Ôn thi Đại học & Cao đẳng môn Toán - Chương VI: Phương trình đẳng cấp

PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP.[r]

CHƯƠNG VI

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

a sin u+b sin u cos u c cos u+ = d

Cách giải :

Tìm nghiệm u k lúc đó cos u 0 và sin u 1

2

π

2 Chia hai vế phương trình cho cos u 0 ta được phương trình :

atg u+btgu + =c d 1 tg u+

Đặt t = tgu ta có phương trình :

(a−d t) 2 +bt+ − =c d 0

Giải phương trình tìm được t = tgu

Bài 127 : Giải phương trình

( )

cos x− 3 sin 2x = +1 sin x *

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên

Chia hai vế của (*) cho cos2 ≠ ta được 0

( )* ⇔ −1 2 3tgx= (1 tg x+ 2 )+tg x2

Đặt t = tgx ta có phương trình :

2

2t +2 3t = 0

⇔ = ∨ = −

⇔ tgx= 0 hay tgx = − 3 ⇔ = πx k hay x= − + πk , k∈ ]

3

Bài 128 : Giải phương trình

( )

cos x−4 sin x−3 cos x sin x +sin x = 0 *

• Khi x k thì cos x 0 và sin x

π

thì (*) vô nghiệm

• Do cos x= 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos3x

ta có (*) ⇔ −1 4tg x3 −3tg x2 +tgx 1 tg x( + 2 ) =0

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈ ]

2

3tg x 3tg x tgx 1 0

tgx 1 3tg x 1 0

3 tgx 1 tgx

3

Do cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của (*) cho cos x4 ≠ 0

Ta có : (*) ⇔ −3 4tg x2 +tg x4 = 0

⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∈ ]

tg x 1 tg x 3

⎞

⎟

⎠

Bài 130 : Giải phương trình sin 2x +2tgx = 3 *( )

Chia hai vế của (*) cho cos x2 ≠ ta được 0

(*) 2sin x cos x2 2tgx2 3

cos x cos x cos x

2tgx 2tgx 1 tg x 3 1 tg x

t tgx

=

⎧

⇔ ⎨

⎩

⎧⎪

t tgx

t 1 2t t 3 = 0

π

tgx 1

4

Bài 131 : Giải phương trình

( )

3 sin x sin 2x+sin 3x = 6 cos x *

( )* ⇔ 2 sin x cos x2 +3sin x−4 sin x3 = 6 cos x3

( )

•Khi cos x = 0 ( sin x = ±1 ) thì * vô nghiệm

• Chia hai vế phương trình (*) cho cos x3 ≠ ta được 0

( )* ⇔

2sin x 3sin x 1 sin x

cos x + cos x cos x − cos x3 = 6

π

2

2tg x 3tgx 1 tg x 4tg x 6

tg x 2tg x 3tgx 6 0

tgx 2 tg x 3 0

Bài 132 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)

Giải phương trình

( )

2

+ Điều kiện sin 2x ≠ 0 và tgx ≠ −1

Ta có : cos 2x cos x sin x2 2 cos x cos x sin x( 2 2 )

sin x

cos x

−

−

= cos x cos x−sin x do tgx = −1 nên, sin x+cos x ≠ 0

* 1 cos x sin x cos x sin x sin 2x

−

2

cos x sin x

1 sin 2x sin x

cos x sin x sin x cos x sin x

cos x sin x 0 hay 1 sin x cos x sin x (**)

⎡

⎢

⇔ ⎢

−

tgx 1 nhận so với tgx 1

1 sin x

tg x do cos x 0 cos x

cos x

π

⎡ = + π ∈

⎢

⇔ ⎢

⎢⎣

π

]

] 2

4 2tg x tgx 1 0 vô nghiệm

x k , k nhận do sin 2x 0

4 Lưu ý : có thể làm cách khác

( )* * 1 1sin 2x 1(1 cos 2x)

π

3 sin 2x cos 2x

3 2 sin 2x : vô nghiệm

4

Bài 133 : Giải phương trình sin 3x +cos 3x+2 cos x =0 *( )

( )* ⇔(3sin x −4 sin x3 ) (+ 4 cos x3 −3 cos x)+2 cos x = 0

=

3sin x 4 sin x 4 cos x cos x 0

Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho

ta được 3

cos x≠ 0

( )* ⇔ 3tgx 1( +tg x2 )−4tg x3 + −4 (1+tg x2 )= 0

( ) ( )

=

⎧

⇔ ⎨

⎩

=

⎧⎪

⎪⎩

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈ ]

2

tg x tg x 3tgx 3 0

t tgx

t tgx

Bài 134 : Giải phương trình 3 5sin 4x.cos x( )

2 cos 2x

Điều kiện : cos 2x≠ ⇔0 cos x sin x2 − 2 ≠ ⇔0 tgx ≠ ±1

Ta có : (*)

3 10sin 2x cos 2x cos x 6sin x 2 cos x

2 cos 2x cos 2x 0

⎪

⇔ ⎨

⎩ 3

6 sin x 2 cos x 5 sin 2x cos x

tgx 1

⇔ ⎨

≠ ±

⎩

( )

6sin x 2 cos x 10sin x cos x * *

tgx 1

⎪

⇔ ⎨

≠ ±

⎪⎩

Do cosx = 0 không là nghiệm của (**), chia hai vế phương trình (**) cho

ta được 3

cos x

6tgx

2 10tgx

* * cos x

tgx 1

⎪

⇔ ⎨

⎪ ≠ ±

⎩

t tgx với t 1 6t 1 t 2 10t

⎧⎪

⎪⎩

±

t tgx với t 1 t tgx với t 1

⎧

⇔ ⎨ =

⎩

t tgx với t 1

: vô nghiệm

t 1

Bài 135 : Giải phương trình sin x−4 sin x3 +cos x = 0 *( )

• Vì cosx = 0 không là nghiệm nên chia hai vế phương trình cho cos3x thì

( )* ⇔ tgx 1( +tg x2 )−4tg x 1 tg x3 + + 2 = 0

( ) ( )

=

⎧

⇔ ⎨

⎩

=

⎧⎪

⎪⎩

π

2

t tgx

t tgx

tgx 1

4

Bài 136 : Giải phương trình tgx sin x2 −2 sin x2 = 3 cos 2x( +sin x cos x *)( )

Chia hai vế của phương trình (*) cho cos2x

2

3 cos x sin x sin x cos x

* tg x 2tg x

cos x

⇔ tg x3 −2tg x2 =3 1 tg x− 2 +tgx

=

⎧

⇔ ⎨

⎩

=

⎧⎪

⎪⎩

⇔ = − + π ∨ = ± + π ∈ ]

2

tg x tg x 3tgx 3 0

t tgx

t tgx

Bài 137 : Cho phương trình

(4−6m sin x) 3 +3 2m 1 sin x( − ) +2 m( −2 sin x cos x) 2 −(4m−3 cos x) = 0 *( )

a/ Giải phương trình khi m = 2

b/ Tìm m để phương trình (*) có duy nhất một nghiệm trên 0,

4

π

Khi x

2

π

= + πk thì cosx = 0 và sin x = ± nên 1 (*) thành : ±(4−6m)±3 2m 1( − )= 0

⇔ =1 0 vô nghiệm

chia hai về (*) cho cos x3 ≠ thì 0

( )* ⇔ (4 − 6m tg x) 3 + 3 2m 1 tgx 1 tg x( − ) ( + 2 )+ 2 m( − 2 tg x) 2 −(4m − 3 1) ( + tg x 2 )= 0

=

⎧⎪

t tgx

=

⎧⎪

⎪⎩

a/ Khi m = 2 thì (*) thành

t tgx

=

⎧⎪

⎪⎩

π

⇔ tgx = ⇔1 x = + πk , k∈ ]

4

b/ Ta có : x 0,

4

π

⎡

∈ ⎢⎣ ⎦⎤⎥thì tgx = ∈t [ ]0,1 Xét phương trình : t2 −2mt +4m− =3 0 2( )

2

2

2m

t 2

−

− (do t = 2 không là nghiệm)

Đặt y f t( ) t2 3( )C

t 2

−

− và (d) y = 2m

Ta có : ( )

2

2

t 4t

y ' f t

t 2

− 3

Do (**) luôn có nghiệm t = 1 ∈[ ]0,1 trên yêu cầu bài toán

⇔ ⎢

=

⎢⎣

d y 2m không có điểm chung với C

d cắt C tại 1 điểm duy nhất t 1

3

2

3

4

⇔ < ∨ ≥ 1

Cách khác :

Y C B T ⇔f(t) =t2 −2mt+4m− =3 0 2( )vô nghiệm trên [0 1 , )

Ta có (2) có nghiệm [ ], ( ) ( ) ( )( )

af

S

Δ ≥

⎧

⎪⎪

⎪

0

( ) ( )

m

m m

⎪ − >

⎪

− >

⎪

⎪ ≤ ≤

⎩

m

⇔ ≤ ≤3 1 4

Do đó (2) vô nghiệm trên [0 1 , )⇔ <m 3 hay m> 1hay f( 1 ) 0

m 3 m

⇔ < ∨ ≥

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau :

a/ cos x sin x 3sin x cos x3 + − 2 = 0

b/ sin x tgx 12 ( + )= 3sin x cos x( −sin x)+3

c/ 2 cos x cos 2x sin x2 + + = 0

d/

3 2

3

1 cos x

tg x

1 sin x

−

=

− e/ sin x 5sin x cos x 3sin x cos x 3cos x3 − 2 − 2 + 3 = 0

f/ cos x sin x 3sin x cos x3 + − 2 =0

g/ 1 tgx+ = 2 2 sin x

h/ sin x cos x3 + 3 =sin x cos x−

k/ 3tg x 4tgx 4 cot gx 3cot g x 22 + + + 2 + = 0

cos

tg x tgx

x

π

+

2

3 1

n/ sin x cos x 1

sin 2x

+

=

2 Cho phương trình : sin x2 +2 m 1 sin x cos x( − ) −(m 1 cos x+ ) 2 = m

a/ Tìm m để phương trình có nghiệm

b/ Giải phương trình khi m = -2 (ĐS : m∈ −[ 2,1] )