Luyện thi đại học - Chương I: Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp

Quy tắc cộng i Nếu một quá trình bài toán có thể thực hiện ñược một trong hai cách trường hợp loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m kết quả và cách thứ hai cho n kết quả.. ii Nếu một qu[r]

Trang 1

CHƯƠNG I HOÁN V – CH NH H P – T H P

A TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN

I Quy t c ñ m, c ng và nhân

1 Quy t c ñ m

Trong nhi u trư ng h p ta c n ph i ñ m s ph n t , s t p h p, s các s h ng c a t ng, … và không ph i lúc nào cũng th c hi n d dàng Ta xét m t quy t c rút ra t bài toán ñơn gi n sau ñây

Bài toán

Ngư i ta c n làm m t hàng rào dài 20m, c cách 2m thì chôn 1 c c Tính s c c c n dùng

Gi i

S kho ng cách gi a các c c là 20: 2 = 10

K t c c th 2 tr ñi thì s c c b ng s kho ng cách

V y s c c là + =

1.1 Quy t c

V i ñi u ki n là kho ng cách gi a các s b ng nhau (cách ñ u), ta có:

−

Ví d 1 Tính s các s t nhiên có 3 ch s chia h t cho 4

Gi i

S có 3 ch s l n nh t chia h t cho 4 là 996

S có 3 ch s nh nh t chia h t cho 4 là 100

Kho ng cách gi a 2 s li n k chia h t cho 4 là 4

V y có −

+ = s

Ví d 2 Tìm s h ng th 7 trong t ng sau:

Gi i

Kho ng cách gi a s mũ c a 2 s h ng k nhau là 3

G i s mũ c a s h ng th 7 là k, ta có

−

V y s h ng c n tìm là +

1.2 Các d u hi u chia h t

+ Chia h t cho 2: s có ch s t n cùng là 0, 2, 4, 6, 8

+ Chia h t cho 3: s có t ng các ch s chia h t cho 3 (ví d 2001)

+ Chia h t cho 4: s có 2 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 4 (ví d 2000, 3796, 12344)

+ Chia h t cho 5: s có ch s t n cùng là 0, 5

+ Chia h t cho 6: s chia h t cho 2 và 3

+ Chia h t cho 8: s có 3 ch s t n cùng l p thành s chia h t cho 8 (ví d 2000, 2008, 3257016)

+ Chia h t cho 9: s có t ng các ch s chia h t cho 9 (ví d 2007)

+ Chia h t cho 10: s có ch s t n cùng là 0

+ Chia h t cho 11: s có hi u c a t ng các ch s hàng l! và t ng các ch s hàng ch"n chia h t cho 11

For Evaluation Only.

Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 - 2007 Edited by Foxit PDF Editor

Trang 2

2 Quy t c c ng

i) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c m t trong hai cách (trư ng h p) lo i tr l#n nhau: cách

th nh t cho m k t qu và cách th hai cho n k t qu Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m + n k t

qu

ii) N u m t quá trình (bài toán) có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l#n nhau: cách th nh t cho m1 k t qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk k t qu Khi ñó vi c th c hi n quá trình trên cho m1 + m2 + … + mk k t qu

Ví d 3 Có 2 cu n sách toán A và B khác nhau, 2 cu n sách v t lý C và D khác nhau C n ch n ñúng 2

cu n sách, h i có bao nhiêu cách

Gi i

+ Trư ng h p 1: ch n 2 cu n sách toán có 1 cách

+ Trư ng h p 2: ch n 2 cu n sách v t lý có 1 cách

+ Trư ng h p 3: ch n 1 cu n sách toán và 1 cu n v t lý có 4 cách là A và C, A và D, B và C, B và D

V y có 1 + 1 + 4 = 6 cách ch n

Ví d 4 T t p h p = { } ch n ra 1 t p h p con c a A H i có m y cách

Gi i

+ Trư ng h p 1: ch n t p h p không ch a ph n t nào c có 1 cách là t p r$ng

+ Trư ng h p 2: ch n t p h p ch a 1 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { }, { } và { }

+ Trư ng h p 3: ch n t p h p ch a 2 ph n t c a A có 3 cách, ñó là { }, { } và { }

