Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương V: Phương trình đối xứng theo sinx, cosx

Cho phöông trình.[r]

CHƯƠNGV

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX

a sin x cos x+ +bsin x cos x c= 1

Cách giải

Đặt =t sin x cos x với điều kiện t+ ≤ 2

Ta có : t2 = +1 2sin x cos x nên 1 thành( )

b

2

2

Giải (2) tìm được t, rồi so với điều kiện t ≤ 2

giải phương trình ⎛⎜ + π⎞⎟=

4 ta tìm được x

Bài 106 : Giải phương trình sin x sin x cos x 0 *+ 2 + 3 = ( )

(*) ⇔sin x 1 sin x( + )+cos x 1 sin x( − 2 )= 0

⇔ 1 sin x+ =0 hay sin x cos x 1 sin x+ − =0

( ) ( )

sin x cos x sin x cos x 0 2

= −

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

( )

2

2

4

π

π

Vậy (2) thành t t2 1 0

2

−

( )

2

⎡ = −

⇔ ⎢

= +

⎢⎣

Do đó ( 2 ) ⇔ 2 cos x 1 2

4

π

π

π

π

] ]

2

2

2

1 1

Bài 107 : Giải phương trình 1 sin x cos x3 3 3sin 2x *( )

2

( )* 1 (sin x cos x 1 sin x cos x)( ) 3sin 2x

2

Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

Với điều kiện t ≤ 2

Thì t2 = +1 2sin x cosx

Vậy (*) thành : 1 t 1 t2 1 3(t2 1)

( )

2

với t = 1 thì sin x 1 sin

π

] ]

3

2

3 2

] ]

3 2

ϕ in 2

Bài 108 :Giải phương trình 2 sin x cos x( + ) = tgx cot gx *+ ( )

Điều kiện sin x 0 sin 2x 0

cos x 0

≠

⎧

⎩ Lúc đó (*) 2 sin x cos x( ) sin x cos x

cos x sin x

2 sin x cos x

+

Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

Thì t2 = +1 2 sin x cos x với t ≤ 2 và t2 ≠1

(*) thành 2t 22

=

−

(Hiển nhiên t = ±1 không là nghiệm)

2

2

⎡ =

⇔ ⎢

⎢⎣

Vậy ( )* ⇔ 2 sin x 2

4

π

π

π

] ]

4

4 Bài 109 : Giải phương trình 3 cot gx cos x( − )−5 tgx sin x( − )= 2 *( )

Với điều kiện sin2x 0≠ , nhân 2 vế phương trình cho sinxcosx≠ 0 thì :

( )* ⇔ 3 cos x 1 sin x2 ( − )−5 sin x 1 cos x2 ( − )= 2 sin x cos x

( ) ( )

⎡

⎢⎣

sin x cos x sin x cos x 0 1

=

⎤⎦

=

( Ghi chú: A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D )

Giải (1) Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

Thì t2 = +1 2sin x cosx với điều kiện : t ≤ 2 và t ≠ ±1

(1) thành : t t2 1 0 t2 2t

2

−

t 1 2 nhận so với điều kiện

⎢

⇔

⎢ = −

⎣

3

( )2 ⇔ tgx = 3 = tgβ ⇔ x= β + πh , h∈] (với 0< β < π)

5

Bài 110 : Giải phương trình

2

4 2 cos x

Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1

Lúc đó : (*) tgx 3tg x 1 3 1 sin x 1 tg x( 2 ) ( ) ( 2 ) 4 1 cos x

2

4 1 sin x

( )

( )

2

2

2

tgx 3tg x 1 1 sin x 3 1 tg x 4 0

3tg x 1 tgx 1 sin x 0

3tg x 1 sin x cosx sin x cosx 0

3tg x 1 1

sin x cosx sin x cosx 0 2

⇔ ⎢

⎢⎣

=

( )

