Bài giảng Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

[r]

BÀI 3: MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI

XÁC SUẤT QUAN TRỌNG

Các kiến thức cần có

Mục tiêu

Các quy luật phân phối xác suất

chủ yếu của biến ngẫu nhiên

thường gặp trên thực tế là nội

dung chính của bài 3 Các quy

luật phân phối xác suất và các

tham số của chúng là cơ sở đặt

nền móng cho phần Thống kê

toán của môn học

Thời lượng

• 8 tiết

• Quy luật phân phối không − một A(p);

• Khái niệm;

• Các tham số đặc trưng;

• Quy luật phân phối nhị thức B(n, p);

• Khái niệm;

• Các tham số đặc trưng;

• Quy luật phân phối Poisson;

• Khái niệm;

• Các tham số đặc trưng;F n , n( 1 2)

• Quy luật phân phối đều U [a, b];

• Khái niệm;

• Các tham số đặc trưng;

• Quy luật phân phối chuẩnN ,(μ σ ; 2)

• Khái niệm;

• Các tham số đặc trưng;

• Phân phối chuẩn tắc;

• Công thức xác suất đối với biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn;

• Giá trị tới hạn chuẩn tắc;

• Quy luật phân phối Khi − bình phươngχ2(n);

• Quy luật phân phối Student T(n);

• Quy luật phân phối Fisher − Snedecor F (n1, n2);

• Quy luật phân phối lũy thừa

TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI

Tình huống

Siêu thị Metro nhận thấy thời gian này số lượng khách hàng phải đợi ở quầy để chờ được thanh toán là quá lâu Siêu thị quyết định cần thêm số quầy phục vụ Số lượng quầy phục vụ sau khi nâng cấp là bao nhiêu thì hợp lý?

Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách là 3 phút Điều tra trong 100 giờ Đếm số khách hàng đến quầy phục vụ trong vòng môt giờ:

Số

Câu hỏi

1 Biểu diễn bảng phân phối xác suất giữa tiền lãi bảo hiểm và khả năng nhận được lãi?

2. Số tiền lãi trung bình là bao nhiêu?

3 Nếu bán bảo hiểm được cho 10000 khách hàng thì số tiền lãi trung bình thu về được là bao nhiêu?

3.1 Quy luật phân phối không −một A(p)

3.1.1 Khái niệm

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có là 0 hoặc 1 với các xác

suất tương ứng được cho bởi công thức:

( ) x 1 x

P X x= =p q − trong đó 0 p 1< < , q 1 p= − và x 0;1= (3.1)

được gọi là có phân phối theo quy luật 0 − 1 với tham số p, ký hiệu X ~A p( ) Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có phân phối không − một dạng:

X 0 1

P q p

Ví dụ 1:

Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện nghiên cứu là 25% Gọi X là số thí nghiệm thành công khi chọn ngẫu nhiên một cuộc thí nghiệm Khi đó X là biến ngẫu nhiên nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là:

P X 0= = 0, 25 × 0, 75 =0, 75

P X 1= = 0, 25 × 0, 75 =0, 25

Vậy X là biến ngẫu nhiên có phân phối A(0.25)

3.1.2 Các tham số đặc trưng

Cho X ~ A(p), ta có:

( )

E X = × + × =0 q 1 p p (3.2)

( )2 2 2

E X =0 × + × =q 1 p p

V X =E X −⎡⎣E X ⎤⎦ = −p p =pq (3.3)

X pq

Ví dụ 2:

Với biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 1, ta có:

( )

E X 0,25=

( )

V X =0, 25 0, 75 0,1875× = Trên thực tế, quy luật không – một thường được áp dụng để mô tả cho các dấu hiệu định tính có hai thuộc tính/phạm trù Các bài toán đặc trưng có thể Hình 3.1: Biến ngẫu nhiên

là nghiên cứu giới tính của khách hàng trong phân tích chiến lược marketing hoặc

nghiên cứu tỷ lệ chính/phế phẩm trong dây chuyền sản xuất,… Nếu dấu hiệu định

tính có nhiều hơn hai thuộc tính thì có thể sử dụng nhiều biến ngẫu nhiên phân phối không – một trong cùng một nghiên cứu

Kết luận:

Phân bố không − một A(p) là phân bố của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị, được hoàn toàn xác định bởi tham số p, kỳ vọng của nó

3.2 Quy luật phân phối Nhị thức B(n , p)

3.2.1 Khái niệm

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số p, ký hiệu

X ~B n, p( ), nếu X nhận một trong các giá trị 0, 1,

2, , n với xác suất tương ứng cho bởi công thức Bernoulli:

( ) x x n x

p X x= =C p qn − trong đó x 0,1, ,n= và

Ví dụ 1:

Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện nghiên cứu là 25% Tiến hành quan sát 5 cuộc thí nghiệm của viện nghiên cứu Gọi X

là số thí nghiệm thành công trong 5 cuộc thí nghiệm đó Khi đó X nhận các giá trị: 0,

1, 2, 3, 4, 5 với xác suất

5

P X x= =C 0, 25 0, 75 − với x 0,1, ,5=

Vậy X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(5, 0,25)

3.2.2 Các tham số đặc trưng

Xét X (i = 1, 2, … , n) là các biến ngẫu nhiên độc i lập, cùng có phân phối A(p) Lập tổng của các biến ngẫu nhiên đó:

n i

i 1

=

=∑

Khi ấy có thể dễ dàng chứng minh được rằng biến ngẫu nhiên tổng có phân phối nhị

thức, X ~B n, p( ) Áp dụng các tính chất tình chất của phân phối không − một, cụ thể là:

E X =p và V X( )i =pq i 1, 2 , n∀ =

Ta tính ngay được kỳ vọng và phương sai của phân phối nhị thức như sau:

E X E( X ) E(X ) np

V(X) V( X ) V(X ) npq

Mốt của X là giá trị x0sao cho giá trịp(X x )= 0 trong công thức (3.5) đạt cực đại Ta

có thể chỉ ra rằng nếu np – q là một số nguyên thì vế phải của (3.5) đạt cực đại tại hai

giá trị x0 =np q− và x0+ =1 np q 1 (n 1)p− + = + Còn nếu np − q không phải là số nguyên thì vế phải của (3.5) đạt cực đại tại điểm x0 =[(n 1)p]+ , trong đó ký hiệu [t]

dùng để chỉ phần nguyên của số i, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá t

Ví dụ 2:

Với biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 1, ta có:

( )

E X = ×5 0.25 1.25=

( )

V X = ×5 0.25 0.75 0.9375× =

Kết luận:

Phân bố nhị thức B(n,p) là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận (n+1) giá trị, được hoàn toàn xác định bởi hai tham số n, số phép thử, và p, kỳ vọng của nó

3.3 Quy luật phân phối Poisson

3.3.1 Khái niệm

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu

X ~P( )λ , nếu X nhận một trong các giá trị 0,1,2, ,n, với xác suất tương ứng cho bởi công thức:

P X x e

x!

−λ λ

= = với x 0,1, 2, , n, = và λ > (3.8) 0

Phân phối Poisson có ứng dụng trong các quá trình liên quan đến số quan sát với một đơn vị thời gian hoặc không gian, chẳng hạn như số cuộc điện thoại nhận được ở một trạm điện trong một phút, số người xếp hàng chờ thanh toán tại quầy thu tiền của một siêu thị, v.v

3.3.2 Các tham số đặc trưng

Cho biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson X ~P( )λ Lúc đó ta dễ dàng chứng minh được rằng:

E X = λ, V X = λ

Mốt của X (tức là của P( )λ ) là giá trị x0 sao cho giá trị trong công thức (3.8) đạt cực đại Ta có thể chứng minh được rằng nếu λ là một số nguyên thì phân phối P( )λ có hai mốt là λ −1 và λ, còn nếuλ không phải là số nguyên thì mốt của P( )λ là [ ]λ ,

số nguyên lớn nhất không vượt quá λ

Ví dụ 1:

Một trạm cho thuê xe taxi có 3 xe, hàng ngày phải nộp thuế 80 nghìn/xe Mỗi chiếc xe cho thuê được với giá 200 nghìn/ngày Giả sử yêu cầu thuê xe của trạm là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham sốλ =3

a Tính xác suất trong một ngày có 3 khách thuê (lấy e 2,718≅ )

b Tính tiền lãi trung bình trạm thu được trong một ngày

Giải:

a Xác suất để trong một ngày có 3 khách thuê xe là: P X 3( ) e 3 33 0, 2241

3!

− ×

b Gọi Y là tiền lãi trạm thu được trong một ngày, ta xét các trường hợp sau

• Không có xe nào được thuê:

0!

− ×

• Có 1 xe được thuê:

1!

− ×

• Có 2 xe được thuê:

P Y 160 P X 2 0,2241

2!

− ×

• Có 3 xe được thuê:

i 0

P Y 360 P X 3 1 P X i 0,5767

=

Vậy tiền lãi trung bình của trạm trong một ngày là:

( )

E Y = −240 0, 0498 40 0,1494 160 0, 2241 360 0,5767× − × + × + × =225, 54 (nghìn)

Kết luận:

Phân bố Poisson (3.8) là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận vô số giá trị, được hoàn toàn xác định bởi tham số λ, kỳ vọng của nó

CHÚ Ý

Người ta chứng minh được rằng, với n khá lớn và p đủ bé, biến ngẫu nhiên có phân phối nhị

thức B (n, p) hội tụ rất nhanh về

biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson P( )λ với λ =np

3.4 Quy luật phân phối đều U [a; b]

3.4.1 Khái niệm

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu:

X ~U a; b[ ], nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

[ ]

1

x a;b

b a

f x

⎪ −

= ⎨

⎩

f(x)

a - b 1

f(x)

x

Hình 3.2: Hàm mật độ xác suất f(x) và hàm phân phối F(x) của luật phân phối đều

Hàm phân phối của X được xác định bởi giá trị của tích phân sau đây:

x a

b a

−∞

<

⎧

⎪ −

⎪

>

⎪⎩

Ví dụ 1:

Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi cứ 15 phút một chuyến Một hành khách tới biến vào một thời điểm ngẫu nhiên Gọi X là thời gian chờ xe của hành khách đó Khi đó X

có phân bố đều trên khoảng (0; 15)

a Viết hàm phân phối xác suất của X

CHÚ Ý

Trong các máy tính thông dụng đều có trang bị một mô đun phần mềm nhỏ để tạo các số ngẫu nhiên Thông thường các số ngẫu nhiên này có phân bố đều U[0;1] Từ các số ngẫu nhiên này người ta có thể tạo ra các số ngẫu nhiên của nhiều loại phân bố khác

b Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút

Giải:

Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

1

x 0;15 15

f x

0 x 0;15

⎪

= ⎨

⎩

• Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là:

x

15

≤

⎧

⎪⎪

⎪

≥

⎪⎩

• Xác suất để hành khách phải đợi dưới 5 phút là:

< = − −∞ = − = Xác suất để hành khách phải đợi quá 10 phút là:

3 3

> = +∞ − = − =

Ví dụ 2:

Khi thâm nhập thị trường mới, doanh nghiệp chưa thể khẳng định chắc chắn doanh thu hàng tháng là bao nhiêu Với những phân tích dự báo thì con số đó trong khoảng từ 20−40 triệu đồng/tháng Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được tối thiếu là 35 triệu/tháng

Giải:

Gọi X là doanh thu hàng tháng mà doanh nghiệp

có thể đạt ở thị trường mới Do không có thêm thông tin gì nên có thể coi X là biến ngẫu nhiên phân phối đều trên khoảng (20;40) Hàm mật độ xác suất của X có dạng như sau:

0,05 x (20;40)

40 20

∉

⎧

⎪

⎪ −

⎩ Khi đó xác suất để doanh nghiệp có doanh thu tối thiểu hàng tháng là 35 triệu sẽ được tính bằng công thức:

35

P X 35> =∫+∞f x dx=∫ 0,05dx 0,05x= =0,25

3.4.2 Các tham số đặc trưng

Cho X ~ U a; b[ ] khi đó:

E X xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx

b

dx

a

+∞

( )2 2 ( ) a 2 ( ) b 2 ( )

E X x f x dx x f x dx x f x dx

a

+∞

b

b a b a 3 a 3 b a 3 a

−

Từ đó suy ra:

( ) 1( ) a b 2 (b a)2

− +

Kết luận:

Phân bố đều U[a;b] là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nhận mọi giá trị của đoạn thẳng [a;b] và được hoàn toàn xác định bởi hai tham số a và b, hai đầu mút của đoạn thẳng đó

3.5 Quy luật phân phối chuẩn N μ,σ( 2)

3.5.1 Khái niệm

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối theo quy luật chuẩn, ký hiệu X N , (μ σ2), nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

( )

( )2 2

x 2

1

2

− −μ σ

=

Đường cong mật độ có dạng hình chuông (the bell curve), đối xứng qua đường x = μ và nhận Ox làm tiệm cận ngang Đỉnh của hàm mật độ đạt tại:

Hình 3.3: Quy luật phân phối chuẩn

( ) ( ) 1 max f x f

2

= μ =

Hàm phân phối xác suất của X có dạng:

( )

( )2 2

x x 2 1

2

− −μ σ

−∞

=

Đường cong hàm phân phối tiệm cận ngang trái với trục Ox, tiệm cận ngang phải với đường thẳng y = 1, đối xứng tâm qua điểm (µ ; 0,5)

ƒ (x)

F(x)

x 0

0,5

1

m

sÖ p 2

1

Hình 3.4: Hàm mật độ và hàm phân phối của luật phân phối chuẩn X N , (μ σ2)

Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thường gặp rất nhiều trong thực tế, nó đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất và chiếm vị trí trung tâm trong các kết luận thống kê được đề cập đến trong các bài tiếp sau của giáo trình này

3.5.2 Các tham số đặc trưng

Cho X N , (μ σ2), khi đó có thể chứng minh được rằng:

( )

E X =μ và V X( )=σ 2 (3.17) Thật vậy, ta có:

2 2 x 2 1

2

− −μ +∞

σ

−∞

=

σ π ∫

Đặt t=x− μ

σ , ta có x= σ + μ Do vậyt

1

dt= dx

σ và vì thế: