Hình chiếu của đường thẳng d theo phương chiếu d’ trên mặt phẳng P cho sẵn Giống như cách phân tích trên , dựa vào định nghĩa phép chiếu song song thì đường thẳng d’’là hình chiếu của d [r]
Trang 1PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
<1> Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2> Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm
A,B,C,D
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt
các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n
=(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT n
Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q) VTPT n
P = n
Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n
P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng
d
- Từ (d) VTCP u
d =(A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n
P=u
d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n
P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và (Q) , (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n
Q; VTPT n
R
- Vì (P) (Q) và (R) VTPT n
P n Q
và n
P n R
Chọn n
P = [n
Q; n
R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n
P = [n Q; n
R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính AB
, AC
và a
= [ AB
, AC
]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n
P= a
= [ AB
, AC
]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và (Q)
- Tính AB
, vtpt n
Q và tính [AB
,n Q]
- Vì A, B(P) ; (Q) (P) nên chọn n
P=[ AB
,n
Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ; (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT n
Q của mp (Q); VTCP u
d của đường thẳng (d).
- Tính [u
d,n
Q]
- Vì (P) (Q) và // (d) nên VTPT n
P = [u
d,n Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà AB
- Mp (P) đi qua I và nhận AB
làm VTPT
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP u
d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính AM
và [u
d, AM
]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n
P =[u
d, AM
]
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ()
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d)
- Từ () VTCP u
và tính [u
d, u
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n
= [u
d,u
]
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và (Q)
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M(d)
- Từ (Q) VTPT n
Q và tính [u
d, n
Q]
Trang 2- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n
=[u
d, n Q].
Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M(d)
- Vì (d) nằm trong (P) u
d. n P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P)
Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d)
- Vì d (P) u
d. n
P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P)
Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt()một góc 900
- Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d) VTCP u
d và điểm M (d)
- Vì d (P) u
d. n P=0 (1)
- Tính sin ((P),( )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P))
là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max AK = AH KH
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= Rtìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r2 tính r
- d(I,(P)) = R2 r2(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được
pt (P)
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
Trang 3- Từ (d) VTCP u
d và điểm M(d)
- d (P) u
d. n
P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P)
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = r2 tính r
- Vì d (P) u
d. n
P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là n
P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, chọn M trên đường thẳng d
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P)
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S)
tại 2 điểm)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = R2 d2( ,( )) I p để r min d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu của I lên (d) ; K là hình chiếu của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IKIh ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH
- PT mp(P) đi qua H và nhận IH
làm VTPT
PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u
=(a,b,c)
PP: phương trình tham số của d là (d):
0 0 0
x x at
y y bt
z z ct
với tR
* Chú ý : Nếu cả a, b, c 0 thì (d) có PT chính tắc
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d)
thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính AB
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB
làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ()
- Từ pt() VTCP u
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u
làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là n
P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u
d= n P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2) VTCPd d l1, 2 à u à u 1v 2 => tính [u 1
,u 2 ]
- Vì (d) (d1),(d2) nên có VTCP u
d=[u 1 ,u 2 ]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u
d=[u 1 ,u 2 ]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
Trang 4(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- Từ (P) và (Q) n
P ,n Q
- Tính [n
P ,n
Q]
Ax + By + Cz +D =0
A x B y C z D 0
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u
d =[n
P ,n
Q]
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d' = (P)(Q)
Cách 2: + Tìm A = d ( ) P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:
Cách 1 *Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
* Tìm B = ( ) d2
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) P ( ) Q
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = ( ) d2
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
* Viết pt mp( ) qua A và chứa d1
* Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp( ) , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) P ( ) Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
* Tìm B = ( ) P d '
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho
trước
- Tìm giao điểm A=d1 ( ) P và B=d2 ( ) P
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng
d' tại giao điểm I của (P) và d'
* Tìm giao điểm I' = d' ( ) P
* Tìm VTCP u
của d' và VTPT n
của (P) và tính v [u,n]
* Viết ptđt d qua I và có VTCP v
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau
d1, d2 :
- Gọi M x ( 0 at y , 0 bt z , 0 ct ) d1,
Trang 5và N x ( 0' a t y ' ', 0' b t z ' ', 0' c t ' ') d2
là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
, '
t t
- Thay t, t' tìm M, N Viết ptđt đi qua M,N
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài
đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường
thẳng d1,d2
* Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
* Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
* Đường thẳng d = ( ) Q ( ) R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường
thẳng d1
- Viết pt mp( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = ( ) d1
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc
(0 ;90 )
(= 300, 450, 600)
* Gọi VTCP của d là u ( ; ; ), a b c dk a : 2 b2 c2 0
* Vì d d1u u 10=>phương trình (1)
Vì
2 2
u u cos
u u
=> phương trình (2)
Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc (0 ;90 )0 0 thì có
P P
u u sin
u u
)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc
(0 ;90 )
- Gọi VTCP của d là u ( ; ; ), a b c dk a : 2 b2 c2 0
- Vì d//(P) nên u n p 0=> phương trình (1)
- Vì
1 1
1
( , )
u u
nên có phương trình (2)
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( ; ; ) a b c
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc
(0 ;90 )
- Gọi VTCP của d là u ( ; ; ), a b c dk a : 2 b2 c2 0
- Vì d(P) nên u n p 0=> phương trình (1)
- Vì
1 1
1
( , )
u u
nên có phương trình (2)
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( ; ; ) a b c
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến
d bằng h
Trang 6* Gọi VTCP của d là u ( ; ; ), a b c dk a : 2 b2 c2 0
* Vì dd1 nên u n 1 0=> phương trình (1)
* Vì
[ , ] ( , )
u
u AM
=> phương trình (2)
*Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u ( ; ; ) a b c
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M có véc tơ pháp
tuyến n
Ví dụ : Lập mặt phẳng P
a) Đi qua điểm M1, 2, 4 và song song với mặt phẳng :
2x+3y +5z-10=0
b) Đi qua điểm M( 0,2,-1 ) và vuông góc với đường thẳng d:
x y z
c) Đi qua M(1,0,-4 ) và vuông góc với giao tuyến của hai
mặt phẳng ( ): x y z 1 0 : 2 x y z 3 7 0
Dạng 2: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M ,có cặp vec tơ chỉ
phương
Ví dụ 1 Lập mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4)
2 Lập mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời // với 2
đường thẳng chéo nhau cho sẵn
Ví dụ :Cho 2 đường thẳng
8
8
a) Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau
b) Viét phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả
1, 2
d d
3 Lập mặt phẳng P chứa một đường thẳng và // với một
đường thẳng khác (hai đường thẳng này chéo nhau )
Ví dụ :(ĐHKA-2002) Cho là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x-2y+z-4=0 và (Q): x+2y-2z+4=0 , đường thẳng:
' :
1 2
y t t R
a) Lập mặt phẳng (R) ,chứa và // ' b) Tìm điểm H thuộc sao cho MH đạt GTNN ,với
M(2,1,4)
Trang 7Ví dụ 2: (ĐHKB-2006) Trong không gian OXYZ,cho hai
đường thẳng
1
2
1 Viết phương trình mặt phẳng qua A(0,1,2 ),đồng thời //
với d d1, 2
2 Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm
A,M,N thẳng hàng
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxyz , cho đường thẳng d có
1 2 3
x y z
và mặt phẳng P có phương trình : x- y +3z +2 =0
1 Tìm toạ độ giao điểm M của d và P
2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng P
4 Lập mặt phẳng chứa hai dường thẳng // hoặc cắt nhau:
Ví dụ 1:( Bài6-Ôn chương III-tr110 -HHKG12NC )
Cho hai đường thẳng d
:
7 3
1 2
a) Chứng minh d và d' đồng phẳng Viết phương trình mặt
phẳng P chứa chúng
b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi P và 3 mặt phẳng toạ độ
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên
Ví dụ 2.(ĐHKD-2005)
TRong Oxyz cho hai đường thẳng
1 2 1
3 1 2
là giao tuyến của hai mặt phẳng
:x+y-z-2=0,và x+3y-12=0 a) Chứng minh d1,d2 // nhau Viết phương trình P chứa hai
đường thẳng d1,d2
b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ )
5 Lập mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đương thẳng cho sẵn
Ví dụ 1 (Bài 4.tr110-HH12NC)
Cho điểm A(2,3,1) và hai đường thẳng :
2
2
x t
d y t t R d
z t
a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và d1 b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A và d2
Ví dụ 2.
Trong Oxyz cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng P :
2x+2y-z+1 = 0 a) Gọi M1,là hình chiếu vuông góc Mlên mặt phẳng P.Xác
định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1
b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm M và chứa
x y z
6 Lập mặt phẳng P,tiếp xúc với mặt cầu
Trang 8Ví dụ (Bài 87-tr137-BTHH12NC )
Trong Oxyz cho mặt cầu S có phương trình :
2 2 2
10 2 26 113 0
x y z x y z
Và hai đường thẳng d
7 3
8
z
a) Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông
góc với d
b) Viết phương trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với
cả d và d'
Ví dụ 2 (Bài 9-tr111-HH12NC )
Cho mặt cầu S có phương trình :
2 4 6 0
x y z x y z
1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu
2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tương đối của cầu S và mặt
phẳng P : x+y-z+k=0
3 Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C khác
với gốc O.Viết phương trình mặt phẳng ABC
4 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B
5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với
mặt phẳng Q có phương trình : 4x+3y-12z-1=0
ĐƯỜNG THẲNG
-Trước khi phân dạng lập phương trình đường thẳng các em
cần chú ý đến khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
: Là véc tơ có phương song song với đường thẳng
-Vì vậy véc tơ này có thể là véc tơ chỉ phương của một
đường thẳng khác song song với đường thẳng cần lập , hoặc
là véc tơ pháp tuyến của một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cần lập
-Ngoài ra còn chú ý đến các quan hệ vuông góc , quan hệ song song của đường thẳng với đường thẳng , quan hệ vuông góc , song song của đường thẳng với mặt phẳng trong không gian
- Do đó trước khi tiến hành các bước lập phương trình
đường thẳng chúng ta nên vẽ sơ bộ mô phỏng một hình vẽ ( không đòi hỏi phải chính xác ) , để từ hình vẽ ta tìm ra cách
giải hợp lý
1 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và có véc
tơ chỉ phương u a b c; ;
Ví dụ 1: ( Bài 6-tr89-HH12CBXB-2007) Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các
trường hợp sau : a/ d đi qua M(5;4;1) và có véc tơ chỉ phương a 2; 3;1
b/ d đi qua A(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng
:x y z 5 0.
c/ d đi qua B(2;0;-3) và song song với d’:
1 2
3 3 4
x t
z t
.
d/ d đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4)
2 Lập đường thẳng d đi qua M x y z 0; 0; 0 , đồng thời cắt hai đường thẳng chéo nhau (cho sẵn : d d1, 2 ).
Ví dụ 1 .(Bài 29-tr103-HH12NC).
Trang 9LËp đường th¼ng d ®i qua A(1,-1,1) vµ c¾t hai đường
th¼ng
d y t t R d y t t R
Ví dụ 2( HVKTQS-2000)
Cho hai đường thẳng :
2 4 8 6 10
: ; ' :
d d
Viết phương trình đường thẳng (m) song song với trục Ox
và cắt d với d’ tại M và N Tìm tọa độ M,N
Ví dụ 3 Cho đường thẳng
3
4
x t
y t t R z
và đường
thẳng ' là giao tuyến của hai mặt phẳng : x-3y+z=0 và
x+y-z+4=0
Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;2)
đồng thới cắt và '
3 Lập d song song với d1 đồng thới cắt d d2, 3 cho sẵn
Ví dụ 1: Cho 1
1
1
x
z t
, 2
1 2 2 :
1 4 3
d
và
3
4 5 '
'
z t
.
Lập phương trình đường thẳng d song song với d1 đồng thới
cắt d d2, 3
Ví dụ 2 Cho : 1: 1 6
1 2 3
x y z
d
và 2
1
3
x t
d y t
z t
a/ Chứng tỏ d d1, 2 chéo nhau
b/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Oz
đồng thời cắt cả d d1, 2
Ví dụ 3 ( ĐH-KA-2007)
2 1 1
x y z
d
1 2
3
d y t z
.
a/ Chứng tỏ d d1, 2 chéo nhau b/ Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q): 7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng d d1, 2
4 Lập đường thẳng d đi qua M0;y z0; 0 , vuông góc với d1
và cắt d2( với d d1, 2 chéo nhau cho sẵn )
Ví dụ 1.(ĐH-KD-2006).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và
hai đường thẳng :
1
2 2 3 :
2 1 1
1 1 1 :
1 2 1
Trang 10a/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường
thẳng d1.
b/ Viết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với
1
d và cắt d2.
Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz ,
cho hai đường thẳng :
1
1 2
:
3 1 1
, 2: 1 2
1
x t
d y t
z t
và điểm M(3;2;1)
a/ Lập phương trình đường thẳng d đi qua M vuông góc với
1
d và cắt d2
b/ Tìm tọa độ điểm A thuộc d1 và điểm B thuộc d2 sao cho
M,A,B thẳng hàng
Ví dụ 3.(ĐH-Dược-98).
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm
3 1 1
d
, 2
1 :
1
x
d y t
z t
Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với
1
d và cắt d2.
5 Lập đường thẳng d đi qua M , đồng thời vuông góc và cắt
đường thẳng d’ ( cho sẵn )
Ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;-2) vuông góc và cắt đường thẳng d’: x=t;y=1-t;z=2t
.
Ví dụ 2 (ĐH-KB-2004) Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm A(-4;2;4) và đường thẳng d có phương trình :
3 2 1
1 4
y t t R
Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua
A vuông góc và cắt d
Ví dụ 3.(ĐH- Thương mại -2001) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2;-1;0) vuông góc
và cắt đường thẳng d’ có phương trình : 5x 2 0
2z 1 0
y z
x y
6.Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( thuộc mặt phẳng (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( cho sẵn )
BÀI TOÁN Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d Hãy lập phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm A ( là giao của d với (P) ), nằm trong (P) và vuông góc với d
Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+y+z-2=0 và đường thẳng d : 1 2
2 1 3
x y z
.