Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn: Toán 7. Năm học 2012 - 2013 thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Tương tự như vậy, dung lượng bộ nhớ đòi hỏi phải là khả dụng để giải một bài toán,vì vậy độ phức tạp không gian cũng cần phải tính đến.Vì việc xem xét độ phức tạp không gian gắn liền với[r]

 I:

1.1 KHÁI

1.1.1

Có

* + các %& nguyên, / chúng theo 2 3 4 "5) cho !  tìm 67 6

8  9 hai 6: - nó Khi 67+ giao cho ! bài toán 7 <*$ thì < 65 tiên = làm là xây "3 ! mô hình "@ bài toán 6 thành 9 = toán  Các

 trúc   67+ dùng trong các mô hình này là * + dãy, hàm, hoán <@ quan  cùng < các  trúc khác 7 6B @ cây,  - 9 khái  %D 67+ nghiên 2

E các 7F sau

G* 67+ ! mô hình toán  thích + : là ! 5 - quá trình = IJ hoàn  quá trình = còn 5 = có ! 7F pháp dùng mô hình 6J = bài toán

Khi / ,/ và cài 6R ! 5  tin  cho ! < 6 nào 6 ta 5 =

67 ra 7F pháp =  $/ mà 3  6 là  * toán =  $/ < 6 này Rõ ràng



1.1.2

W * 9 “Algorithm” X * toán) là   phát Z tên nhà toán  ] S* Al-Khowarizmi Ban 65  Z algorism 67+ dùng 6J : các quy 8 3  các phép tính

%&  trên các %& * phân Sau 6 algorism  $J thành algorithm vào / ,c 19

f %3 quan tâm ngày càng 4 6& < các máy tính, khái   * toán 6# 67+ cho ! ý V chung F bao hàm = các - O xác 6@ 6J = các bài toán, 2 không = : là - O 6J 3  các phép tính %& 

Có

mô

cùng < 9 ký  toán  quen  ! còn dùng ! " = mã 6J mô =  *

toán

Thí

a) Dùng ngôn ngữ tự nhiên để mô tả các bước cần phải thực hiện:

1

2 So sánh

3

4 nZ khi không còn %& nguyên nào 9 trong dãy 3 6   E 6J này chính là

b) Dùng đoạn giả mã:

procedure max (a1, a2, , an: integers)

max:= a1

for i:= 2 to n

if max <ai then max:= ai

{max là

W * toán này 7 / gán %&  65 tiên a1

“for”

@   - max thì nó 67+ gán làm giá @  - max

1.1.3 Các .' *%/ '0 *1* toán:

 vào (Input): Q!  * toán có các giá @ 65 vào Z ! * 6# 67+ : rõ  ra (Output): WZ v * các giá @ 65 vào,  * toán %D  ra các giá @ 65 ra

Các giá @ 65 ra chính là  - bài toán

Tính

Tính xác

-  * toán = cho 9 ,/  = 7 nhau

Tính

 * toán  6! và 67 ra ,/  = 7 ý &

Tính

xác 6@

1.2

1.2.1 Bài toán tìm Bài toán xác

kê %8 2 3 7 R trong  7 + khác nhau   7F trình

,J tra chính = - các Z tìm ,/ các Z này trong !  & Z 6J mà Z 6J

67+  là các bài toán tìm ,/ 

Bài toán tìm ,/  quát 67+ mô = 7 sau: xác 6@ <@ trí - 5 j x trong 1, a2, , an R xác 6@ U nó không có

1.2.2 1* toán tìm @+A? *BA tính: Tìm ,/  $/ tính hay tìm ,/  5 3 là

1; khi x=a1,  là <@ trí a1, 2 là 1; khi xa1, so sánh x < a2 L/ x=a2,  là <@ trí - a2, 2 là 2 Khi xa2, so sánh x < a3 W/

khi tìm

kê 6# 67+ ,J tra mà không xác 6@ 67+ <@ trí - x, thì  là 0 i= mã 6&

<  * toán tìm ,/  $/ tính 67+ cho "7 6>$g

procedure tìm ,/  $/ tính (x: integer, a1,a2, ,an: integers phân

i := 1

while (i  n and x  ai)

i := i + 1

if i  n then location := i

else location := 0

{location là

1.2.3 1* toán tìm @+A?  phân:

ký 3 thì chúng 67+ %8 theo 2 3 Z 6J W * toán 2 hai này  là  * toán tìm

kích

tìm

so sánh

tìm ,/ @ phân   = F  so <  * toán tìm ,/  $/ tính

Thí

tách

 O J là: 1,2,3,5,6,7,8,10 và 12,13,15,16,18,19,20,22 Sau 6 ta so sánh 19 < %&

này

Bây

1,a2, ,an < a1 < a2 < < an, ta

m E 9 - dãy, < m=[(n+1)/2] L/ x > am, < tìm ,/ x   E j 2 hai - dãy, B am+1,am+2, ,an m, thì %3 tìm ,/   trong j 65 - dãy B a1,a2, ,am

Bây

Dùng chính

quá trình này cho

xác 6@ %&  này có = là x hay không i= mã cho  * toán tìm ,/ @ phân 67+ cho "7 6>$g

procedure tìm ,/ @ phân (x: integer, a1,a2, ,an: integers 4 "5Y

i := 1 {i là 6J mút trái - ,= tìm ,/ r

j := n {j là 6J mút = - ,= tìm ,/ r

while i < j

begin

m:= [(i+j)/2]

if x>am then i:=m+1

else j := m end

if x = ai then location := i else location := 0

{location là

1.3

1.3.1 Khái +7? 2M N $O' *P$ '0 ?N* *1* toán:

W7 6   = - !  * toán là  gian mà máy tính %j "O 6J = bài toán theo  * toán 6. xét, khi các giá @ 65 vào có ! kích 7 xác 6@

@ 65 vào có kích 7 xác 6@ Các < 6 7 / liên quan 6/ 6! 2  tính toán - !  * toán b3 phân tích  gian 5 / 6J = ! bài toán có kích

xem xét 6! 2   gian và không gian - !  * toán là ! < 6  /

$/ khi các  * toán 67+ 3  `/ !  * toán %D 67 ra 6 %& trong ! micro giây, trong ! phút R trong ! : 4  J nhiên là / %2 quan 

<*$ 6! 2  không gian y 5 = tính 6/f( < xem xét 6! 2  không gian

6>$ ta %D * trung xem xét 6! 2   gian

toán

"V 6! 2   gian 67+ mô = thông qua %& các phép toán 6K N thay vì  gian

9 ,=  gian khác nhau hF 9. phân tích  = các phép toán thành các phép tính bit %F  mà máy tính %j "O là 6  2 

hai %& -  * toán 6K N ! 6F <@  gian (giây  Y thì  gian 3

  * toán trong 7 +   là n-1 giây f dãy 64 %&  gian 3 

Thí "# 4:W * toán < trò chFi “Tháp Hà L!\

Trò ch

vào Y các 6V có 67 kính 6ôi ! khác nhau Nguyên 8 6R 6V vào  là: v

A; hai

67+ di  $J ! 6V.

Xét trò chFi < n 6V ban 65 E  A X B và C &Y i Sn là

 $J 6V 6J chFi xong trò chFi < n 6V.

L/ n=1 thì rõ ràng là S1=1

L/ n>1 thì tr7 / ta  $J n-1 6V bên trên sang  B X9 yên 6V 2 n E

Nh

Sn=Sn-1+1+Sn=2Sn-1+1=2(2Sn-2+1)+1=22Sn-2+2+1= =2n-1S1+2n-2+ +2+1=2n1

W * toán < trò chFi “Tháp Hà L!\ 6òi N 2641

n4m!

