Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3... Theo chöông trình naâng cao Caâu 6b.[r]
Trang 1Trường THPT chuyên
Lương Văn Chánh
-ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn Toán
(Dành cho các khối A, B và V) Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số 1
1
x y x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm a và b để đường thẳng (d): y ax b cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua đường thẳng ( ): x2y 3 0
Câu 2 (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình 2 6 3
4
2) Giải phương trình sin cos( )
sin
3 1
x
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 3 2ln 2
0 1 3 1
x x
e dx I
e
Câu 4 (1 điểm) Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC
bằng 60o, góc giữa mặt phẳng (A'BD) và mặt phẳng đáy bằng 60o
1) Tính theo a thể tích hình hộpï
2) Tính theo a khoảng cách giữa đường thẳng CD' và mặt phẳng (A'BD)
Câu 5 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin( ) sin cos2
4
1 2
x y
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A( ; )1 4 , phương trình đường cao BH là x2y 9 0, phương trình đường phân giác trong CD là x y 3 0 Tìm hai đỉnh
B và C
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): 1 1 2 và mặt cầu (S):
x y z
(x1)2(y1)2 (z 3)2 9
a) Chứng minh (a) và (S) có hai điểm chung A, B phân biệt
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) biết ( ) qua A, B và cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn lớn của (S)
Câu 7a (1 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm
Trang 22 Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x1)2(y1)24 Một đường tròn (C') tiếp xúc với Oy và tiếp xúc ngoài với (C) Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): 2x y 0
2) Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng (a) và (b) có phương trình lần lượt là
x y z
x y z
a) Chứng minh (a) song song với (b), tính khoảng cách giữa chúng
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua (a) và vuông góc với mp(a, b)
Câu 7b (1 điểm) Tìm n nguyên dương biết
( )
1
n n
n
C C C nC
HẾT
Trang 3ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn Toán - Khối A, B & V
Chú ý: Dưới đây chỉ là bài giải gợi ý, học sinh có thể làm nhiều cách khác nhau miễn là suy luận
hợp lý và kết quả đúng thì vẫn được điểm tối đa của câu đó.
chi tiết
Điểm
TXĐ: D R \ 1
1
1 lim
1
x
x x
1 lim
1
x
x x
: đường thẳng là TCN
1
1
x
x x
0.25
' 2 2 0, suy ra hàm số tăng trong từng khoảng xác
( 1)
y
x
x D
định
Bảng biến thiên
0.25
Đồ thị cắt Ox tại (1; 0), cắt Oy tại (0; 1) và nhận giao điểm hai tiệm
cận làm tâm đối xứng
0.25
1.1
1
Phương trình của ( ) được viết lại: 1 3
y x Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với ( ) hay a 2
0.25
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm giữa (d) và (C):
1 2 (1)
1
x
2
2x (b3)x(b1) 0 Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B (1) có hai nghiệm phân
biệt 0 b2 2b17 0 b tuỳ ý
0.25
Gọi I là trung điểm của AB, ta có
3
3 2
2
I
x
b
0.25
1.2
Vậy để thoả yêu cầu bài toán
ton tai , ( )
à ï A B AB
b a
0.25
1
x 1
1
1
Trang 4Vậy khi a 2, b 1 thì thoả mãn yêu cầu bài toán.
3
6 ( 3)
4
y
3 ( )( ) 9
4
y
x y x y
0.25
Đặt u x y , v x y (u v , 0) ta được 2 2 9
4
u v
u v
3 4
uv
u v
3 1 1 3
u
v
u
v
3 1 1 3
x y
x y
x y
x y
9 1 1 9
x y
x y
x y
x y
5 4 5 4
x y x y
0.5
2.1
Kết hợp với điều kiện y 3, hệ đã cho có nghiệm duy nhất 5
4
x y
0.25
1
Điều kiện: sin 3x 1 Û x 6 k23 (1) 0.25
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với
sin 3 4 cos( ) 3 0
6
x x
Û cos(3 ) 4 cos( ) 3 0
x x
(với )
Û cos3u4 cosu 3 0
6
u x
Û4 cos3u7 cosu 3 0
Û
cos 1
1 cos
2 3
2
u u
Û
2 6
3
2
Û
6
6 2 2
0.5
2.2
Kết hợp điều kiện (1), ta có nghiệm của phương trình đã cho là
6
x k
0.25
1
Đặt u 3e x 1 Þ u2 = 3e x + Þ1 e x = u23-1 Þ 2
3
x
e dx= udu
Khi x =0Þ u = 2; x =3 ln 2Þ u =5
0.25
Khi đó
2
2
1 2.
2
u
-0.25
5
3 2
2
2
9 3 2
= ê - ú
0.25
3
2 125 25 8 4 19
éỉç ư ỉ÷ ç ư÷ù
= êççç - ÷÷- -ççç ÷÷ú =
0.25
1
4 Gọi O là tâm hình thoi Do ABCD là hình thoi nên AO^ BD, kết hợp 0.25 1
Trang 5với AA'^(ABCD) Þ A O' ^ BD ÞÐA OA' là góc giữa mp(A'BD) Þ
' 60o
A OA
Do ÐABC= 60o nên tam giác ABC đều Þ AO = 2a
Trong tam giác vuông A'AO, ta có ' tan 60 3
2
o
Do đó thể tích của hình hộp: . ' 2 3. 3 3 3
0.25
Theo chứng minh trên ta có BD^( 'A AO) Þ ( 'A BD)^ ( 'A AO)
Trong tam giác vuông A AO' , dựng đường cao AH, ta có AH ^ ( 'A BD)
hay AH = d A A BD( , ( ' ))
Do CD'/ /BA' nên CD'/ /( 'A BD) suy ra
d CD A BD( ', ( ' ))= d C A BD( , ( ' ))
= d A A BD( , ( ' )) (vì AO=CO)
= AH
= AO.sin 60o
3
4
a
=
0.5
B
A
C
D
2. sin cos
2 sin sin 3cos
y
-=
Trường hợp : ta có
2
x= y = 42
0.25
5
Trường hợp ( ; ]:
2
xỴ
2
2. tan 1
x y
-=
0.25
1
Trang 6Ta có
2
2 2 2
'( )
2
3
t
t
f t
ç - + - -÷ ç ÷
è ø ççè + ÷÷ø
=
ç - + ÷
+ +
ư÷
ç + çè - + ÷÷ø
Ta có f t ³'( ) 0 Û t2 + £ -3 1 t (vì t- t2 + <3 0)
Û t2+ £ -3 (1 t)2 Û t £ -1
Bảng biến thiên
0.25
Kết hợp hai trường hợp của x, ta có max 2,
3
4
Cạnh AC là đường thẳng qua A và vuông góc với BH nên có phương
trình 2(x- + - =1) (y 4) 0 Û 2x+ - =y 6 0
Đỉnh C là giao điểm của AC và CD nên toạ độ của C là hệ nghiệm của
hệ phương trình 2 6 0, suy ra
3 0
ìï + - = ïí
ï + - =
0.5
6a.1
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc CD, phương trình của (d):
(x- - - =1) (y 4) 0 Û x- + =y 3 0
Toạ độ giao điểm I của (d) và CD là nghiệm của hệ 3 0, suy ra
3 0
ìï - + = ïí
ï + - = ïỵ
(0; 3)
I
Gọi A' là điểm đối xứng của A qua CD, suy ra I là trung điểm của AA'
nên A -'( 1; 2)
Do CD là đường phân giác trong góc C nên đường thẳng CB đối xứng với
đường thẳng CA qua CD, suy ra CB là đường thẳng qua C, A' hay nhận
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình ' ( 4; 2)
CA =
-
(x- +3) 2(y- =0) 0 Û x+2y- =3 0
Đỉnh B là là giao điểm của BC và BH nên toạ độ của B là nghiệm của hệ
phương trình 2 3 0, suy ra
ìï + - = ïí
ï - + =
0.5
1
Đường thẳng (a) đi qua A(1;1; 2)- và có một VTCP là a = (1; 2; 2)-
Mặt cầu (S) có tâm I - -(1; 1; 3) và có bán kính R =3
0.25
6a.2
Ta có IA = (0; 2;1) Đặt n = êéëa IA , ùúû, ta có n = (6, 1, 2)- suy ra | |n = 41 0.25
1
t -¥ -1 0 f'(t) + 0
2 3
2 1.
2 2
2 1.
2 3
Trang 7Ta có ( , ( )) | | 41 nên đường thẳng (a) cắt (S) tại hai điểm
3
| |
n
a
= = <
A, B phân biệt
Do ( ) qua A, B và cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn lớn
nên ( ) chính là mặt phẳng qua (a) và tâm I của (S)
0.25
Và do đó ( ) là mặt phẳng qua I, nhận và a làn cặp VTCP nên
IA
nhận n = êéëa IA , ùúû làm một VTPT nên có phương trình là:
6(x- - + +1) (y 1) 2(z+ =3) 0 6x- +y 2z- =1 0
0.25
Số cần tìm có dạng abcde Để thành lập một số theo yêu cầu, ta thực
hiện:
Chọn ba trong năm vị trí của a, b, c, d, e để xếp vào ba chữ số 3,
có 3 cách chọn
5
C
Chọn hai chữ số trong bốn chữ số còn lại và xếp vào hai vị trí còn
lại, có A42 cách thực hiện
Vậy có tất cả 3 2 số thoả đề bài
5 4 120
C A =
0.5
7a
Trong các số nói trên, số chia hết cho 3 là số có tổng các chữ số chia hết
cho 3, mà có ba chữ số 3, nên hai chữ số còn lại có tổng chia hết cho 3,
có bốn trường hợp thoả mãn, đó là: 1 với 2, 1 với 5, 2 với 4, và 4 với 5
Với các trường hợp đó, để thành lập số chia hết cho 3, ta thực hiện:
Chọn ba trong năm vị trí để xếp vào ba chữ số 3, có 3 cách chọn
5
C
Chọn hai chữ số có tổng chia hết cho 3 trong bốn chữ số còn lại,
có 4 cách chọn
Xếp hai chữ số vừa chọn vào hai vị trí còn lại, có hai cách xếp
Suy ra có 3 số chia hết cho 3
5
2.4.C =80 Vậy xác suất cần tìm là 80 2
120 = 3
1
Ta có (C) có tâm I -(1; 1) và bán kính R = 2
Giả sử (C') có tâm K và bán kính R' Do K Ỵ( )d nên K x x( , 2 ) Do (C')
tiếp xúc với Oy nên R' | |= x
Do (C') tiếp xúc ngoài với (C) nên IK = +R R' hay
(1)
(x-1) +(2x+1) =| | 2x + Û 5x2+2x+ =2 | | 2x +
0.5
6b.1
Trường hợp x >0:
(1) Û 5x2 +2x+ = +2 x 2 Û 5x2+2x+ = +2 (x 2)2 Û Û
2
4x -2x- =2 0 Û
( )
1
1 loai 2
x
é = êê
ê = -êë Trường hợp x £0:
(1) Û 5x2 +2x+ = - + Û2 x 2 5x2+2x+ = -2 (x 2)2 Û Û
0.5
1
Trang 8Vậy tâm của (C') là K(1; 2) hoặc 3 17; 3 17
Kỉç- - - - ư÷
÷
Ta có (a) đi qua A - -( 2; 1; 0) và có một VTCP là a = (4; 1;1)-
Ta có (b) đi qua B(2;1; 2)- và cũng nhận a = (4; 1;1)- làm một VTCP
Ta có AB =(4; 2; 2)- khác phương với Vậy (a) và (b) song song nhau.a
0.25
Khi đó ( , ) ( , ) , ; mà suy ra
| |
a AB
d a b d A b
a
é ù
ê ú
ë û
n= éêa AB, ùú =(0;12;12)
ë û
( , ) 12 2 4
3 2
0.25
6b.2
Ta có mp a b( , ) có cặp VTCP là và a nên nhận
AB
làm PVT
, (0;12;12)
n= éêa ABùú=
ë û
Mp ( ) qua (a) nên nhận a = (4; 1;1)- làm một VTCP, ( ) vuông góc
với mp a b( , ) nên nhận làm một VTCP suy ra n nhận
( ) làm một PVT Mặt khác qua
1 [ , ] (1;2; 2) 24
-
( ) A - -( 2; 1; 0) nên ( ) có phương trình là (x+ +2) 2(y+ -1) 2(z- =0) 0 hay
x+ y- z+ =
0.5
Đặt P x( ) = +(x 1)n (1)
Ta có P x( )= C n0 +C x C x1n + n2 2 + + C x n n n (2)
Từ (2), ta có P x'( )= C1n+2C x n2 +3C x n3 2 + + nC x n n n-1
Suy ra '( 1) 1 2 2 3 23 ( 1) 1 1
n n
-Do đó 1 2 22 3 33 ( 1) 1 1 '( 1) (3)
n n
n
P
-Mặt khác, từ (1): P x'( )= n x( +1)n-1 suy ra hay
1
'( )
n
-ỉ ư÷
ç ÷
- = ç ÷ç ÷çè ø (4)
1 '( 1)
n
P - =
Từ (3) và (4), ta được 1 2 3 1
2 3
( 1)
n n
0.5
Phương trình đã cho tương đương với 1
32
2n = n
Ta thấy n =8 là một nghiệm của phương trình
0.25
7b
Ta thấy n =1 không thoả phương trình
Xét hàm số ( ) ( )
2x
x
f x = x Ỵ[2;+¥)
Ta có '( ) 2 22 ln 2 1 ln 2 0,
f x = - = - < " ³x 2 Suy ra f x( ) giảm trên [2;+¥)
Vậy n =8 là nghiệm duy nhất của bài toán
0.25
1