+ Trư ng h p 4: ch n t p h p ch a 3 ph n t c a A có 1 cách, ñó là { }

V y có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách ch n

2 Quy t c nhân

i) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo hai giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m cách

th c hi n giai ño n th nh t, ñ%ng th i ng v i m$i cách ñó có n cách ñ th c hi n giai ño n th hai Khi ñó

có mn cách th c hi n quá trình trên

ii) N u m t quá trình (bài toán) ñư c th c hi n theo k giai ño n (bư c) liên ti p nhau sao cho có m1 cách

th c hi n giai ño n th nh t, v i m$i cách ñó có m2 cách ñ th c hi n giai ño n th hai, …, có mk cách th c

hi n giai ño n th k Khi ñó, toàn b quá trình có m1.m2…mk cách th c hi n

Ví d 5 T các ch s 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 l p ñư c m y s t nhiên có 3 ch s phân bi t

Gi i

+ Bư c 1: ch n ch s hàng trăm có 7 cách (tr ch s 0)

+ Bư c 2: ch n ch s hàng ch c có 7 cách (tr ch s ñã ch n hàng trăm)

+ Bư c 3: ch n ch s ñơn v' có 6 cách (tr 2 ch s ñã ch n)

V y có 7.7.6 = 294 s

Ví d 6 S 12000 có bao nhiêu ư c s t nhiên

Gi i

Suy ra ư c s c a 12000 có d ng v i

∈ , ∈{ } và ∈{ } + Bư c 1: ch n m có 6 cách

+ Bư c 2: v i m$i cách ch n m có 2 cách ch n n

+ Bư c 3: v i m$i cách ch n m và n có 4 cách ch n k

V y có 6.2.4 = 48 ư c s

Trang 3

Ví d 7 T các ph n t c a = { } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch"n g%m 3

ch s khác nhau

Gi i

G i = v i ≠ và ∈ là s c n l p

+ Trư ng h p 1: = =

- Bư c 1: ch n a1 có 5 cách, ñó là a1 = 1 (ho(c 2, 3, 4, 5)

- Bư c 2: ch n a2 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a1 ñã ch n)

Suy ra có 5.4 = 20 s = + Trư ng h p 2: = ≠

- Bư c 1: ch n a3 có 2 cách, ñó là a3 = 2 (ho(c a3 = 4)

- Bư c 2: ch n a1 có 4 cách (tr ch s 0 và ch s a3 ñã ch n)

- Bư c 3: ch n a2 có 4 cách t 4 ch s còn l i

Suy ra có 2.4.4 = 32 s = ≠

V y có 20 + 32 = 52 s

Ví d 8 T các ph n t c a ={ } có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch"n g%m 5 ch s khác nhau

Gi i

G i = v i ≠ và ∈ là s c n l p

+ Trư ng h p 1: a1 l!

- Bư c 1: do ∈{ } nên a1 có 2 cách ch n

- Bư c 3: do ∈ { } nên a2 có 3 cách ch n

Suy ra có 2.3.3.2.1 = 36 s ñư c l p

+ Trư ng h p 2: a1 ch"n

- Bư c 2: do ∈{ } { } nên a5 có 2 cách ch n

Suy ra có 2.2.3.2.1 = 24 s ñư c l p

V y có 36 + 24 = 60 s

Ví d 9 T các ch s 1, 2, 3 có th l p ñư c bao nhiêu s g%m 2 ch s

Gi i

G i = v i không phân bi t là s c n l p

+ Bư c 1: ch n 1 ch s ñ x p vào a1 có 3 cách

+ Bư c 2: ch n 1 ch s ñ x p vào a2 có 3 cách (do các ch s không phân bi t)

V y có 3.3 = 9 s

Ví d 10 C n s p x p 3 ngư i A, B, C lên 2 toa tàu (m$i toa có th ch a ñư c 3 ngư i) H i có bao nhiêu

cách s p x p

Gi i

+ Bư c 1: ngư i A có 2 s l a ch n toa tàu

Trang 4

+ Bư c 2: v i m$i cách ch n c a A thì ngư i B có 2 s l a ch n toa tàu

+ Bư c 3: v i m$i cách ch n c a A và B thì ngư i C có 2 s l a ch n toa tàu

V y có 2.2.2 = 8 cách s p x p

Cách gi i sai:

Toa tàu th nh t có 3 cách ch n ngư i, toa th hai có 3 cách ch n ngư i Do ñó có 3.3 = 9 cách Sai ch$

là toa th nh t có nhi u cách ch n (không ch n ai c ho(c ch n 1 ngư i, 2 ngư i, c 3 ngư i) ñ%ng th i khi

ch n ngư i A thì toa th hai không th ch n ngư i A ñư c n a! C th các trư ng h p ñó là

Các trư ng h p

Nh n xét:

Ch) dùng các quy t c ñ m, c ng và nhân thì ưu ñi m là ít sai sót nhưng như c ñi m là l i gi i dài dòng

II Hoán v – Ch nh h p – T h p

1 Hoán v

ð nh nghĩa

Cho t p h p X g%m n ph n t phân bi t ( ≥ ) M$i cách s p x p n ph n t c a X theo m t th t nào ñó

ñư c g i là m t hoán v' c a n ph n t S các hoán v' c a n ph n t ñư c ký hi u là Pn

= = Quy ư c: 0! = 1

Ví d 11 S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 5 ch$ H i có bao nhiêu cách

Gi i

M$i cách ñ i ch$ 1 trong 5 ngư i trên băng gh là 1 hoán v'

V y có P5 = 5! = 120 cách s p

Ví d 12 T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau

Gi i

G i = v i ≠ và phân bi t là s c n l p

+ Bư c 1: ch s ≠ nên có 4 cách ch n a1

+ Bư c 2: s p 4 ch s còn l i vào 4 v' trí có 4! = 24 cách

V y có 4.24 = 96 s

2 Ch nh h p

ð nh nghĩa

Cho t p h p X g%m n ph n t phân bi t ( ≥ ) M$i cách ch n ra k ( ≤ ≤ ) ph n t c a X và s p

x p theo m t th t nào ñó ñư c g i là m t ch)nh h p ch p k c a n ph n t S các ch)nh h p ch p k c a n

ph n t ñư c ký hi u là

=

−

Nh n xét:

= =

Ví d 13 S p x p 5 ngư i vào m t băng gh có 7 ch$ H i có bao nhiêu cách

Trang 5

Gi i

M$i cách ch n ra 5 ch$ ng%i t băng gh ñ s p 5 ngư i vào và có hoán v' là m t ch)nh h p ch p 5 c a 7

− cách s p

Ví d 14 T t p h p = { } có th l p ñư c m y s t nhiên có 4 ch s khác nhau

Gi i

G i = v i ≠ và phân bi t là s c n l p

+ Bư c 1: ch s ≠ nên có 5 cách ch n a1

+ Bư c 2: ch n 3 trong 5 ch s còn l i ñ s p vào 3 v' trí cách

V y có = s

3 T h p

ð nh nghĩa

Cho t p h p X g%m n ph n t phân bi t ( ≥ ) M$i cách ch n ra k ( ≤ ≤ ) ph n t c a X ñư c

g i là m t t h p ch p k c a n ph n t S các t h p ch p k c a n ph n t ñư c ký hi u là

=

−

Ví d 15 Có 10 cu n sách toán khác nhau Ch n ra 4 cu n, h i có bao nhiêu cách

Gi i

M$i cách ch n ra 4 trong 10 cu n sách là m t t h p ch p 4 c a 10

V y có = cách ch n

Ví d 16 M t nhóm có 5 nam và 3 n Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n H i có bao nhiêu

cách

Gi i

+ Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam

- Bư c 1: ch n ra 1 trong 3 n có 3 cách

- Bư c 2: ch n ra 2 trong 5 nam có

Suy ra có cách ch n

- Bư c 1: ch n ra 2 trong 3 n có cách

- Bư c 2: ch n ra 1 trong 5 nam có 5

Suy ra có cách ch n

+ Trư ng h p 3: ch n 3 n có 1 cách

V y có + + = cách ch n

Ví d 17 H i có th l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có 4 ch s sao cho trong m$i s ñó, ch s hàng ngàn

l n hơn hàng trăm, ch s hàng trăm l n hơn hàng ch c và ch s hàng ch c l n hơn hàng ñơn v'

Gi i

G i = v i ≥ > > > ≥ là s c n l p

= { }

T 10 ph n t c a X ta ch n ra 4 ph n t b t kỳ thì ch) l p ñư c 1 s A Nghĩa là không có hoán v' hay là

m t t h p ch p 4 c a 10

V y có = s

Trang 6

Nh n xét:

i/ đi u ki n ự x y ra hoán v', ch)nh h p và t h p là n ph n t ph i phân bi t

ii/ Ch)nh h p và t h p khác nhau ch$ là sau khi ch n ra k trong n ph n t thì ch)nh h p có s p th t còn

t h p thì không

4 Phương pháp gi i toán

4.1 Phương pháp 1

Bư c 1 đ c k- các yêu c u và s li u c a ự bài Phân bài toán ra các trư ng h p, trong m$i trư ng h p l i

phân thành các giai ựo n

Bư c 2 Tùy t ng giai ựo n c th và gi thi t bài toán ự s d ng quy t c c ng, nhân, hoán v', ch)nh h p