Hai thí "O trên cho $ Ug !  * toán = ,/ thúc sau ! %& 9  b

3 /

Ta nói:  * toán trong Thí "O 3 có 6! 2  là n-1 và là !  * toán 9

 (hay  * toán nhanh);  * toán trong Thí "O 4 có 6! 2  là 2n1 và 6ó là !  * toán không 9  (hay  * toán * Y

1.3.2 So sánh N $O' *P$ '0 các *1* toán:

Q! bài toán th7 có  cách = có   * toán 6J = các  * toán 6ó có 6! 2  khác nhau

Xét bài toán: Tính giá @ - 6a 2 P(x)=anxn+an-1xn-1+ +a1x+a0  x0

1* toán 1:

Procedure tính giá @ - 6a 2 (a0, a1, , an, x0: các %& 3Y

sum:=a0

for i:=1 to n

sum:=sum+aix0i

{sum là giá @ - 6a 2 P(x)  x0}

Chú ý U 6a 2 P(x) có J </ d7 "g

P(x)=( ((anx+an-1)x+an-2)x )x+a0

Ta có J tính P(x) theo  * toán sau:

1* toán 2:

Procedure tính giá @ - 6a 2 (a0, a1, , an, x0: các %& 3Y

P:=an

for i:=1 to n

P:=P.x0+an-i {P là giá @ - 6a 2 P(x)  x0}

Ta hãy xét 6! 2  - hai  * toán trên

I& <  * toán 1: E b7 2, = 3  1 phép nhân và 1 phép ! < i=1; 2 phép nhân và 1 phép ! < i=2, , n phép nhân và 1 phép ! < i=n f*$

%& phép tính (nhân và !Y mà  * toán 1 6òi N là:

(1+1)+(2+1)+ +(n+1)= +n=

2

) 1 (n

n

2

) 3 (n

n

(nhân B !Y do 6ó %& phép tính (nhân và !Y mà  * toán 2 6òi N là 2n

L/ coi  gian 3  v phép tính nhân và ! là nh7 nhau và là ! 6Fn <@  gian thì < v n cho tr7  gian 3   * toán 1 là n(n+3)/2, còn  gian 3   * toán 2 là 2n

Rõ ràng là  gian 3   * toán 2 ít hFn so <  gian 3   * toán 1 Hàm f1(n)=2n là hàm

f2(n)=n(n+3)/2

Ta nói U  * toán 2 (có 6! 2  là 2n) là  * toán 9  hFn (hay nhanh hFn) so <  * toán 1 (có 6! 2  là n(n+3)/2)

Các hàm xét sau

  1:Ta nói hàm f(n) có

C>0 và ! %& 3 nhiên n0 sao cho

|f(n)|  C|g(n)| <  nn0

Ta </ f(n)=O(g(n)) và còn nói f(n) = mãn quan  big-O 6& < g(n)

Theo 6@ V này, hàm g(n) là ! hàm 6Fn =  có J 67+ 6 " cho

Khái  big-O 6ã 67+ dùng trong toán  6ã 5 ! / ,c nay Trong tin

 nó 67+ %j "O ! rãi 6J phân tích các  * toán Nhà toán  ng7 I2 Paul Bachmann là ng7 65 tiên 67a ra khái  big-O vào n4m 1892

2

) 3 (n

n

f(n)= =O(n2) vì  n2 <  n3 (C=1, n0=3)

2

) 3 (n

n

2

) 3 (n

n

Q! cách  quát, / f(n)=aknk+ak-1nk-1+ +a1n+a0 thì f(n)=O(nk) W* <*$

< n>1,

|f(n)||  |ak|nk+|ak-1|nk-1+ +|a1|n+|a0| = nk(|ak|+|ak-1|/n+ +|a1|/nk-1+a0/nk)

 nk(|ak|+|ak-1|+ +|a1|+a0)

I này 2 N |f(n)|  Cnk <  n>1

Cho g(n)=3n+5nlog2n, ta có g(n)=O(nlog2n) W* <*$

3n+5nlog2n = n(3+5log2n)  n(log2n+5log2n) = 6nlog2n <  n8 (C=6, n0=8)

Cho f1(n)=O(g1(n)) và f2(n) là O(g2(n)) Khi 6

(f1 + f2)(n) = O(max(|g1(n)|,|g2(n)|), (f1f2)(n) = O(g1(n)g2(n))

O minh Theo = / B  C1, C2, n1, n2 sao cho

|f1(n)|  C1|g1(n)| và |f2(n)|  C2|g2(n)| <  n > n1 và  n > n2

Do 6 |(f1 + f2)(n)| = |f1(n) + f2(n)|  |f1(n)| + |f2(n)|  C1|g1(n)| + C2|g2(n)|  (C1+C2)g(n)

<  n > n0=max(n1,n2), E 6>$o1+C2 và g(n)=max(|g1(n)| , |g2(n)|)

|(f1f2)(n)| = |f1(n)||f2(n)|  C1|g1(n)|C2|g2(n)|  C1C2|(g1g2)(n)| <  n > n0=max(n1,n2)

  2: L/ !  * toán có 6! 2  là f(n) < f(n)=O(g(n)) thì ta y nói  * toán có 6! 2  O(g(n))

L/ có hai  * toán = cùng ! bài toán,  * toán 1 có 6! 2  O(g1(n)),  * toán 2 có 6! 2  O(g2(n)), mà g1(n) có   F g2(n), thì ta nói

U  * toán 1 9  F (hay nhanh FY  * toán 2

1.3.3 - giá N $O' *P$ '0 ?N* *1* toán:

1) 1* toán tìm @+A? *BA tính:

b& các phép so sánh 67+ dùng trong  * toán này y %D 67+ xem 7 7

phép so sánh

i, thì 6# có 2i+1 phép so sánh 67+ %j "O b& phép so sánh 

 * toán tìm ,/  $/ tính có 6! 2  là O(n)

2) 1* toán tìm @+A?  phân:

IJ 6F = ta = %j U có n=2k

1,a2, ,an, < k là

k+1 5 j trong 6 k là %& nguyên N  sao cho n < 2k+1)

w v giai 6 -  * toán <@ trí - %&  65 tiên i và %&   & cùng j

 F ! 5 j hay không L/ i < j, ! phép so sánh %D 67+ làm 6J xác 6@

x có

có

cho chúng ta

cho

2k+2=2log2n+2 phép so sánh 6J 3  phép tìm ,/ @ phân X/ n không = là

k+1 5 j < k=[log2n] và %3 tìm ,/ 6K N = 3    2[log2n]+2 phép so sánh) Do 6  * toán tìm ,/ @ phân có 6! 2  là O(log2n) WZ %3 phân tích E trên suy ra U  * toán tìm ,/ @ phân, ngay = trong 7 +   y   = F  * toán tìm ,/  $/ tính

3) Chú ý:

! bài toán Thí "O / !  * toán 6K N 10  thì có J còn 6 chi phí  gian máy tính 6K N 6J = bài toán 6 L7 / !  * toán 6K N 10 : 4 6J

= ! bài toán, thì 3   * toán 6 %D là ! 6 phi lý Q! trong 9  trong máy tính Q! nhân & quan  khác làm =  gian 5 / 6J = !

bài toán là %3 j lý song song - 6>$ là ,‹  * 3  6B  các dãy phép tính

Do

dùng các

4 7 6>$ 67+ xem là không J = 67+ thì bây  có J = bình 7

1 Các *1* W */X dùng cho N $O' *P$ '0 ?N* *1* toán:

O(bn) (b>1) I! 2  hàm y

2 X+ gian máy tính /Z' dùng G+ ?N* *1* toán:

Kích 7 Các phép tính bit 67+ %j "O

- bài toán

10 3.10-9 s 10-8 s 3.10-8 s 10-7 s 10-6 s 3.10-3 s

102 7.10-9 s 10-7 s 7.10-7 s 10-5 s 4.10134 *

103 1,0.10-8 s 10-6 s 1.10-5 s 10-3 s * *

104 1,3.10-8 s 10-5 s 1.10-4 s 10-1 s * *

105 1,7.10-8 s 10-4 s 2.10-3 s 10 s * *

106 2.10-8 s 10-3 s 2.10-2 s 17 phút * *

1.4

1.4.1 1* toán Euclide:

Ph

nguyên 6ó ra Z %& nguyên & là không   = Lý do là E v  gian = tiêu & cho

  là

toán

tố”  / - ông W * toán Euclide "3 vào 2  6 sau 6ây.

7 M 1 a1* toán chia): Cho a và b là hai %& nguyên và b0 Khi 6ó B  duy  hai %& nguyên q và r sao cho

a = bq+r, 0  r < |b|

Trong

là th7Fng %& và r 67+  là %& d7

Khi b là nguyên d7Fng, ta ký  %& d7 r trong phép chia a cho b là a mod b.

7 M 2:Cho a = bq + r, trong 6ó a, b, q, r là các %& nguyên Khi 6ó

UCLN(a,b) = UCLN(b,r)

i= %j a và b là hai %& nguyên d7Fng < a  b IR r0 = a và r1 = b `U cách áp

"O liên /  * toán chia, ta tìm 67+g

r0 = r1q1 + r2 0  r2 < r1

r1 = r2q2 + r3 0  r3 < r2

rn-2 = rn-1qn-1 + rn 0  rn < rn-1

rn-1 = rnqn

 & cùng, %& d7 0 %D    trong dãy các phép chia liên / vì dãy các %& d7

a = r0 > r1 > r2 >  0 không J 2 quá a %&  67+ HFn 9. Z Q 6 2 E trên ta suy ra:

UCLN(a,b) = UCLN(r0,r1) = UCLN(r1,r2) = = UCLN(rn-2, rn-1) = UCLN(rn-1,rn) = rn

Do

Thí "# 6: Dùng  * toán Euclide tìm UCLN(414, 662).

662 = 441.1 + 248

414 = 248.1 + 166

248 = 166.1+ 82

166 = 82.2 + 2

82 = 2.41

Do 6 UCLN(414, 662) = 2

W * toán Euclide 67+ </ d7 " = mã nh7 sau:

procedure CLN (a,b: positive integers)

x := a

y := b

while y  0

begin

r := x mod y

x := y

y := r

end

{UCLN (a,b) là x}

Trong  * toán trên, các giá @ ban 65 - x và y t7Fng 2 là a và b w v giai

1.4.2 =+c "+d các Ee nguyên:

7 M 3:Cho b là

d

n = akbk + ak-1bk-1 + + a1b + a0

w 6ây k là ! %& 3 nhiên, a0, a1, , ak là các %& 3 nhiên N hFn b và ak  0

`J "† - n 67+ cho trong Q 6 3 67+  là khai J - n theo cF %&

b, ký  là (akak-1 a1a0)b Bây  ta %D mô =  * toán xây "3 khai J cF %& b

n = bq0 + a0, 0  a0 < b

b& d7 a0 chính là 9 %& 62 bên = cùng trong khai J cF %& b - n W/ theo chia q0 cho b, ta 67+g

q0 = bq1 + a1, 0  a1 < b

b& d7 a1 chính là 9 %& 2 hai tính Z bên = trong khai J cF %& b - n W/ O quá trình này,

trong khai J cF %& b - n là các %& d7 t7Fng 2 Quá trình này %D ,/ thúc khi ta

Thí "# 7: Tìm khai J F %& 8 - (12345)10

12345 = 8.1543 + 1

1543 = 8.192 + 7

192 = 8.24 + 0

24 = 8.3 + 0

3 = 8.0 + 3

Do 6 (12345)10 = (30071)8

procedure khai triển theo cơ số b (n: positive integer)

q := n

k := 0

while q  0

begin

ak := q mod b

q := [q]

b

k := k + 1

end

1.4.3 1* toán cho các phép tính Ee nguyên:

Các  * toán 3  các phép tính < 9 %& nguyên khi dùng các khai

J @ phân - chúng là 3 ,x quan  trong %&  - máy tính Ta %D mô = E

W7 6   = - !  * toán  gian mà máy tính %j "O 6J = toán theo  * toán 6. xét, giá @ 65 vào có ! kích...

xem xét 6! 2   gian khơng gian - !  * tốn ! < 6  /

$/  * toán 67+ 3  `/ !  * toán %D 67 6 %& ! micro giây, ! phút R ! : 4  J...

W * toán 7 / gán %&  65 tiên a1

“for”

@   - max 67+ gán làm giá @  - max

1.1.3 Các .'' *%/ ''0 *1* toán: