Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết quả.. Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: 3..[r]
Trang 1f x dx F x C
Ch III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Bài 1 : NGUYÊN HÀM I/ Tĩm lí :
1/ !" #$ 1: Cho hàm xác trên K Hàm F(x) là nguyên hàm "# hàm f(x)
trên K
"# f(x) trên K Kí 0 f x dx( )
ta cĩ:
2/ Tính ch '
Tính - 1: /
( ) ( )
f x dx f x C
Tính - 2: kf x dx( ) k f x dx k ( ) ( 0)
Tính - 3:[ ( )f x g x dx( )] f x dx( ) g x dx( )
a
3/ ) nguyên hàm th+ dùng.
1
1
x
( 1)
ax b
a
2
x
x
(ax b) dx a ax b C
1
2
a
ax b
dx
ax b dx
e dx e C
(ax+b) e
a
ln
x
a
.ln
bx c
b a
sinx.dx cos x C
a
cosx.dx= sinx + C
a
os
dx
x C
tan( )
( 0)
os ( )
sin
dx
x C
cot( ) sin ( )
C
4/ Các ph ng pháp tính nguyên hàm:
a/
b/ Ph pháp 6 1 7
II/ BÀI 82
A/Bài 91 :
;< 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tính chất.
Ph ương pháp giải:
Lop12.net
Trang 2Th@ a nguyên hàm A cho (B nguyên hàm "# C và 0 sau 1 (D >E ?. nguyên hàm th@ dùng G% H
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm sau:
a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = + c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
x
2 3x
K .
a/
4
ln 2 ln 3
c/
6
d/
5
5
x
;< 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Ph ương pháp giải:
B1: Tìm nguyên hàm "# hàm A cho
B2: Thay B G 0 A cho vào nguyên hàm tìm C thay vào nguyên hàm nguyên hàm L tìm
Ví
6
Giải
Ta có F(x)= x – 1 cos3x + C Do F( ) = 0 - cos + C = 0 C = -
6
6
OD! nguyên hàm L tìm là: F(x)= x – cos3x -1
Phương pháp giải:
Tính nguyên hàm f[ (x)] '(x)dx (1) ?P phRng pháp C ? %
b1: ST t = (x) dt = '( ) dxx
b2: Thay vào (1) ta f t dt( ) , >U# vào ?. nguyên hàm @ dùng tính f t dt( )
b3: Thay t=(x) vào nguyên hàm (V# tìm suy ra G% H
Ví >E :
( 1)
I x dx
ST u = x-1 du = (x-1)’dx = dx Ta có: 10 10 u11 x 111
x 1 dx u du
b) Xét ln x dx; T t=lnx dt =
x
c)Tính A = dx
x
x
5
) 1 (
du u u
du u
u
5 4 5
1 1 1
u
4
1 3
1
) 1 ( 4
1 1
3 1
Trang 3;<ng 3: Tìm nguyên hàm bPng phR pháp 3V QL2
Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu nguyên hàm bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển nguyên hàm đã cho theo công thức từng phần u dv uv v du
B3: Tính v du suy ra kết quả
Ví >E :
a/ Tìm xsinxdx
dv sinxdx v - cosx
Ta cĩ : xsinxdx = - x.cosx +cosxdx = - xcosx + sinx + C
b/Tìm I=x2e x dx
ST u x2x du 2xdxx
v e
dv e dx
Khi ĩ:
=x2.ex - 2
dx
e
x x
2
dx e
x x
Tính x
x e dx
ST u 1 xx du 1 x dx =x.ex - =x.ex – ex +C1
dv e dx v e
x
x e dx
e dx
I=x2.ex – 2(x.ex – ex +C1)=x2.ex – 2x.ex +2 ex +C
c/ Tìm lnx dx
1
dv dx
v x
x
B/ Bài 91 B gi)i:
Bài 1 : Tìm nguyên hàm &D$ các hàm EF sau.
1 f(x) = x2 – 3x + 2 f(x) =
x
1
2
4 3 2
x
x
3 f(x) = 4 f(x) =
2
1
x
x
2
2 2 ) 1 (
x
x
5 f(x) = x3 x4 x 6 f(x) =
3 2 1
x
x
7 f(x) = 8 f(x) =
x
x 1)2
3
1
x
x
9 f(x) = 10 f(x) = tan2x
2 sin
2 2 x
11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2
13 f(x) = 14 f(x) =
x
2 cos sin
1
x x
x
2 2 cos sin
2 cos
15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x
17 f(x) = ex(ex – 1) 18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x
ex
19 f(x) = 2ax + 3x 20 f(x) = e3x+1
Lop12.net
Trang 4Bài 2/ Tìm hàm
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 4 f’(x) = x - 1 2 và f(1) = 2
2
x
5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)0, f(1)4, f(1)2
x b
7 f’(x)=sin2x.cosx, bieát f( )= 8 f’(x) = e1-2x , bieát f(
3
3
2
2
1 1) 3
x
2
3 5
x
2
Bài 3 Dùng
1 (5x dx1) 2 5 3 4
) 2 3
dx
dx x
5 (2x2 1)7xdx 6 (x3 5)4x2dx 7 x2 1.xdx 8 dx
x
x
5 2
9 dx 10 11 12
x
x
3
2
2
5
3
) 1
x
dx
dx x
x
dx e
x x2 1
13 sin4 x cos xdx 14 dx 15 16
x
x
5 cos
sin
cotgxdx tgxdx2 x
cos
17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20 dx 21
x
e x
x 3
x
e
dx e
x
e tgx
2
dx
x2 1x2.dx 2
1 x dx
27 2 28 30 31 32
2
1 x
dx
x
cos3xsin2xdx x x1.dx x 1
e
dx
dx x
x3 2 1
Bài 4 Dùng 1 pháp 6 1 7 tìm nguyên hàm các hàm EF sau.
1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5)sinxdx 4.(x2 2x3)cosxdx
5 xsin2xdx 6 xcos2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx 9 x ln xdx
10 2 x dx 11 2 13 14
x
x
2
15 sin x dx 16 e x.cosxdx 18 x3e x2dx 19 xln(1x2)dx
20 2x xdx 21 x lg xdx 22 2xln(1 dx x) 23 dx 24
x
x
2 ) 1 ln(
x2cos2xdx
Bài 2 : TÍCH PHÂN I/TÓM N LÝ Q
1/
a [a; b] 0 F(b) – F(a) là tích phân V a % b (hay tích phân xác trên a [a; b])
"# hàm f(x), ký 0 2 ( ) e @ ta còn dùng kí 0 F(x)| h i 0 F(b) -F(a) e (D!
b
a
f x dx
a
= F(x)| =F(b) -F(a)
b
a
dx x
f( ) b a
Trang 52/ Tính & ' &D$ tích phân
a
dx
x
a
dx x
f( ) a
b
dx x
f( ) b
a
dx x
f( ) c
b
dx x
f( ) c
a
dx x
f( )
b
a
f x g x dx
a
dx x
f( ) b
a
dx x
a
dx x
kf( ) b
a
dx x f
k ( )
II/ BÀI 82
A/Bài 91 :
Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên
hàm thường dùng kết quả
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
3
3
1
(x 1)dx
4
2
4
2 1
x dx
Giải
3
3
1
(x 1)dx
3
3
x
b/
4 4
=(4 3cos ) [4 ( ) 3cos( )]=8
tg tg
2
2
1
x dx
2 1
x dx
1 1
x dx
2
(1 x dx)
1 (x1)dx
x
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
3
0
(x x 1)dx
2 1
e
x x
1 2
x dx
1 1
x dx
2
3
(2 sinx 3cosx x dx)
0 (e xx dx)
0 (x x x dx)
1 ( x1)(x x1)dx
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
0 (e xx 1)dx
1 (x x x x dx)
1 ( x1)(x x1)dx
3
3
1
x 1 dx
2 x.dx 2 -1 x
2
e 7x 2 x 5
dx x
1
2 x 2
16 2 x 1 dx 17 18 19
2
ln
3
3 x 6
cos sin
4 tgx dx 2
cos
0
x
1 e dx
2
0
sin
Lop12.net
Trang 624 25 26 27
1
2
) 1 2
0
3
) 3
2 2
2
) 3 (x dx
3
2 ) 4
28 dx 29 30 31
x
x
2
1
3
2
1
1
2 1 3
2 2
dx x
x x
e
e
x dx
1
1
.dx x
x
x x
e
2
1
7 5
2
dx x x
8
1 4
2 0
0 ( x 2)
Bài 2 : Tính các tích phân sau:
3
3
2
1dx
0
2
3
4x dx
0
dx m x
2
2 sin
dx x
dx x
sin
6
2 2
2 cot
dx x g x
3
4
2 sin
dx
0 cos
5
2
) 2 2
0 4
3
2
3 cos cos cos
dx x x x
2
0
1 sin xdx
5
3
( x 2 x 2 )dx
2 1
2
1
x
0
2 4dx
0
1 cos2xdx
Bài 3 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
Dạng 1: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx bằng phương pháp đổi biến.
b
a
Phương pháp giải:
b1: Đặt t = (x) dt = '( ) dxx
b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được
Ví duï : Tính tích phân sau :
a/ b/
1
2
0
1
x
x x
0
3
J x x dx
Giải:
a/ Đặt t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0 t =1 ; x = 1 t = 3 Vậy I=
3 3
dt
t
t
b/ Đặt t= x2 3 t2= x2+ 3 tdt = x dx
Đổi cận: x = 0 t = 3 ; x = 1 t = 2 Vậy J =
2
2
1 (8 3 3)
t
t dt
Dạng 2 Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần :
b a
u dvu v v du
Trang 7Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân suy ra kết quả
b
a
vdu
Chú ý:
a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho dễ tính hơn nếu khó hơn phải tìm cách
b
a
vdu
a
udv
đặt khác
b/Khi gặp tích phân dạng : ( ) ( )
b
a
P x Q x dx
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I= b/J=
2
0
.cos
x x dx
1
.ln
e
x x dx
Giải a/ Đặt : (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
vậy I=x cosx 2 - = cosx = -1
0
2
0
sin x dx
0
b/ Đặt :
2
1 ln
2
v
Vậy J= lnx -
2 2
x
1
1
e
x
B/Bài
Tính các tích phân sau bPng phR pháp C ? %
Bài 1 :
2 sin
0
.cos
x
2 2
0
1 x x dx
3 8 2
8
4 sin 2
dx x
0
cos x sin xdx
1
x
x
e
dx
e
0
sin x xd
ln 2 2 1 0
e
x
0
sin 2 cosx x xd
1
1 ln
e
x
dx
0
Lop12.net
Trang 8Bài 2 :
24
0
3 5
2 3
5
d
9 25
x x
3tan 5
2
0
sin xcos xdx u cosx
d) e) T ) g)
4
2
5
x
dx
x
4
2 4
1 tan
d cos
x x x
1 tan
0
2
1 1 0
24 0
Bài 1 :
4
1
ln d
e
x x x
2 2 6
d sin
x x
x
0
sin d
0 1
0
1
ln d
e
0
ln(1 x)dx
0
2
2
1
d
x x x
0 x
x e dx
4 2
0 cos
x dx
1
ln
e
2
2 ln(x x 1).dx
2 0 cos
x
e x dx
Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
2 1
x
2 b/
1
Bài tập đề nghị:
Tính các tích phân sau:
1/I= 2/J=
2 3 22
1
dx x
4 2 3
1
dx x
b/Dạng bậc 1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính
Trang 9Trửụứng hụùp maóu soỏ coự 2 nghieọm phaõn bieọt:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn : 2 ( )
2 1
6
x dx
-ũ
Giaỷi
2
6
x
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vaọy ta coự:
=
2
2
1
6
x dx
1 1
-ũ
Trửụứng hụùp maóu soỏ coự nghieọm keựp:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn :
1 2 0
x dx
+
ũ
Giaỷi CI:
2
x
1 0
5
ln 4 2
Ax -2A+B= 0
x dx
dx
1
0
5 (2ln x-2 - )
x-2 5 ln 4
2
Trửụứng hụùp maóu soỏ voõ nghieọm:
Vớ duù: Tớnh caực tớch phaõn :I=
0 2 1
x dx
ũ
Giaỷi:
5
2
0
1
4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln 3 ln
3
0
2 1
5
(x 1) 3dx
TC quỏt: tính r(x) với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x)
dx g(x)
+ Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức, tam thức bậc hai vô nghiệm
+ Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
1
x a x b x a x b
2
1
vụựi b ac
x m
1
x m
+ Tìm các hệ số A,B,C
Lop12.net
Trang 10Baứi taọp ủeà nghũ: Tớnh caực tớch phaõn sau:
3
2
2 3
1 2
dx x x
x
b
a
dx b x a
(
1
1 0
3
1
1
dx x
x x
4 2
2 3 2
1
dx x x x
0
3 2
) 1 3
x
0
2 2
) 3 ( ) 2 (
1
dx x
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
x
x
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
2
2 2 4
) 1
x
1 0 2
3 2
) 1
x
n
n
2 1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
2
x
dx
13.3 14 15 16
2
3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
3
2
dx x
x
dx x
x
1
0
3 1
2 2
0
1
1 2 1 2
2
dx x x
x
x
x
2
0
1 2
1 3
dx x
x x
1 0
2
3
3 2
dx x x
x x
0
1
2
1 2 1
1
dx x x
x x
1
0
2
1 1
2 2
1 2
0
1
5 6dx
5 2 4
1 2
x dx
4 2 2
x
dx
2 1
2 0
1 1
x dx x
2
2
2 2
dx x
1
0
2 2
2
3x x
0
3
2 3
x dx x
0
1
dx x
2 2
2
x
dx
2 3
9
2 1
x dx x
1 5
2 2
1
1 1
x
dx
x x
0
1
1
1 4
6 0
1 1
x dx x
1 2001
1002 2
0 1
x
dx x
5 2
0 1
x dx x
2 1
2 2 0
1 1
x dx x
2
1
dx
x x
1
dx
xx
0 2 3
1 2
3
x x
dx
2012 1
1
x
dx
Daùng 5: TíCH PHÂN HàM Số VÔ Tỷ
I/ Cách giải: Thường sử dụng các cách đặt sau:
) (
,
d cx
b ax
n u(x)
2
,
a a
b x a c bx ax
4
) 2
2 2
2 2
2 2 ,
x
dx
dx a
x2
dx dv
a x
ax bx c
dx
n
mx
2
)
(
n
mx
x ax bx c
dx
2 )
(
0 a
t
x 1
Trang 11d
cx
b
ax
d cx hayt d cx
b ax
+ Rx;n u;m udx Thường đặt t k u O) k là BCNN "# m và n.
Cỏc phộp % Euler:
+ ST ax2 bxc =x t± c Nờỳ c>0
II Bài tập: Tính các tích phân sau:
5
2
4
x
x
dx
1 0
2 3
1 x dx x
1 0
2
1
x x
x
11 x 1dx
2 3
1
1dx
x x
0 1
x dx x
3
0
1
x x dx
0
3 5
1 x dx x
1
1 x dx x
1
0
2
2 2
x
dx
x x
1 dx x
x
2
xdx
1 x 2x 1
dx
3 0
2 3
1 x dx
0
2
4dx x
0
2 3
1 x dx
x
7 3 3 0
1
x dx x
3 5
1
2
dx x
x x
1
(x 1) x 2xdx
1 2
2 1
2
dx
3 2
5 x x2 4
dx
2
1
dx
x x
4 x
1 x 1 x
11 x 1dx
2 3
2 1
dx
x x
dx
2
dx 2
3
0
x x x dx
Daùng 6: Tớnh tớch phaõn cuỷa moọt soỏ haứm lửụùng giaực thửụứng gaởp
Daùng: sin cosax bxdx, sinax.sinbxdx, cosax.cosbxdx
Phửụng phaựp giaỷi:
Duứng coõng thửực bieỏn ủoồi tớch thaứnh toồng ủeồ taựch thaứnh toồng hoaởc hieọu caực tớch phaõn roài giaỷi
Daùng: sinn ; cosn
Phửụng phaựp giaỷi: Neỏu n chaỹn duứng coõng thửực haù baọc, n leỷ duứng coõng thửực ủoồi bieỏn
Lop12.net
Trang 12Ví dụ :
1 cos2
2
n
x
Dạng: R(sin ).cosx xdx Đặc biệt:
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
Dạng: R(cos ).sinx xdx Đặc biệt:
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
4
0 sin 3 cos x x dx
0
sin xdx
0
cos xdx
0 cos xsin xdx
Giải
4
0 sin 3 cos x x dx
0
x in x dx
b/
0
2 3 0
cos xdx
cos cos x x dx (1 sin x).cos x dx
đặt u=sinx du = cosx dx
x=0 u=0 ; x= u=1 vậy: I=
0 0
2
u
u du u
2
0 cos xsin xdx
cos xsin x.cos x dx (1 sin x)sin x.cos x dx
đặt u=sinx du = cosx dx
x=0 u=0 ; x= u=1 J=
0
2
Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:
2
0
2
cos
sin
2 0
3 2 cos sin
xdx
0
5 4 cos sin
0
3 3
) cos (sin
dx x
Trang 130
4 4
) cos (sin
2
cos
dx x x
0
2 2
) cos cos
sin sin
2 (
dx x x
x
3 sin 1
dx x
9 10
0
4 4 10
10
) sin cos cos
(sin
dx x x x
x
2
0
Cosx
dx
2 sin x
0
2 3
cos 1 sin
dx x x
11.3 12 13 14
6
4
cos
sin
dx
4 0 3
xdx
6
3 cot
0 sin
0
2
3
cos
sin
dx
x
x
0
3 2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x
0
2 cos
xdx
0
1 2 2 sin
dx e
x x
0
2
2
sin xdx
0
2 cos ) 1 2 (
2 sin 2 sin 7 2
0
3 sin
cos sin
2
xdx x
e x
0
) 1
ln(
dx tgx
3
2 4 sin
0 1 cos
x dx x
2
2
3 cos 5 cos
xdx
2
2
2 sin 7 sin
xdx x
27 4 28 29/ 30/ 31/ 0
2
sin
0
cos 2 sin
xdx
4 0
cos x dx.
2 3 3 0
sin x.cos x dx
2
0
sin x.cos x dx.
6
1 sinx dx
2 7 4 0
sin x.cos x dx.
6
0
1 cosx dx
T UV BÀI TOÁN TÍCH PHÂN !Y/ Z
a/ Cách
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
e% hàm f(x) liên E và là hàm p trên [-a; a] thì ( ) 0
a a
f x dx
e% hàm f(x) liên E và là hàm q trên [-a; a] thì
0
a
f x dx f x dx
Vì các tính - này không có trong QL lý !% "# SGK nên khi tính các tích phân có >a này ta
có h t minh sau:
0
I f x dx f x dx f x dx
0
0
a a
[) 2: Tính tích phân 0 ( )
a
J f x dx
?P QR pháp C ? % ST t = – x – e% f(x) là hàm p thì J = –K I = J + K = 0
– e% f(x) là hàm q thì J = K I = J + K = 2K
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
Lop12.net
...-? ?
Giaỷi
2< /small>
6
x
A(x-3)+B(x +2) =5x-5 cho x = -2 A=3 cho x=3 B =2 vaọy ta coự:
=
2< /small>... bieỏn
Lop 12. net
Trang 12< /span>Ví dụ :
1 cos2
2
n... x2< /sup>dx 19 xln(1x2< /small>)dx
20 2< i>x xdx 21 x lg xdx 22 2< i>xln(1