CHÖÔNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TOÅNG HAI SOÁ KHOÂNG AÂM AÙ p duï n g Baø i 156... Phương pháp đối lập..[r]
Trang 1CHƯƠNG VIII
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
Áp dụng Nếu A 0 B 0
A B 0
≥ ∧ ≥
⎧
⎨ + =
Bài 156 Giải phương trình:
4 cos x 3tg x 4 3 cos x 2 3tgx 4 0 (*)+ − + + =
Ta có:
⎧
=
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
π
⎧ = ± + π ∈
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
π
3 cos x
2 1 tgx
3
6 1 tgx
3
6
=
Bài 157 Giải phương trình:
( )
2 8cos 4x.cos 2x+ 1 cos 3x 1 0 *− + =
Ta có: ( )* ⇔ 4 cos 4x 1 cos 4x( + )+ +1 1 cos 3x 0− =
2
2
4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0
2 cos 4x 1 1 cos 3x 0
cos 4x cos 4x
cos 3x 1 3x k2 , k
=
⎪⎪
⎪⎩
1 cos 4x
2 k2
3
Trang 2⎧ = −
⎪⎪
⎪⎩
π
1 cos 4x
2
2
3
(ta nhận k = ±1 và loại k = 0 )
Bài 158 Giải phương trình:
2
sin x cos 3x sin x sin 3x cos x sin x sin 3x *
3sin 4x
Ta có: cos3x.sin 3x sin 3x.cos x3 + 3
3 cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
3sin 2x.cos 2x 3sin 4x
2
( )
2
2
1 Vậy: * sin x sin 3x sin x sin 3x và sin 4x 0
4
1sin 3x sin x 1sin 3x 1sin 3x 0 và sin 4x 0
1sin 3x sin x 1sin 3x 1 sin 3x 0 và sin 4x 0
≠
≠
≠
⎧
⎪⎪
⎪
⎪⎩
2
2
1sin 3x sin x 1 sin 6x 0 và sin 4x 0
sin 4x 0
1 sin 3x sin x 2
sin 3x 0 cos 3x 0
≠
≠
⎧
≠
sin 4x 0 sin 4x 0
1
2
≠
⎧
⎪⎪
⎪
sin 4x 0
1 sin x
2
Trang 3⎧
⎪
⎪⎩
≠
⎧
⎪
⎪⎩
sin 4x 0
1 sin x
2 sin 4x 0
5
5
Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
A B
⎧
⎨ =
Bài 159 Giải phương trình: sin x cos x4 − 4 = sin x + cos x (*)
Ta có: (*) ⇔ sin x cos x2 − 2 = sin x + cos x
≤
⎧⎪
⎪⎩
≤
⎪
⎩
π
2
2
cos 2x 0 cos 2x 1 2 sin x cos x
sin 2x 2 sin 2x
2
Cách khác
Ta có sin x cos x4 − 4 ≤ sin x4 ≤ sin x ≤ sin x + cos x
Do đó ⇔ ⎧⎪⎨ = ⇔
=
⎪⎩ 4
cos x 0
sin x sin x =
π
⇔ =x + πk , k∈
2
Bài 160: Giải phương trình: (cos 2x cos 4x− )2 = +6 2sin 3x (*)
Ta có: (*) ⇔ 4sin 3x.sin x 6 2sin 3x2 2 = +
• Do:sin 3x 12 ≤ và sin x 12 ≤
nên 4sin 3x sin x 42 2 ≤
• Do sin 3x ≥ −1 nên 6 2+ sin 3x 4≥
Vậy 4sin 3x sin x 4 6 2sin 3x2 2 ≤ ≤ +
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
Trang 4⎧ =
⎧
= −
⎩
⎩
2
2 2
sin 3x 1
sin x 1 sin x 1
π
⎪
⎩
sin 3x 1
π ∈
Bài 161 Giải phương trình: cos x sin x3 3 2cos 2x (*)
sin x cos x
−
= +
Điều kiện: sinx 0 cos x 0≥ ∧ ≥
Ta có: (*)
(cos x sin x 1 sin x cos x)( ) 2 cos x sin x( 2 2 ) ( sin x cos x)
⎡
⎢
⇔
⎢⎣
1 sin x cos x 2 cos x sin x sin x cos x (2)
Ta có: i(1) ⇔ tgx 1= ⇔ =x π+ πk , k∈
4
i Xét (2)
Ta có: khi sin x 0≥ thì sin x sin x sin x ≥ ≥ 2
Tương tự cos x cos x cos x ≥ ≥ 2
Vậy sin x cos x 1+ ≥ và sin x + cos x 1≥
Suy ra vế phải của (2) thì ≥2
Mà vế trái của (2): 1 1sin 2x 3
Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*) ⇔ =x π + πk , k∈
Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x− − cos x 1 2(*)+ =