hay t h p

Bư c 3 đáp án là t ng k t qu c a các trư ng h p trên

Vắ d 18 M t nhóm công nhân g%m 15 nam và 5 n Ngư i ta mu n ch n t nhóm ra 5 ngư i ự l p thành

m t t công tác sao cho ph i có 1 t trư ng nam, 1 t phó nam và có ắt nh t 1 n H i có bao nhiêu cách l p

t công tác

Gi i

- Bư c 1: ch n 1 trong 5 n có 5 cách

- Bư c 2: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có cách

- Bư c 3: ch n 2 trong 13 nam còn l i có cách

Suy ra có cách ch n cho trư ng h p 1

- Bư c 1: ch n 2 trong 5 n có cách

- Bư c 3: ch n 1 trong 13 nam còn l i có 13 cách

- Bư c 1: ch n 3 trong 5 n có cách

Cách khác:

+ Bư c 1: ch n 2 trong 15 nam làm t trư ng và t phó có cách

+ Bư c 2: ch n 3 t viên, trong ựó có n

- Trư ng h p 1: ch n 1 n và 2 nam có cách

- Trư ng h p 2: ch n 2 n và 1 nam có cách

- Trư ng h p 3: ch n 3 n có cách

V y có ( + + )= cách

4.2 Phương pháp 2

đ i v i nhi u bài toán, phương pháp 1 r t dài Do ựó ta s d ng phương pháp lo i tr (ph n bù) theo phép toán ∪ = ⇒ =

Bư c 1: chia yêu c u c a ự thành 2 ph n là yêu c u chung X (t ng quát) g i là lo i 1 và yêu c u riêng A

Xét là ph ự'nh c a A, nghĩa là không th a yêu c u riêng g i là lo i 2

Trang 7

Bư c 2: tính s cách ch n lo i 1 và lo i 2

Bư c 3: ñáp án là s cách ch n lo i 1 tr s cách ch n lo i 2

Chú ý:

Cách phân lo i 1 và lo i 2 có tính tương ñ i, ph thu c vào ch quan c a ngư i gi i

Ví d 19 T các ch s 0, 1, 2, 3, 4 có th l p ñư c m y s t nhiên có 5 ch s khác nhau

Gi i

+ Lo i 1: ch s a1 tùy ý, ta có 5! = 120 s

+ Lo i 2: ch s a1 = 0, ta có 4! = 24 s

V y có 120 – 24 = 96 s

Ví d 20 M t nhóm có 7 nam và 6 n Ch n ra 3 ngư i sao cho trong ñó có ít nh t 1 n H i có bao nhiêu

cách

Gi i

+ Lo i 1: ch n 3 ngư i tùy ý trong 13 ngư i có cách

+ Lo i 2: ch n 3 nam (không có n ) trong 7 nam có cách

V y có − = cách ch n

Ví d 21 T 20 câu h i tr c nghi m g%m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 10 câu

ñ làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ

ki m tra

Gi i

+ Lo i 1: ch n 10 câu tùy ý trong 20 câu có cách

+ Lo i 2: ch n 10 câu có không quá 2 trong 3 lo i d , trung bình và khó

- Trư ng h p 1: ch n 10 câu d và trung bình trong 16 câu có cách

- Trư ng h p 2: ch n 10 câu d và khó trong 13 câu có cách

- Trư ng h p 3: ch n 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách

V y có −( + + )= ñ ki m tra

Chú ý:

Gi i b ng phương pháp ph n bù có ưu ñi m là ng n tuy nhiên như c ñi m là thư ng sai sót khi tính s

lư ng t ng lo i

Ví d 22 T 20 câu h i tr c nghi m g%m 9 câu d , 7 câu trung bình và 4 câu khó ngư i ta ch n ra 7 câu ñ

làm ñ ki m tra sao cho ph i có ñ c 3 lo i d , trung bình và khó H i có th l p ñư c bao nhiêu ñ ki m tra

Cách gi i sai:

+ Lo i 2: ch n 7 câu không th a yêu c u

- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d trong 9 câu có cách

- Trư ng h p 2: ch n 7 câu trung bình có 1 cách

- Trư ng h p 3: ch n 7 câu d và trung bình trong 16 câu có cách

- Trư ng h p 4: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có cách

- Trư ng h p 5: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có cách

V y có −( + + + + )= ñ ki m tra!