4

π

π

Với điều kiện t ≤ 2 và t≠±1

Thì t2 = +1 2sin x cosx

(2) thành : t t 12 0 t2 2t 1

2

−

t 1 2 loại dođiều kiện t 2

t 1 2 nhận so với điều kiện

⎢

⇔

⎢ = − +

⎣

3

Bài 111 : Giải phương trình 2sin x sin x 2cos x cosx cos2x *3 − = 3 − + ( )

( )* ⇔2 sin x cos x( 3 − 3 )−(sin x cosx− )+sin x cos x 02 − 2 =

( ) ( ) ( )

( )

sin x cosx 0 hay 2 1 sin x cosx 1 sin x cosx 0

sin x cosx 0 1

sin x cosx sin2x 1 0 2

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

( )

( )

4 xét 2 đặt t sin x cosx 2 cosx x

4

π

⇔ = + π ∈

π

]

− Với điều kiện : t ≤ 2

2

t = +1 sin 2x

Vậy 2 thành t+ t 1 1 0− + =

Khi t = 0 thì cos x 0

4

π

3

4

π

] ]

3

2

π

]

]

Bài 112 : Giải phương trình

( )

sin x sin x sin x sin x cosx cos x cos x cos x *+ + + = + + +

Ta có : (*)

sin x cosx sin x cos x sin x cos x sin x cos x 0 sin x cosx 0 hay 1 sin x cosx 1 sin x.cosx sin x cosx 0

( )

sin x cosx 0 1

2 sin x cosx sin x cosx 2 0 2

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

Ta có : (1) ⇔ tgx 1=

4

π

⇔ = + π ∈ ]

Xét (2) : đặt t sin x cosx 2 cos x

4

π

Với điều kiện t ≤ 2

Thì t2 = +1 2sin x cosx

(2) thành 2t t 12 2 0

2

−

2

t 1 t 3 loại

⇔ + + =

⇔ = − ∨ = −

khi t = -1 thì cos x 1 cos3

3

3

2

⎡ − = + π ∈

⎢

⇔ ⎢

⎢ − = − + π ∈

⎢⎣

⎡

⎢

⎢ = − + π ∈

⎣

] ] ]

] k

Bài 113 : Giải phương trình tg x 1 sin x2 ( − 3 )+cos x 1 0 *3 − = ( )

Điều kiện : cosx 0≠ ⇔sin x≠ ±1

2

sin x 1 sin x cos x 1 0 cos x

1 cos x 1 sin x 1 cos x 1 sin x 0

1 cosx 1 sin x 0

hay 1 cosx 1 sin x sin x 1 cosx cos x 1 sin x 0

cosx 1 nhận do điều kiện

sin x 1 loại do điều kiện

sin x sin x cosx cos x sin x cos x 0

⎢

⎢

⎢⎣

=

cosx 1

=

⎡

⎣

cosx 1

sin x cosx 0 hay sin x cosx sin x cosx 0

=

⎡

⎣

cosx 1 tgx 1

sin x cosx sin x cosx 0

⎡

⎣

x k2 ,k

4 sin x cosx sin x cosx 0

⎡

⎢

⎢

⎣

] ]

xét pt sin x cosx sin x cosx 0+ + =

đặt

4

π

2

Ta được phương trình t t2 1 0 t2 2t

2

( )

t 1 2 loại

t 1 2 nhận so với đk

⎡ = − −

⎢

⇔

⎢ = − +

⎣

Bài 114 : Cho phương trình m(sin x cosx 1 1 sin2x *+ + = +) ( )

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0,

2

π

Đặt t sin x cosx 2 sin x

4

π

⎛

⎞

⎟, điều kiện t ≤ 2 Thì t2 = +1 sin 2x

Vậy (*) thành : m t 1 t( + =) 2

π

⇔ ≤ ≤

ta có m t 1 t( + =) 2

2

t m

t 1

+ (do t = -1 không là nghiệm của phương trình) Xét y t2 trên 1,

Thì

2 2

t 2t

t 1

Vậy y tăng trên 1, 2⎡ ⎤

Vậy (*) có nghiệm trên 1, y 1( ) m y 2( )

2

π

2

Bài 115 : Cho phương trình cos x sin x msin x cosx *3 + 3 = ( )

a/ Giải phương trình khi m= 2

b/ Tìm m để (*) có nghiệm

Ta có : (*) ⇔(cosx sinx 1 sinxcosx+ )( − )=msinxcosx

Đặt t sin x cosx 2 cosx x

4

π

Với điều kiện (t ≤ 2)

Thì t2 = +1 2sin x cosx

Vậy (*) thành t 1 t2 1 m t2 1

⎞

⎟

⎠

( 2) ( 2 )

a/ Khi m = 2 ta có phương trình

( 2) ( ( 2 ) )

t 3 t− = 2 t 1−

3 2

2

b/ Xét phương trình t 3 t( − 2) (=k t 1 **2 − ) ( )

Do t= ±1 không là nghiệm của (**) nên

3t t

−

−

3t t

t 1

Ta có

( )

4 2 2

t 1

− −

)

suy ra y giảm trên 1,1(− và

→ − = + ∞ → = − ∞

Do đó trên 1,1(− )⊂ −⎡⎣ 2, 2 \ 1⎤⎦ { }± ta có

(d) y = m cắt (C) y 3t t2 3 với m R

−

− Vậy (*) có nghiệm ∀ ∈m R

Bài 116 : Cho phương trình

a/ Giải phương trình khi m 1

2

=

b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 0,

2

π

Với điều kiện sin 2x 0≠ ta có

(*) m sin x cosx 1( ) 1 sin x cosx 1 1 0

2 cosx sin x sin x cosx

( )

( )

2

m sin 2x sin x cosx sin 2x 1 cosx sin x 0

sin x cosx 0 1

m sin 2x sin x cosx 1 0 2

⇔ ⎢

⎢⎣

=

=

Xét (2) đặt t sin x cosx 2 cos x

4

π

Thì t2 = +1 sin2x

Do sin2x 0 nên t≠ ≤ 2 và t= ±1

Vậy (*) thành : ( 2 )

t 0

m t 1 t 1 0

=

⎡

⎢

− + + =

⎢⎣

( )

t 0 nhận so điều kiện

⎡ =

⇔ ⎢

⎢⎣

a/ Khi m 1

2

= thì ta được :

t 0

t 1 loại do điều kiện

=

⎡

⎢ =−

⎢⎣

Vậy sinx + cosx = 0

4

π

⇔ = − + π ∈ ]

< < ⇔ − < − <

4

π

Lúc đó

π

< ⎜ − ⎟≤ ⇒ < ≤

Do t 0= ∉(1, 2⎤⎦

Nên ta xét phương trình : m t 1 1 0 **( − + =) ( )

( )** ⇔mt m 1= −

1

t 1

m

Do đó : yêu cầu bài toán 1 1 1 2

m

1

m

⎧− > ⎧ <

⎪⎩

1

−

Bài 117 : Cho f x( )=cos 2x 2 sinx cosx2 + ( + )3−3sin2x m+ a/ Giải phương trình f(x) = 0 khi m = -3

b/ Tính theo m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) Tìm m cho ( ) 2

f x ≤36 x R∀ ∈

Đặt t sin x cos x 2 cos x (điều kiện t 2)

4

π

Thì t2 = +1 sin2x

cos 2x 1 sin 2x 1 t 1= − = − − = − +t 2t2

Vậy f x thành g t( ) ( )= − +t4 2t2 +2t3 −3 t( 2 − +1) m

a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0

( )

2 2

t 0 t 1

⇔ = ∨ =

vậy khi m = -3 thì f(x) = 0

1

x 3 k

4

π

2

π

b/ Ta có g' t( )= −4t3+6t2−2t= −2t 2t( 2− +3t 1)

t 0 t 1 t

2

∈ −

⎩

Ta có : g 0( ) 3 m g 1 ,( ) g 1 47 m

⎛ ⎞

⎝ ⎠

g 2 =4 2 3 m, g 2− + = − −m 3 4 2

Vậy : ( ) ( )

t 2, 2 x

∈ −

\

+

t 2, 2

x R

∈ −

f x ≤36, x R∀ ∈ ⇔ − ≤6 f x ≤6, x R∀ ∈

( ) ( )

R

R

m 3 6

≤

⎧⎪

⇔ ⎨

≥ −

⎪⎩

+ ≤

⎧⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

⇔4 2 3 m 3− ≤ ≤

Cách khác : Ta có ( ) 2( 2 ) ( ) 2

g t = −t t − + + +2t 1 3 m= −⎡⎣t t 1− ⎤⎦ + +3 m Đặt u t= −2 t

4

Vậy g t( ) ( )=h u = − + +u 3 m2

R t 2 , 2 u D

R t 2 , 2 u D

∈

⎡ ⎤

∈ −⎣ ⎦

⎡ ⎤

∈ −⎣ ⎦ ∈

Chú ý 1 : Phương trình giả đối xứng

a sin x cosx− +b sin x cosx =0

đặt t = sinx – cosx

⎞ + ⎟⎠

với điều kiện t ≤ 2 thì t2 = −1 2sin x cosx

Bài 118 : Giải phương trình 2sin x cot gx 2sin 2x 1 *+ = + ( )

Điều kiện : sinx 0≠ ⇔ cos x= ±1

Lúc đó (*) 2sin x cos x 4 sin x cos x 1

sin x

) =

( ) ( )

− =

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

2 sin x cos x 4 sin x cos x sin x

2 sin x sin x cos x 4 sin x 1 0

sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 2 sin x 1 0

2 sin x 1 0 hay sin x cos x 2 sin x 1 0

sin x cos x sin 2x 0 2

( ) ( )

⇔ x= +k2π ∨ =x 5 +k2 , kπ ∈ ]

4

−

Với điều kiện ≤t 2 và t ± 1≠

x

0 0

Thì t2 = −1 sin 2

Vậy (2) thành : t−(1 t− 2) =

2

( )

Do đó : 2 sin x 1 5(nhận do t 2 và t 1)

5 1

π

⎡ − = ϕ + π ∈

⎢

⇔ ⎢

π

⎢ − = π − ϕ + π ∈

⎢⎣

] ]

4

π

⎡ = ϕ + + π ∈

⎢

⇔ ⎢

π

⎢⎣

] ]

4 5

Bài 119 : Giải phương trình

cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x *+ = − −

Ta có : ( )* ⇔ (cos x sin x2 − 2 )+ =5 2 2 cos x sin x cos x( − )( − ) (sin x cos x 2 2 cos x) ( ) (sin x cos x) 5 0

(sin x cos x sin x cos x 4) [ ] 5 0

Đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

Với điều kiện t ≤ 2

(*) thành : t t 4( + )− =5 0

( )

2

⇔ = ∨ = −

Vậy ( )* ⇔sin x 1 sin

π π π π

π

] ]

3

2

Bài 120 : Giải phương trình cos x sin x cos 2x *3 + 3 = ( )

Ta có (*) ⇔ (cos x sin x 1 sin x cos x+ )( − ) =cos x sin x2 − 2

( ) ( )

⎡

⇔ ⎢

⎢⎣

cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x cosx sin x

Ta có : ( )1 ⇔ tgx = −1

π

⇔ x= − + πk , k∈ ]

4

Xét (2) đặt t sin x cos x 2 sin x

4

π

Với điều kiện t ≤ 2

Thì t2 = −1 2sin x cosx

(2) thành t 1 t2 1 0 t2 2t 1

2

⇔ = −

⎞

⎟

⎠

⎢⎣

] ]

] ]

x k2 , k

Bài 121 : Cho phương trình cos x sin x m3 − 3 = ( )1

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1 bằng cách đặt ẩn phụ t cos x sin x= − b/ Tìm m sao cho (1) có đúng hai nghiệm x ,

4 4

π π

Ta có (1) ⇔ (cos x sin x 1 sin x cos x− )( + )= m

Đặt t cos x sin x 2 cos x

4

π

Với điều kiện t ≤ 2

Thì t2 = −1 2sin x cosx

Vậy (1) thành : t 1 1 t2 m

2

a/ Khi m = 1 thì (2) thành t3 −3t 2 0+ =

( )

2

t 1 t 2 loại

⇔ = ∨ = −

Vậy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈

2

π

⇔ x k2= π ∨ = − +x k2 , kπ ∈ ]

2

b/ Nếu x ,

4 4

π π

≤

4

π

4

π

nhận xét rằng với mỗi t tìm được trên 0, 2⎡⎣ ⎤⎦

ta tìm duy nhất một x ,

4 4

π π

xét f t( ) = − +t3 3t trên 0, 2⎡⎣ ⎤⎦

vậy (1) có đúng hai nghiệm x ,

4 4

π π

( )d y 2m cắt C y( ) t3 3t trên 0, 2⎡ ⎤

⇔ 2 2m 2 ≤ <

2

Bài 122 : Cho phương trình

2cos2x sin x cos x sin x cos x m sin x cos x *+ + = + a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm trên 0,

2

π

Ta có :

( )* ⇔ 2 cos x sin x( 2 − 2 )+sin x cos x sin x cos x( + ) =m sin x cos x( + )

( )

⇔ cos x sin x+ =0 (1) hay 2 cos x sin x− +sin x cos x m ( 2) = Đặt t cos x sin x 2 cos x

4

π

⎛

⎞

⎟ (điều kiện t ≤ 2) Thì t2 = −1 2sin x cosx

x

Ta có : ( )1 ⇔ sin x = −cos

π

⇔ tgx = − ⇔1 x = − + πk , k∈ ]

4

Ta có : (2) thành 2t 1 t2 m

2

−

( )

2

a/ Khi m = 2 thì (**) thành t2 −4t 3 0+ =

( )

⇔ = ∨ =t 1 t 3 loại

vậy ⎛⎜ + π⎞⎟ = ⇔ + π = ± +π π ∈

2

π

⇔ x k2= π ∨ = − + πx k , k∈ ]

2

Do đó :

( )* ⇔ x = − + π ∨ =π k x k2π ∨ = − +x π k2 , kπ ∈ ]

b/ Ta có ∈⎡⎢ π⎤⎥ ⇔ + ∈π ⎡⎢π

3

π⎤

⎥⎦

4

π

1 t 1

⇒ − ≤ ≤

Do nghiệm = − + π ∉π ⎡⎢ π⎤⎥ ∀ ∈

Nên yêu cầu bài toán ⇔( )* * có nghiệm trên [−1,1]

Xét y = − +t2 4t 1 thì y '+ = − + > ∀ ∈ −2t 4 0 t [ 1,1]

y tăng trên 1,1

Do đó : yêu cầu bài toán

2 m 2

* Chú ý 2 : Phương trình lượng giác dạng

a tgx cot gx± +b tg x cot g x+ =0

ta đặt t tgx cot gx thì t= ± 2 = tg x cot g x 22 + 2 ±

sin 2x

Bài 123 : Giải phương trình

( )

3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 2 0 *+ + + + =

Đặt t tgx cot gx 2

sin 2x

Với điều kiện t ≥2

Thì t2 = tg x cot g x2 + 2 +2

(*) thành : 3 t( 2 −2)+4t 2 0+ =

2

2

3

⎡ =

⎢

⇔

⎢

= −

⎣

2sin x

π

π

] ]

2

4

Bài 124 : Giải phương trình

( )

tgx tg x tg x cotgx cotg x cotg x 6 *+ + + + + =

Ta có (*) ⇔ (tgx cot gx+ )+(tg x cot g x2 + 2 ) (+ tg x cot g x3 + 3 ) =6

Đặt t tgx cot gx 2 (điều kiện t 2)

sin 2x

Vậy (*) thành : t t+ 2 +t t( 2 −3) =8

3 2

2

2

t 2

t 3t 4 0 vô nghiệm

t 2

=

⎡

⎣

⇔ =

π

π

] ]

2

4

Bài 125 : Giải phương trình

( )

2

sin x

Cách 1 : (*) ⇔ 2 1 cot g x( + 2 )+2tg x 5 tgx cot gx2 + ( + )+ =4 0

( ) ( )

2

2 tg x cot g x 5 tgx cot gx 6 0

Đặt t tgx cot gx= + = 2 , với t ≥2

sin 2x

Ta được phương trình : 2t2 +5t 2 0+ =

⇔ = − ∨ = −t 2 t 1 loại

2

π

π

] ]

2

4

Cách 2 : Đặt u = tgx (với điều kiện u 0≠ )

2

⎡ = −

⇔ ⎢

+ + =

⎢⎣

3 2

2 2

2

2u u 2 0 vô nghiệm

Vậy (*) ⇔tgx = -1

π

⇔ x= − + πk , k∈ ]

4

Bài 126 : Cho phương trình

2 2

a/ Giải phương trình khi m 5

2

=

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

Ta có : (1) ⇔ tg x cot g x m tgx cot gx2 + 2 + ( + )+ =3 0 Đặt t tgx cot gx 2 (điều kiện t 2)

sin 2x

t tg x cot g x

Vậy (1) thành : t2 +mt 1 0+ = ( )2

a/ Khi m 5

2

= ta được phương trình 2t2 +5t 2 0+ =

( )

1

2

⇔ = − ∨ = −

π

π

] ]

2

4

b/ Cách 1 :

Ta có : (2) ⇔ mt = − −1 t2

1

m

t

⇔ = − −t(do t = 0 không là nghiệm của (2))

Xét y 1 t với t

t

Thì y ' 12 1 1 2 2

−

Ta có : y ' 0= ⇔ = ±t 1

Do đó (1) có nghiệm ⇔ (d) cắt C trên( ) (−∞ −, 2 U 2,] [ +∞)

5

m

2

Cách 2 : Yêu cầu bài toán

( ) 2

⇔ = + + = 0 có nghiệm t thỏa t ≥ 2

Nhận xét rằng do P = 1 nên nếu f(t) có hai nghiệm và có nghiệm thì ta có

1 2 1 2

t , t với t ≤ t

Do đó :

Yêu cầu bài toán ⇔ t1 ≤ − <2 t1 < ∨ − <2 2 t1 < ≤2 t2

( )

( )

( ) ( )

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình :

a/ 1 cos x sin x sin x+ 3 − 3 =

b/ cos x cos x 2sin x 2 03 + 2 + − =

c/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − )

d/ cot gx tgx sin x cos x− = +

e/ sin x cos x sin x cos x3 − 3 = −

f/ 1 t+ gx sin x cos x= +

4

π

= k/ sin 2x 12 sin x cos x− ( − )+12 0

sin 2x 1

+

= +

m/ 1 cos 2x 1 cos x33

1 cos 2x 1 sin x

n/ 5 sin x cos x( + )+sin 3x cos 3x 2 2 2 sin 2x− = ( + )

o/ 1+sin x cos x sin 2x 2cos2x 0+ + + =

p/ sin x cos x cos 2x sin x cos x sin x cos x2 − + = 2 +

r/ cos2x 5 2 2 cos x sin x cos x+ = ( − )( − )

s/ cos x sin x cos x 02 + 3 + =

t/ 4 sin x 1 3sin x3 − = − 3 cos 3x

2 Cho phương trình sin 2x sin x cos x( + ) =m 1( )

a/ Chứng minh nếu m > 2 thì (1) vô nghiệm

b/ Giải phương trình khi m = 2

3 Cho phương trình sin 2x 4 cos x sin x+ ( − ) = m

a/ Giải phương trình khi m = 4

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm

4 Cho phương trình : sin x cos x m sin x cos x− ( + )+ =1 0 a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m ≥1)

2

Tìm m để phương trình có nghiệm (ĐS : m ≥4)