) = 1
c = ( 1).( 5) + 0.0 + ( 3).4 = 7
c = ( 1).1 + 0.( 1) + ( 3).1= 4
Kết quả là:
Trang 5Ví dụ 2: Cho 2 ma trận:
Hai ma trận đã cho là hai ma trận vuông cấp 3 Theo quy tắc nhân ma trận thì AB và
BA cũng có nghĩa và cả hai tích đó đều là ma trận vuông cấp 3 Bạn hãy tự tính toán các phần tử của các ma trận tích và đối chiếu với các kết quả sau đây:
và tích của hai ma trận vuông cấp n là một ma trận vuông cấp n Tuy nhiên, ngay cả trong phạm vi các ma trân vuông cùng cấp phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán (ví dụ trên là một trường hợp AB ≠ BA)
5.1.2 Các tính chất cơ bản của phép nhân hai ma trận
Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây Chúng tôi bỏ qua phần chứng minh Bạn cần đọc kỹ để hiểu chính xác nội dung của các tính chất đó
(1) Tính chất kết hợp:
(AB)C = A(BC) Trong đó A, B, C là ba ma trận bất kỳ thỏa mãn điều kiện: số cột của A bằng số dòng của B và số cột B bằng số dòng của C Do phép nhân có tính chất kết hợp, khi viết tích của ba hoặc nhiều ma trận ta có thể bỏ các dấu ngoặc
(2) Tính chất phân phối của phép nhân hai ma trận đối với phép cộng:
A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD Trong đó B và C là hai ma trận cùng cấp có số dòng bằng số cột của ma trận A và
số cột bằng số dòng của ma trận D
(3) Với A, B là hai ma trận sao cho tích AB có nghĩa và α là một số bất kỳ ta luôn có:
α(AB) = (αA)B = A(αB) Tính chất này cho ta một quy tắc: Khi nhân một số với tích của hai ma trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận đó
(4) Tính chất nhân với ma trận đơn vị
AE = A, EB = B Đặc biệt, trong tập hợp các ma trận vuông cùng cấp ta luôn có:
AE = EA = A (5) Ma trận chuyển vị của ma trận AB (khi tích AB có nghĩa) bằng tích của ma trận chuyển vị của B với ma trận chuyển vị của A:
(AB)’ = B’A’
(6) Định thức của tích các ma trận vuông cùng cấp bằng tích các định thức của chúng:
Trang 6Chú ý:
Tính chất thứ sáu có thể mở rộng cho tích của một số hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp:
A A A = A A A Đối với ma trận vuông, ta có thể sử dụng ký hiệu lũy thừa nguyên dương như sau:
Từ tính chất 6 suy ra:
n n
A = A
5.2 Ma trận nghịch đảo
5.2.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Như ta đã biết, trong tập hợp tất cả các số thực số 1 giữ vai trò phần tử trung hòa của phép nhân (a.1 = a, a R) và được gọi là số đơn vị Trong tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng cấp, ma trận đơn vị E cũng có vai trò tương tự:
AE = EA = A
tương tự
Định nghĩa: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:
AX = XA = E Chú ý rằng khái niệm ma trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông
Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có một ma trận nghịch đảo duy nhất
Thật vậy, giả sử X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là:
AX = XA = E và AY = YA = E Khi đó ta có:
X(AY) = XE = X và (XA)Y = EY = Y
Do phép nhân ma trận có tính chất kết hợp nên từ hai đẳng thức này suy ra X = Y Như vậy, nếu ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo thì ma trận nghịch đảo của nó
A Theo định nghĩa ta có:
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì ta còn nói A là ma trận không suy biến
5.2.2 Ma trận phụ hợp của ma trận vuông
Trước khi đề cập đến điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo ta đưa vào khái niệm sau:
Định nghĩa: Ma trận phụ hợp của một ma trận vuông cấp n
Trang 711 12 1n
A=
ij n x n
(5.1)
cả các phần tử aij và xếp Aij vào dòng j, cột i của A*
Ví dụ: Lập ma trận phụ hợp của ma trận
Giải: Trước hết ta tính phần bù đại số của tất các các phần tử
Ma trận phụ hợp của ma trận A là:
11 21 31
*
12 22 32
13 23 33
Giữa ma trận vuông A và ma trận phụ hợp của nó có mối liên hệ với nhau thể hiện ở định lý sau:
Định lý: Tích của một ma trận vuông A bất kỳ với ma trận phụ hợp A* của nó bằng tích của ma trận đơn vị E với định thức của ma trận A:
d 0 0
0 d 0
0 0 d
(5.2)