Sai sót trong cách tính s ñ lo i 2 Ch.ng h n, khi tính s ñ trong trư ng h p 3 ta ñã tính l(p l i trư ng

h p 1 và trư ng h p 2

Trang 8

Cách gi i sai khác:

- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có cách

- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d ho c khó trong 13 câu có cách

- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình ho c khó trong 11 câu có cách

V y có −( + + )= ñ ki m tra

Sai sót do ta ñã tính l(p l i s cách ch n ñ ch) có 7 câu d và ñ ch) có 7 câu trung bình trong trư ng h p 1

và trư ng h p 2

Cách gi i ñúng:

- Trư ng h p 1: ch n 7 câu d ho c trung bình trong 16 câu có cách

- Trư ng h p 2: ch n 7 câu d và khó trong 13 câu có − cách

- Trư ng h p 3: ch n 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có − cách

V y có −( + − + − )= ñ ki m tra

Ví d 23 H i ñ%ng qu n tr' c a m t công ty g%m 12 ngư i, trong ñó có 5 n T h i ñ%ng qu n tr' ñó ngư i

ta b u ra 1 ch t'ch h i ñ%ng qu n tr', 1 phó ch t'ch h i ñ%ng qu n tr' và 2 y viên H i có m y cách b u sao cho trong 4 ngư i ñư c b u ph i có n

Gi i

+ Lo i 1: b u 4 ngư i tùy ý (không phân bi t nam, n )

- Bư c 1: b u ch t'ch và phó ch t'ch có cách

- Bư c 2: b u 2 y viên có cách

Suy ra có cách b u lo i 1

+ Lo i 2: b u 4 ngư i toàn nam

- Bư c 1: b u ch t'ch và phó ch t'ch có cách

- Bư c 2: b u 2 y viên có cách

Suy ra có cách b u lo i 2

V y có − = cách

5 Hoán v l p (tham kh o)

Cho t p h p X có n ph n t g%m n1 ph n t gi ng nhau, n2 ph n t khác l i gi ng nhau, …, nk ph n t khác

n a l i gi ng nhau ( + + + = ) M$i cách s p n ph n t này vào n v' trí là m t hoán v' l(p, s hoán v' l(p là

Ví d 24 T các ch s 1, 2, 3 l p ñư c bao nhiêu s t nhiên có ñúng 5 ch s 1, 2 ch s 2 và 3 ch s 3

Gi i

Xem s c n l p có 10 ch s g%m 5 ch s 1 gi ng nhau, 2 ch s 2 gi ng nhau và 3 ch s 3 gi ng nhau

V y có = s

Cách gi i thư ng dùng:

+ Bư c 1: ch n 5 trong 10 v' trí ñ s p 5 ch s 1 có cách

+ Bư c 2: ch n 2 trong 5 v' trí còn l i ñ s p 2 ch s 2 có cách

Trang 9

+ Bư c 3: s p 3 ch s 3 vào 3 v' trí còn l i có 1 cách

V y có = s

CHƯƠNG II

NH TH C NEWTON PHƯƠNG TRÌNH – H PHƯƠNG TRÌNH

A TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN

I NH TH C NEWTON

ð nh nghĩa

Nh' th c Newton là khai tri n t ng lũy th a có d ng:

−

=

+ S h ng th k+1 là + = − thư ng ñư c g i là s h ng t ng quát

+ Các h s ñư c tính theo công th c t h p ch p ho(c d a vào tam giác Pascal sau ñây:

Ch.ng h n:

Tính ch t

i) = − ≤ ≤

ii) + − = + ≤ ≤

PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN

1 Dùng ñ nh nghĩa và tính ch t ch ng minh ho c rút g!n ñ"ng th c

Ví d 1 Ch ng minh ñ.ng th c:

+

Gi i

Áp d ng tính ch t ta có:

Trang 10

− − −

− − ( − ) ( − − )

= + + −+ = +

Gi i

Áp d ng tính ch t ta có:

Cách khác:

Ví d 3 Rút g n t ng sau:

Gi i

Áp d ng công th c ta có:

−

=

= v i ∀ =

2 Khai tri#n nh th c Newton

2.1 D ng khai tri#n

D u hi u nh n bi t:

Các h s ñ ng trư c t h p và lũy th a là 1 ho(c 1 và – 1 xen k/ nhau

i) Khai tri n ( + ) ho(c ( − )

ii) C ng ho(c tr hai v c a 2 khai tri n trên

Ví d 4 Tính t ng sau:

Gi i

Ta có khai tri n:

V y = −

Ví d 5 Rút g n t ng sau:

Gi i

Ta có các khai tri n:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	235,02 KB