Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 2: Ứng suất và biến dạng tải trọng dọc trục

Định luật Húc tổng quát • Xét phân tố của vật thể chịu nhiều tải trọng vuông góc, các thành phần biến dạng dài do ứng suất pháp gây ra có thể được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tá[r]

2 Ứng suất và Biến

dạng – Tải trọng dọc trục

Định luật Hooke tổng quát

Sự giãn nở: Mô đun đàn hồi khốiBiến dạng trượt

Ví dụ 2.10Mối liên hệ giữa E, n, và GBài tập ví dụ 2.5

Vật liệu CompositeNguyên lý Saint-VenantTập trung ứng suất: LỗTập trung ứng suất: Góc lượn

Ví dụ 2.12Vật liệu đàn dẻoBiến dạng dẻoỨng suất dư

Ứng suất & Biến dạng: Tải trọng dọc trục

• Việc thiết kế máy hoặc kết cấu cần phải quan tâm đến biến dạng và ứng suất sinh ra khi chúng chịu tác dụng của tải trọng Vấn đề này chưa được quan tâm trong các bài toán tĩnh học

• Coi các kết cấu là các vật rắn biến dạng cho phép xác định được các lực

và phản lực trong các bài toán siêu tĩnh.

• Để xác định sự phân bố ứng suất trong một bộ phận kết cấu thì phải

quan tâm đến các biến dạng của nó

• Chương này đề cập đến biến dạng của một bộ phận kết cấu chịu tác dụng bởi tải trọng dọc trục Những chương tiếp theo sẽ giải quyết các bài toán xoắn và uốn thuần túy

Biến dạng dọc

A

P A

  



  

Ứng suấtBiến dạng

Hình 2.1 Thanh chịu kéo

Thí nghiệm xác định quan hệ Ứng suất-Biến dạng

Hình 2.2 Máy thí nghiệm kéo Hình 2.3 Mẫu thí nghiệm kéo

Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dẻo

Hình 2.4 Đồ thị ứng suất-biến dạng của

2 vật liệu dẻo điển hình

Đồ thị Ứng suất-Biến dạng: Vật liệu dòn

Hình 2.5 Đồ thị ứng suất-biến dạng của

vật liệu dòn điển hình

Định luật Hooke (Húc): Mô đun đàn hồi

• Giai đoạn đàn hồi (phía dưới ứng suất chảy)

E

  

E = Mô đun đàn hồi

• Độ bền bị ảnh hưởng bởi việc hợp kim hóa, xử lí nhiệt, quá trình sản xuất nhưng độ cứng (Mô đun đàn hồi) thì không

Hình 2.6 Đồ thị ứng suất-biến dạng

của sắt và các loại thép khác nhau

Ứng xử Đàn hồi và Dẻo

• Nếu biến dạng biến mất khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu

làm việc trong miền đàn hồi

• Nếu biến dạng không trở về vị trí ban đầu sau khi thôi tác dụng lực, thì ta nói vật liệu làm

việc trong miền dẻo.

• Giá trị ứng suất lớn nhất tương ứng với giai đoạn đàn hồi được

gọi là giới hạn đàn hồi.

Hình 2.7 Quan hệ ứng suất-biến dạng của

vật liệu dẻo chịu tải vượt quá giới hạn

chảy sau đó nhả tải

• Đặc tính mỏi của vật liệu được biểu diễn trên đồ thị Ứng suất-số chu kỳ nghịch đảo

• Khi ứng suất được giảm xuống dưới giới hạn bền mỏi, thì phá hỏng do mỏi sẽ không xảy ra với bất kỳ số chu kỳ nào

• Một chi tiết có thể bị phá hỏng ở giá trị ứng suất khá thấp so với giới hạn bền khi nó chịu tải trọng theo chu kỳ Khi đó ta nói chi tiết

bị phá hỏng do mỏi

Hình 2.8 Các đường cong -n điển hình

Biến dạng khi kéo nén

AE

P E

E A

L P



Hình 2.9 Biến dạng của

thanh chịu tải trọng dọc trục

07 1

psi 10

LỜI GIẢI:

• Chia thanh thành 3 đoạn:

2 2

1

2

1

in 9 0

3

in 3 0

• Áp dụng các phương trình cân bằng tĩnh học cho mỗi đoạn để xác định các nội lực,

lb 10 30

lb 10 15

lb 10 60

3 3

3 2

3 1

• Tính chuyển vị tổng,

     

in.

10 9 75

3 0

16 10 30 9

0

12 10 15 9

0

12 10 60 10

29 1

1

3

3 3

3 6

3

3 3 2

2 2 1

1 1

L P A

L P E E

A

L P

i i i

i i



in.

10 9

75  3





Bài tập ví dụ 2.1

Thanh tuyệt đối cứng BDE được treo bởi 2

thanh AB và CD và chịu tác dụng bởi 1 lực

• Xác định biến dạng của các thanh

AB và DC hoặc chuyển vị của các

điểm B và D.

• Xét tương quan hình học để tìm chuyển vị tại E theo các chuyển vị tại B và D

Chuyển vị của điểm B:

   

m 10 514

Pa 10 70 m

10 500

m 3 0 N 10 60

6

9 2

6 - 3

Pa 10 200 m

10 600

m 4 0 N 10 90

6

9 2

6 - 3

F F

Chuyển vị của điểm D:

mm 7 73

mm 200 mm

0.300

mm 514 0

BH D

D

B B

mm 7 73

mm 7 73 400 mm

300 0

D

E E





Bài tập ví dụ 2.1

Bài toán siêu tĩnh

• Các kết cấu chịu lực trong đó các nội lực và phản lực liên kết không thể xác định được từ các

phương trình cân bằng tĩnh học đơn thuần được

gọi là siêu tĩnh.

0

TT LK

     

• Các biến dạng do tải trọng và liên kết thừa gây ra

được xác định theo nguyên lý độc lập cộng tác

dụng.

• Các liên kết thừa được thay thế bằng các phản lực liên kết chưa biết, các phản lực này cùng với các tải trọng phải gây ra các biến dạng phù hợp

• Một kết cấu được gọi là siêu tĩnh khi nó có số liên kết nhiều hơn số liên kết cần thiết để giữ

nó cân bằng

Ví dụ 2.04

Xác định các phản lực liên kết tại A và B cho

thanh thép chịu tải như hình vẽ, giả thiết rằng không có khe hở tại các gối trước khi tác dụng lực

• Xác định phản lực tại A do tải trọng và phản lực

• Điều kiện là chuyển vị do tải trọng và phản lực liên kết thừa gây ra phải phù hợp, tức là tổng chuyển vị của chúng phải bằng 0

• Tìm chuyển vị tại B do phản lực liên kết thừa tại

đó gây nên

HƯỚNG GIẢI:

• Coi liên kết tại B là thừa, giải phóng liên kết tại

đó và giải tìm chuyển vị tại B do tải trọng gây

ra

0.150 m1.125 10

• Lưu ý rằng các chuyển vị do tải trọng và liên kết thừa gây

kN 577 kN

600 kN

300 0



A

A y

R

R F

kN 577

kN 323

Ví dụ 2.04

Ứng suất nhiệt

• Nhiệt độ thay đổi sẽ gây ra sự thay đổi chiều dài hoặc

biến dạng nhiệt Sẽ không có ứng suất sinh ra do

biến dạng nhiệt nếu độ dãn dài không bị khống chế bởi các gối

T

P T

P

T AE

P

P T

Định luật Húc tổng quát

• Xét phân tố của vật thể chịu nhiều tải trọng vuông góc, các thành phần biến dạng dài do ứng suất pháp gây ra có thể được xác định theo

nguyên lý độc lập cộng tác dụng Để thực hiện được điều này, cần phải có các giả thuyết:

1) biến dạng tuyến tính với ứng suất2) các biến dạng là nhỏ

E E

E

E E

E

E E

E

z y

x z

z y

x y

z y

x x

n

n



n

n

Sự gión nở: Mụ đun khối

• Xột phõn tố hỡnh hộp, khi bị biến dạng thỡ sự thay đổi thể tớch so với ban đầu sẽ là:

 sự giãn nở thay đổi thể tích trê n một đơn vị thể tích

• Đối với phõn tố chịu ỏp lực thủy tĩnh đều, cú

Biến dạng trượt

• Phân tố hình hộp khi chịu ứng suất tiếp sẽ chỉ bị biến

dạng góc Biến dạng trượt là sự thay đổi góc giữa

các mặt bên và phụ thuộc vào ứng suất tiếp

zx zx

yz yz

Ví dụ 2.10

Một khối hộp chữ nhật có mô đun đàn

hồi trượt G = 90 ksi được ghép với 2 tấm

tuyệt đối cứng nằm ngang Tấm bên dưới

được giữ cố định, tấm bên trên chịu tác

dụng bởi lực ngang P Biết rằng sau khi

chịu lực tấm trên di chuyển được 1 lượng

• Sử dụng định nghĩa ứng suất để tìm

lực P.

• Áp dụng định luật Húc cho ứng suất tiếp và biến dạng trượt để tìm ứng suất tiếp tương ứng

• Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến dạng trượt của khối.

rad 020 0 in.

2

in.

04 0



P

Mối liên hệ giữa E, n , và G

• Một thanh chịu kéo dọc trục sẽ bị giãn theo phương dọc trục và bị co lại theo phương vuông góc

• Một phân tố hình lập phương được định hướng như ở hình trên sẽ biến dạng thành hình hộp chữ nhật Tải trọng dọc trục gây

ra biến dạng dọc

a) độ dài của đường kính AB, b) độ dài của đường kính CD,

c) bề dày của tấm, và d) thể tích của tấm

10 067 1

in./in.

10 533 0

ksi 20 3

1 0 ksi

12 psi 10 10

1

3 3

3 6

E

E E

E

E E

E

z y

x z

z y

x y

z y

x x

 n

n



n

 n

4  3





A B



in 10 4

14  3





D C



in.

10 800

in 75 0 15 15 10

067 1

/in in 10 067 1

e x y z

Vật liệu Composite

• Vật liệu composite cốt sợi được tạo thành từ lớp

mỏng các sợi graphite, thủy tinh, hoặc polymer được kết hợp lại với nhau bởi chất kết dính

x

z xz

x

y

n

• Các vật liệu có các thuộc tính cơ học phụ thuộc hướng

được gọi là dị hướng.

Nguyên lý Saint-Venant

• Tải trọng được truyền qua các tấm tuyệt đối cứng sẽ tạo ra sự phân bố đều ứng suất và biến dạng

• Nguyên lý Saint-Venant:

Sự phân bố ứng suất có thể được coi như không phụ thuộc vào dạng tải trọng tác dụng ngoại trừ vùng lân cận với điểm tác dụng lực

• Sự phân bố ứng suất và biến dạng của các điểm trên mặt cắt sẽ dần đều tại một khoảng cách tương đối gần tính từ vì trí đặt lực

• Tải trọng tập trung gây ra ứng suất lớn

ở vùng lân cận của điểm đặt lực

Tập trung ứng suất: Lỗ

Sự gián đoạn của mặt cắt ngang có thể dẫn đến

các ứng suất cục bộ lớn hoặc các ứng suất tập

Tập trung ứng suất: Góc lượn

Các thanh dẹt có góc lượn

Ví dụ 2.12

Xác định tải trọng cho phép tác

dụng lên một thanh thép dẹt Biết

thanh gồm có 2 phần đều có bề dày

• Xác định các tỉ số hình học và tìm hệ

số tập trung ứng suất từ hình 2.64b.

82 1

20 0 mm 40

mm 8 50

1 mm 40

mm 60

D

• Sử dụng ứng suất cho phép của vật liệu và hệ số tập trung ứng suất để xác định ứng suất trung bình cho phép

max tb

165 MPa

90.7 MPa 1.82

K



• Áp dụng định nghĩa về ứng suất pháp để tìm tải trọng cho phép

3

40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 10 N

tb

P   A

 

Các thanh dẹt có góc lượn

Vật liệu đàn dẻo (Elastoplastic)

• Trong miền đàn hồi thì quan hệ ứng biến dạng là tuyến tính, tức là ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy với vật liệu dẻo; còn với vật liệu dòn thì chỉ có miền đàn hồi vì nó bị phá hỏng mà không có giai đoạn chảy

suất-• Nếu ứng suất trong vật liệu dẻo vượt quá giới hạn chảy, thì biến dạng dẻo sẽ xảy ra

• Phân tích các biến dạng dẻo được đơn

giản hóa bằng giả thiết một vật liệu đàn

• Khi tải trọng tăng, vùng đàn hồi sẽ

mở rộng cho đến khi mặt cắt có ứng suất phân bố đều và bằng với ứng suất chảy

Y

Y U

P K

A P



 

Ứng suất dư

• Khi một phần tử chịu tải trọng không đổi vượt quá giới hạn chảy của nó và sau đó nhả tải, thì sẽ xuất hiện biến dạng dư (không trở về 0) mặc dù ứng suất đã trở về 0 Đây không phải là kết quả tổng quát

• Ứng suất dư cũng được sinh ra khi các kết cấu bị nóng hoặc lạnh thất thường

• Ứng suất dư sẽ duy trì trong kết cấu sau khi chất tải và

dỡ tải nếu

- Chỉ một phần của kết cấu chịu biến dạng dẻo

- Các phần khác của kết cấu chịu các biến dạng dẻo khác

Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16

Thanh hình trụ được đặt bên trong một

ống có cùng chiều dài Một đầu của

thanh và ống được ngàm chặt còn đầu

kia được gắn với một đĩa tuyệt đối

cứng Tải trọng tác dụng lên thanh-ống

được tăng từ 0 đến 5.7 kips và lại giảm

psi 10 30

in.

075 0

,

6 2

σ E A

ksi 45

psi 10 15

in.

100 0

,

6 2

σ E A

a) Vẽ đồ thị lực-biến dạng cho tổ hợp thanh-ống

in 10 36 in.

30 psi 10 30

psi 10 36

kips 7 2 in

075 0 ksi 36

3 - 6

3

,

, ,

2 ,

A P

r Y

r Y r

Y Y,r

r r Y r

30 psi 10 15

psi 10 45

kips 5 4 in

100 0 ksi 45

3 - 6

3

,

, ,

2 ,

A P

t Y

t Y t

Y Y,t

t t Y t

t

P P

b,c) determine the maximum elongation and permanent set

• Với tải trọng P = 5.7 kips, thì thanh đã đạt tới miền

dẻo trong khi ống vẫn ở miền đàn hồi

in.

30 psi 10 15

psi 10 30

ksi

30 in

0.1

kips 0 3

kips 0 3 kips 7

2 7 5

kips 7 2

6

3 t

2 t

A P

P P P

P P

t

t t

t t

r t

r Y r

kips 125

kips 7 5

slope in.

kips

125 in.

10 36

kips 5 4

3 max

3 -

Ví dụ 2.14, 2.15, 2.16

• Tính toán ứng suất dư trong thanh và ống.

Xác định ứng suất ngược trong thanh và ống gây ra bởi việc dỡ tải và cộng chúng vào ứng suất lớn nhất

6 45 36

ksi 8 22 psi

10 15 10

52 1

ksi 6 45 psi

10 30 10

52 1

in.

in.

10 52 1 in.

30

in.

10 6 45

, ,

6 3

6 3

3 3

residual

r r

r residual

t t

r r

.

E E L