Kẻ thêm đường phụ để giải một số bài Toán hình học 7

Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta [r]

PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lí luận

- Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực

tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’

- Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh :

 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;

 Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất

 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí Chú trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp và

kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học

- Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?

Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo

Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức các môn học

II Cơ sở thực tế

- Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những môn quan trọng nhất nhưng có thể nói là khó nhất Ở trường THCS, học sinh được học ba phân môn của toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học Trong ba phân môn đó thì học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học

- Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn Thậm chí

có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp

- Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên

đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất

ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn

- Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết về việc kẻ thêm đường phụ trong hình học 7, nhưng những tác giả đó mới chỉ nêu được một số cách hoặc nêu được nhưng chưa đầy đủ và không chỉ rõ khi nào thì kẻ thêm đường phụ ấy Vì vậy, tôi viết sáng kiến

“Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7” nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra.

PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I THỰC TRẠNG

- Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinh thường gặp một số khó khăn sau đây :

 Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ

 Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ

 Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải bài toán

 Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bài toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy

- Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo một cách gồm các bước sau:

 Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?

 Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau

 Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng bằng nhau

Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học

7 nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ

1 Vẽ giao điểm của hai đường thẳng

a) Mục đích

Vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng nhằm làm xuất hiện tam giác mới có mối liên

hệ về góc và cạnh với các tam giác đã có trong hình vẽ

b) Sử dụng khi nào?

Ta thường dùng cách vẽ này khi giữa hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) thường chưa hoặc ít có mối liên hệ về độ dài, về góc

Ví dụ 1 Cho ∆ABC có  0

A>90 ,AB < AC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,

vẽ tia Bx vuông góc với BC; trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC Trên nửa mặt phẳng

bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA; trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA Chứng minh rằng DA⊥ EC

Phân tích :

- Để chứng minh DA ⊥ EC, ta

có thể sử dụng tính chất từ song song và

song song đến vuông góc, nhưng rất

khó tìm ra đường thẳng thứ ba trên hình

vẽ có quan hệ vuông góc và song song

với DA và EC (H 1a)

- Ta có thể nghĩ đến việc chứng

minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

900 Như vậy cần phải vẽ thêm giao

điểm của hai đường thẳng này Kéo dài

DA cắt BC và EC theo thứ tự tại H và K

(H 1b) Ta phải chứng minh HKC=900

- Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy ra D1= C1 nên để chứng minh HKC=900 ta chứng minh HKC= HBD (vì  0

HBD= 90 )

- Để chứng minh HKC= HBD ta có thể so sánh các cặp góc của hai tam giác là

∆HBD và ∆HKC Rõ ràng hai tam giác này đã có hai cặp góc bằng nhau nên ta dễ dàng tìm

ra lời giải của bài toán

Giải : (H 1b)

Gọi H, K theo thứ tự là giao điểm của DA với BC, EC

Xét ∆ABD và∆EBC có :

AB = BE (gt)

1 3

B =B (cùng bằng 0 

2

90 −B )

AD = BC (gt)

Suy ra ∆ABD = ∆EBC (c.g.c)

Do đó D1 =C1.

Xét ∆HBD và∆HKC có D1= C1 (cmt), H1= H2 (đối đỉnh) nên HBD= HKC.

Suy ra  0

HKC=90 (vì  0

HBD=90 ) hay HK⊥ EC

Vậy DA⊥ EC (đpcm)

Nhận xét :

a)

2 1 1

1 3

1 2

Hình 1

H K

D

E

D

E

A

B

A

B

Rõ ràng nếu ta không vẽ thêm giao điểm thì rất khó tìm ra lời giải của bài toán Việc vẽ thêm giao điểm của các đường thẳng làm xuất hiện mối liên hệ giữa các góc của hai tam giác

và việc chứng minh bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 2 Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Gọi C là một điểm thuộc tia Ax Đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D Chứng minh rằng CD = AC + BD

Phân tích :

- Để chứng minh CD = AC + BD (H 2a) ta cần tìm ra một đoạn thẳng trung gian để

so sánh Từ đây ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết :

Một là, trên CD lấy một điểm I sao cho CI = CA (H 2b) Như vậy ta cần phải chứng minh DI = DB Nhưng để chứng minh được điều này lại không hề đơn giản

x

y x

y

x

y

c)

2 1

2 1

Hình 2

I

D

O

D

O

E

D

A

C

Hai là, kéo dài CO cắt DB tại E (H 2c) Dễ dàng chứng minh AC = BE và CD = DE

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

Giải : (H 2c)

Gọi E là giao điểm của CO và DB

Xét ∆OAC và ∆OBE có :

OAC=OBD=90

OA = OB (gt)

1 2

O =O (đối đỉnh)

Nên ∆OAC = ∆OBE (g.c.g), suy ra AC = BE và OC = OE

Xét ∆OCD và ∆OED có :

OC = OE (cmt)

DOC= DOE=90

OD là cạnh chung

Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy ra CD = DE

Mà DE = BD + BE = BD + AC

Vậy CD = AC + BD.

Nhận xét :

Nhờ vẽ thêm giao điểm ta đã làm xuất hiện các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau Hơn nữa, sự xuất hiện một đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việc chứng minh trở nên đơn giản hơn rất nhiều

2 Kẻ thêm đoạn thẳng

a) Mục đích

Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam giác đều

b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng

 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ

Ví dụ 3 Cho hình vẽ 1, trong đó AB // CD, AD // BC Chứng minh rằng : AB = CD,

AD = BC

Phân tích :

- Để chứng minh AB = CD,

AC = BD ta cần tìm ra hai tam giác

chứa các cạnh này bằng nhau Nhưng

trên hình vẽ lại không có hai tam giác

(H 3a) Như vậy, ta cần tạo ra hai tam

giác chứa các cặp cạnh trên

- Đường phụ cần vẽ là đoạn thẳng nối A với C hoặc nối B với D (H 3b)

Giải : (H 3b)

Nối A với C

Xét ∆ADC và∆CBA có :

1 1

A =C (so le trong, AB // CD),

AC chung,

2 2

A =C (so le trong, AD // BC)

nên ∆ADC = ∆CBA (g – c - g)

Suy ra AB = CD, AD = BC

Nhận xét :

- Rõ ràng hình vẽ không có yếu tố nào bằng nhau để chúng ta sử dụng Việc nối A với C (hoặc B với D) làm xuất hiện hai tam giác (∆ADC và ∆CBA) với các cặp góc bằng

Hình 3

2

1

1

2

B A

D

nhau ( A1=C1, A2 =C2) và một cạnh chung AC Từ đó ta có hai tam giác bằng nhau và suy

ra các cạnh tương ứng bằng nhau

- Đây là một bài toán không khó nhưng nếu học sinh suy luận không tốt thì cũng khó tìm ra đường phụ để giải bài toán

 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác

Chúng ta thường dùng một trong các cách như sau :

- Lấy trung điểm của một đoạn thẳng ;

- Dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã có trên hình vẽ

Ví dụ 4 Cho ∆ABC Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC CMR :

a) DE // BC ; b) DE 1BC

2

=

Phân tích :

- Để chứng minh DE // BC ta cần chứng minh một cặp góc đồng vị hoặc một cặp góc

so le trong bằng nhau Ta có thể nghĩ đến việc chứng minh D1= Bvì cặp góc này ở vị trí đồng vị (H 4a)

c)

1 1

Hình 4

1

F E

D E

D

I

E D

C

A

B B

A

A

B

- Từ DE 1BC

2

= ⇔ BC = 2DE Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC hoặc bằng 2DE

- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng nửa BC, ta có thể lấy trung điểm I của BC (H 4b) Nhưng khi đó các tam giác trong hình vẽ ít có mối liên hệ về cạnh và góc

- Kết hợp với việc chứng minh D1 =B và 1

DE BC

2

= , ta nghĩ tới việc chứng minh hai tam giác bằng nhau Nhưng không thể tìm ra hai tam giác bằng nhau trong hình 9 Do đó

ta có thể nghĩ đến việc vẽ thêm đường phụ bằng cách tạo ra một đoạn thẳng bằng DE

- Để tạo ra một đoạn thẳng bằng DE, ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia ED sao cho DE = EF (H 4c) Kết hợp giả thiết EA = EC, ta thấy ngay hai tam giác EAF và ECD bằng nhau (c.g.c) Từ đó ta có thể tìm ra lời giải của bài toán

Giải : (H 4c)

Trên tia đối của tia của tia ED lấy điểm F sao cho ED = EF

Xét ∆EAF và∆ECD có :

EA = EC (gt)

 

AEF=CED (đối đỉnh),

ED = EF (cách dựng)

nên ∆EAF = ∆ECD (c.g.c)⇒AF = CD, A1 =C1.

Hai góc A1 và C1 ở vị trí so le trong bằng nhau nên AF // CD

Xét ∆ADF và∆DBC có :

AD = DB (gt)

 

DAF=BDC (đồng vị, AF // CD)

AF = CD (chứng minh trên)

nên ∆ADF = ∆DBC (c.g.c) DF = BC, D1= B.

a) Hai góc D1 và B ở vị trí đồng vị bằng nhau nên DE // BC

b) Ta có DF = 2DE (cách dựng), BC = DF (chứng minh trên) nên DE 1BC

2

Nhận xét :

- Ta có thể lấy điểm F trên tia đối của tia DE sao cho DE = DF Khi đó việc chứng minh hoàn toàn tương tư như trên

- Ta vẽ thêm đoạn thẳng EF bằng DE trên tia đối của tia ED (hoặc DE) Câu hỏi đặt

ra là tại sao lại phải vẽ như vậy mà không vẽ theo kiểu khác Vì vẽ như vậy thì chúng ta mới

sử dụng được giả thiết là DA = DB và EA = EC Rõ ràng việc làm này rất có lợi hơn khi vẽ theo kiểu khác

Ví dụ 5 Giải lại Ví dụ 2 bằng cách tại ra hai đoạn thẳng bằng nhau.

Giải : (H 5)

Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC

Xét ∆OAC và ∆OBE có :

OA = OB (gt)

OAC=OBD=90

AC = BE (cách dựng) Nên ∆OAC = ∆OBE (c.g.c), suy ra OC = OE và O1= O2.

COE=O + BOC= O +BOC= AOB=180

DOE= COE−COD=180 −90 =90

x

y

1 2

Hình 5 E

D

O

C

Xét ∆OCD và ∆OED có :

OC = OE (chứng minh trên),   0

DOE=DOC= 90 , OD là cạnh chung Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy ra CD = DE Mà DE = BD + BE và BE = AC

Vậy CD = AC + BD

3 Kẻ thêm đường phân giác

a) Mục đích

Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hiện hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng

nhau, tam giác cân, tam giác đều, …

b) Sử dụng khi nào?

Ta thường dùng cách vẽ này khi muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, … ) vào hai tam giác có mối liên hệ về góc, về cạnh

Ví dụ 6 Cho ∆ABC có B=C. Chứng minh AB = AC.

Phân tích :

- Để chứng minh AB = AC, ta phải

chứng minh hai tam giác chứa hai cặp cạnh

này bằng nhau Nhưng trên hình vẽ không có

hai tam giác bằng nhau (H 6a) Như vậy, ta

có thể nghĩ đến việc tạo ra hai tam giác có

chứa hai cạnh AB và AC bằng nhau

- Đường phụ cần vẽ là tia phân giác

của góc A (H 6b)

Giải : (H 6)

Kẻ phân giác của góc A, cắt BC tại M

∆AMB và ∆AMC có B=C (gt), A1= A2 (cách dựng) nên AMB=AMC.

Xét ∆AMB và∆AMC có :

1 2

A =A (cách dựng)

AM chung

 

AMB=AMC (chứng minh trên)

nên ∆AMB = ∆AMC (g.c.g) ⇒AB = AC

Nhận xét :

- Vẽ tia phân giác AM là ta đã tạo ra một cặp góc bằng nhau ( A1= A2) và một cạnh chung (AM) của hai tam giác (∆AMB và ∆AMC) Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm ra lời giải của bài toán

- Có hai cách vẽ khác : dựng AM⊥BC hoặc dựng M là trung điểm của BC

Hình 6

2 1

M

A A

Ví dụ 7 Cho ∆ABC có A= 600 Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E Chứng minh rằng BC = BE + CD

Phân tích :

- Gọi I là giao điểm của BD và CE (H 7a), ta dễ dàng tính được :

BIC=120 , BIE= CID= 60

- Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết như sau : + Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BE = BM (H 7b) Từ đó cần chứng minh

CD = CM

BIC=120 , BIE= CID= 60 nên nếu gọi M là giao điểm của tia phân giác



BIC với cạnh BC thì   0

BIM=CIM=60 , suy ra BIE = BIM,CIM =CID. Từ đó ta dễ dàng tìm ra lời giải

Ở đây, tôi chỉ trình bày cách thứ hai

1 2

1 2 2

4 3

Hình 7

3 4 1

2 1 1

2

I

M

I

M

I

B

B B

A

Giải : (H 7c)

Gọi I là giao điểm của BD và CE Ta có   0 0 0

B+ =C 180 −60 =120

B +C =120 : 2=60

BIC=180 −(B + C )= 60 và I 1= =I4 600 (tính chất của góc ngoài tam giác).

Kẻ tia phân giác của góc BIC, cắt BC ở D Suy ra I2 = =I3 600.

Xét ∆BIE và ∆BID có :

1 2

B = B (gt), BI là cạnh chung, I 1= =I2 600

Do đó ∆BIE = ∆BIM (g.c.g), suy ra BE = BM (1)

Chứng minh tương tự, ∆CID = ∆CIM (g.c.g) Suy ra CD = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC = BM + CM = BE + CD

Nhận xét :

BIC=120 , BIE= CID= 60 nên việc kẻ tia phân giác của góc BIC ta thấy xuất hiện các cặp góc bằng nhau Từ đó xuất hiện các tam giác bằng nhau