Bài giảng Toán tài chính - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng

Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ... HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG.[r]

Đ ẠO HÀM VÀ

ỨNG DỤNG

CHƯƠNG

2

CHƯƠNG 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm

2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân 2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị

2.4 Ứng dụng kinh tế

2.5 Độ cong và ứng dụng

2.6 Hệ số co dãn

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG THẲNG

Phương trình tổng quát:

Dạng đặc biệt:

Với a, b là???

2 1

2 1

tan

y y y a

x x x 

Gọi a là hệ số góc của đường thẳng D

NHẬN XÉT

• Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị

• Đường thẳng D như thế nào nếu:

• a>0

• a<0

• a=0

• a=∞

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Tiếp tuyến và cát tuyến của đường tròn

Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG

Hệ số góc cát tuyến

2 1

2 1

f a h f a

y y

k

f a h f a

k

h

 



 



VÍ DỤ 1

Cho hàm số y=x2

a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1 Vẽ đồ thị f(x) và hai cát tuyến trên

b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h khác 0 bất kỳ

c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ý nghĩa

HỆ SỐ GÓC ĐƯỜNG CONG

Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG CONG

Định nghĩa Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm

số tại điểm (a, f(a)) được xác định bởi:

(nếu giới hạn này tồn tại)

Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số chỉnh là

đường thẳng đi qua điểm (a, f(a)) với hệ số góc cho bởi công thức trên.

0

lim

h

f a h f a

h



 

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x), đạo hàm của hàm số tại x định nghĩa như sau:

(nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn).

Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a,b) thì

ta nói hàm số khả vi trên (a,b)

Nếu giới hạn không tồn tại thì hàm số không có đạo hàm hay không khả vi.

0

h

h

®

-=

VÍ DỤ 2

Tìm đạo hàm của hàm:

tại x=2 theo định nghĩa.

Ta xét giới hạn sau:

Vậy:

( ) 2

-( )

0

lim

h

h

®

-VÍ DỤ 3.

Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t tháng được cho bởi công thức sau:

a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)

b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng

S t  t 

VÍ DỤ 4.

Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố định Chi phí sản xuất x (mét) vải là:

A) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f’(x)

B) Trong thực tế, khi nói f’(1000)=9 ta biết điều gì?

VÍ DỤ 5.

Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t Bảng dưới đây cho ta con số xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm 2000 Giải thích và ước lượng giá trị của D’(1990)

T 1980 1985 1990 1995 2000 D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2

ĐẠO HÀM PHẢI – TRÁI

Đạo hàm trái của f(x) tại a là:

Đạo hàm phải của f(x) tại a là:

0

0

+

-ĐỊNH LÝ

Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm a khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái; đạo hàm phải tại a và hai đạo hàm này bằng nhau.

Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì hàm số liên tục tại a Chiều ngược lại có thể không đúng.

f a = L Û f a - = f a + = L

x a

®

VÍ DỤ 6

Cho hàm số:

Tìm

Ta có:

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại 0

( )

1/

x

f x

x

ïï

= í

ïïî

( ) ( )

' 0 ; ' 0

1/

1/

h

u h

u

f

f

-+

® + ¥

HÀM SỐ ĐẠO HÀM

Với a cố định ta có:

Thay a bằng x ta có:

Với mỗi giá trị khác nhau của x ta tính được f’(x) nếu giới hạn tồn tại hữu hạn Như vậy giá trị của f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên có thể xem f’ là một hàm theo x và gọi là đạo hàm của hàm f

h

f a

h

®

-=

h

h

®

-=

HÀM SỐ ĐẠO HÀM

Hàm số đạo hàm của hàm y=f(x).

Ký hiệu:

Tập xác định của hàm f’ là tập các giá trị của x sao cho f’(x) tồn tại Nó có thể nhỏ hơn TXĐ của hàm số f(x).

( ) '; '; df ; dy ; d

VÍ DỤ 7

Tìm hàm số đạo hàm của hàm y=x2

Ta có:

Giới hạn này tồn tại hữu hạn với mọi x thuộc TXĐ

Vậy đạo hàm của hàm số:

x

' 2