Ta có: (*) ⇔ 3 cos x 2− = + cos x 1+
3 cos x 5 cos x 4 cos x 1
2 cos x 1 4 cos x 1
Ta có: −2 cos x 1( + )≤ ∀0 x
mà 4 cos x 1 0 x+ ≥ ∀
Do đó dấu = của (*) xảy ra ⇔cos x = −1
⇔ = π +x k2π , k∈
Trang 5Bài 163: Giải phương trình:
cos 3x+ 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)− = +
Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:
AX BY+ ≤ A +B X + Y nên: 1cos 3x 1 2 cos 3x+ − 2 ≤ 2 cos 3x2 +(2 cos 3x− 2 ) =2
Dấu = xảy ra ⇔ cos 3x = 2 cos 3x− 2
cos 3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos 3x 0
cos 3x 1 cos 3x 1
≥
⎧
⇔ ⎨
= −
⎩
≥
⎧
= ±
Mặt khác: 2 1 sin 2x( + 2 )≥ 2
dấu = xảy ra ⇔ sin 2x 0=
Vậy: cos 3x+ 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x− 2 ≤ ≤ ( + 2 )
dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:
=
⎧
⎪
⎪⎩
cos 3x 1 sin 2x 0 cos 3x 1
k
x , k ( có 4 đầu ngọn cun 2
x 2m , m
g )
Bài 164: Giải phương trình: tg x cotg x 2sin x2 2 5 (*)
4
π
Điều kiện: sin 2x 0≠
• Do bất đẳng thức Cauchy: tg x cotg x 22 + 2 ≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx=
• Mặt khác: sin x 1
4
π
nên 2sin x5 2
4
π
dấu = xảy ra khi sin x 1
4
π
Do đó: tg x cotg x 2 2sin x2 2 5
4
π
Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
4
=
⎧
⎪
⇔ ⎨ ⎛ π⎞
⎩
Trang 6⎧ =
⎪
⇔ ⎨ = π + π ∈
⎪⎩
π
2
tg x 1
x k2 , k 4
x k2 , k 4
Trường hợp 3:
=
+ = ⇔ ⎨⎧ ==
⎩
sin u 1 sin u sin v 2
sin v 1
− = ⇔ ⎨⎧ == −
⎩
sin u 1 sin u sin v 2
sin v 1
+ = − ⇔ ⎨⎧ = −= −
⎩
sin u 1 sin u sin v 2
sin v 1
Tương tự cho các trường hợp sau
sin u cos v± = ±2 ; cos u cos v± = ±2
Bài 165: Giải phương trình: cos 2x cos3x 2 0 *( )
4
Ta có: ( )* cos 2x cos3x
4
3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4
nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
= π ∈
⎧
=
π
x k , k
cos 2x 1
x 8m , m 8h
3
4
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )
∈
Cách khác
cos 2x 1 x k , k
x 8m , m
Bài 166: Giải phương trình:
( )
cos 2x cos 4x cos 6x cos x.cos 2x.cos 3x 2 *+ + = +
Trang 7( )
2 cos 2x cos 4x cos 6x 2cos 3x cos x 2cos 3x 1
2cos 3x cos x cos 3x 1
4 cos 3x.cos 2x.cos x 1
Vậy: cos3x.cos2x.cos x 1(cos2x 6cos4x cos6x 1)
4
Do đó:
cos 2x cos 4x cos 6x 3 cos 2x 1 2x k2 , k (1) cos 4x 1 cos 4x 1 (2) cos 6x 1 cos 6x 1 (3)
⇔ 2x k2 , k= π ∈ ⇔ = πx k , k∈ ( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 167: Giải phương trình:
( )
cos 2x− 3 sin 2x− 3 sin x cos x 4 0 *− + =
Ta có:
( ) ⇔ = −⎛⎜⎜ + ⎞ ⎛⎟ ⎜⎟ ⎜+ +
* 2 cos 2x sin 2x sin x cos x
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
π
⎩
π
⎧ = + π ∈
⎪
π
⎪ = + π ∈
⎪⎩
6
3
3
∈
Cách khác
⎩
( *)
Trang 8⎧ ⎛ − π⎞ =
π
⎪ = + π ∈
⎪⎩
3
3
Bài 168: Giải phương trình: 4 cos x 2 cos 2x cos 4x 1 *− − = ( )
Ta có:( )* ⇔ 4 cos x 2 2cos x 1− ( 2 − ) (− 1 2sin 2x− 2 )=1
2
4cosx 4 cos x 8 sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x cos x 0
2 cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)
1 cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2 cos x 0 cos 3x cos x 2
=
⎧
⎩
cos 3x 1 cos x 0
cos x 1
=
⎧
⎩
π
⇔ = + π ∨ = π ∈
3
cos x 1 cos x 0
4 cos x 3 cos x 1 cos x 0 cos x 1
2 Cách khác
( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
− ⇔ = ∨⎧⎨ = ∨ ⎧⎨ =
cos x 1 cos x 1 cos x 0
cos 2x 1 cos 2x 1
⇔ = π + π ∈ ∨⎧⎨ = π ∈ ∨⎧⎨ = π + π ∈
x k2 , k x k2 , k ( loại
x k , k
cos 2x 1 cos 2x 1 2
)
⇔ x = π + π ∨ =k x k2 , kπ ∈
2
Bài 169: Giải phương trình:
( )
1
sin x cos 2x cos 3x
Điều kiện: sin 2x cos2x cos3x 0≠
Lúc đó:
( )* ⇔ sin 2x sin 3x+ + 1 0
cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x =
+ =
=
sin 2x sin x cos 3x sin 3x sin x.cos2x 1 0 sin x sin 2x cos3x sin 3x cos 2x 1 0
Trang 9( )
=
= −
2
sin x.sin 5x 1
1 cos6x cos4x 1 2
cos 6x cos4x 2
t cos 2x t cos 2x cos 6x 1
4t 3t 1 4t 3t 1 cos 4x 1
t 0 2t 1 1
=
Do đó: (*) vô nghiệm
Cách khác
sin x 1 sin x 1
sin 5x 1 sin 5x 1
x
⇔ ∈∅
Bài 170: Giải phương trình: cos 3x.cos 2x cos x 0 *2 − 2 = ( )
Ta có: ( )* ⇔ 1(1 cos 6x cos 2x+ ) −1(1 cos 2x+ ) 0
=
⎧
⎩
⇔ ⎨
=
⎩
⇔ ⎨
=
⎩
π
2
2
cos 6x cos 2x 1
1 cos8x cos4x 1 2
cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1
cos 4x 1
2 cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 , k k
x , k 2 Cách khác
⇔ cos 6x cos 2x 1 =
cos 2x 1 cos 2x 1
hay cos 6x 1 cos 6x 1
Trang 10= π ∈ = π + π ∈
hay
π
x , k
2
Cách khác
⇔
cos 8x 1 cos 8x 1
cos 4x 1 4x k2 , k
π
⇔ =x k , k∈
2
Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = ax là hàm giảm khi 0< a <1
Do đó ta có
2
Bài 171: Giải phương trình: 1 x2 cos x( )
2
Ta có: ( )* 1 x2 cos
2
Xét y x2 cos x trên
2
Ta có: y '= −x sin x
và y '' 1 cos x 0 x R= − ≥ ∀ ∈
Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy ∀ ∈x (0,∞): x 0 nên y ' x> ( )> y ' 0( )= 0
Do đó:
Vậy : y x2 cos x 1 x
2
= + ≥ ∀ ∈R Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó ( )* ⇔ x 0= •
Trang 11Bài 172: Giải phương trình
sin 4 x+ sin 6 x= sin 8 x+ sin 10
x (*)
Ta có
2 2
và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0 và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0
⎪
⎨
≥
⎪⎩
⇔sin2x = 1 ∨ sinx = 0
⇔x = ± π +k π ∨ x = k π, k∈
2
Cách khác
(*)⇔ sin 4 x = hay + sin 2 x= sin 4 x + sin 6 x
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
π
4 1
4
sin x
2
5 2 cos x 2 sin10x 3 2 2 cos 28x.sin x
6 cos 4x cos 2x 5 sin 3x
=
7 sin x cos x 2 2 sin 3x
8 sin 3x cos 2x 2 sin 3x cos 3x 1 sin 2x 2 cos 3x 0
9 tgx tg2x sin 3x cos 2x
10 2 log cot gx log cos x
)=
π
⎡ ⎤
sin x
11 2 cos x với x 0,
2
12 cos x sin x 1
13 cos 2x cos 6x 4 sin 2x 1 = 0
14 sin x cos x 2 2 cos 3x
15 sin x cos x 2 sin x
16 cos x 4 cos x 2x sin x x 3 0=
17 2 sin x sin x cos x
18 3 cot g x 4 cos x 2 3 cot gx 4 cos x 2 0=