31 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ CHO HSG THPT

Trên bài là 31 câu bất đẳng thức hay và khó do tôi sưu tầm và biên soạn. Chúng có thể giúp các bạn tăng khả năng làm bất đẳng thức , tạo thêm nhiều hướng tư duy mới lạ. Bài phù hợp với giáo viên dạy HSG và học sinh thi HSG.

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC

Biên soan: Thầy Đoàn Công Hoàng

Câu 1: Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu b c 3thức

Câu 2: Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn ab= +1 c a( +b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 3: Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x3 + y2 + =z 2 3+1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 12 13

Câu 4: Cho các số thực a b c, , thỏa mãn a2 +b2 +c2 =3abc

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

Giả sử a =0 khi giả thiết trở thành b2 +c2 =  = =0 b c 0

Giá trị của biểu thức là P = 0

+ đpcm Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Câu 6: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu b c 3.thức

+ Cộng các bất đẳng thức ( ) ( )1 , 2 và ( )3 ta được

9 32

Câu 9: Cho x y z , , 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

x P

max

1, 03

xyz

+ Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Câu 11: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca= Tìm giá trị lớn nhất của 1.biểu thức

2

Câu 12: Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x+ + =y 1 z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3

2

x y P

3 2

3

)()()

z x

z

y z

y

x

+

++

++

+ Áp dụng bất đẳng thức Cô si y z y z x x

z y

x

4

364

388

)(

3 3 2

3

=



++

++

+ Tương tự: z x z x y

x z

y

4

388

+++ (2)

z y x y x y x

z

4

388

++

+ Với mọi số thực dương a b, ta có ( )2

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= = b c

Câu 21: Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a+ + b c 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a b c P

3 38

+ Thật vậy, với a+ + b c 3 thì ( )

3 2

3 38

+ Trường hợp 2: Cả ba số đều lớn hơn 0

Không mất tính tổng quát, giả sử a   b c 0

Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh được

Câu 27: Cho hai số thực dương x y, thỏa mãn 1 1 1 3

+ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= = = b c 1.

Câu 29: Cho 3 số thực x y z, , thỏa mãn xyz =2 2 Chứng minh rằng