Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toá[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
MỞ ĐẦU
Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung
Vì thế đây là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong PPCT cũng như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp THPT, đặc biệt tuyển sinh Đại học, cao đẳng, THCN,…Giải quyết vấn đề này luôn được giáo viên, học sinh quan tâm Câu hỏi phụ liên quan khảo sát hàm số trong các đề thi luôn là câu hỏi "e ngại" đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong phú; đòi hỏi cần có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén
Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toán điển hình cho mỗi dạng toán cơ bản trong chuyên đề: " Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến
đồ thị hàm số " Nội dung chủ yếu xét các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số cơ bản, từ đó rút ra phương pháp giải cho mỗi dạng; còn khảo sát hàm số chỉ nêu trong các bài toán như là công cụ để phục vụ cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đó
Nội dung chuyên đề gồm:
VI/ Dạng 6 : Các bài toán về điểm đặc biệt trên đồ thị VII/ Dạng 7 : Các bài toán về diện tích- thể tích
Tác giả muốn chuyên đề này như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên; song chắc chắn tác giả chưa thể đề cập hết các dạng toán và còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng góp, bổ sung của đọc giả
Mọi sự góp ý xin gửi về: kieumybinh79@yahoo.com hoặc: Tổ Toán- Trường THPT Hoàng Quốc Việt-Bắc Ninh Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Trang 2CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I/ DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC
* Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y=f(x) (C)
+ Tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có hệ số góc k=f'(x0)
+ Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0): y= f'(x0)(x-x0)+y0
Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x y 0 ; 0 C
Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị f x' 0
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f x' 0 x x 0 y0
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x y 0 ; 0 C có hệ số góc k f x' 0
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
Giải phương trình: f x' k, tìm nghiệm x0 y0
Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x 0y0
Chú ý: Cho đường thẳng :Ax By C 0, khi đó:
Nếu d// d :y ax b hệ số góc k = a.
Nếu d d :y ax b hệ số góc k 1
a
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(xA; yA)
Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó d :y k x x A y A
Điều kiện tiếp xúc của d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
'
A A
f x k
Tổng quát: Cho hai đường cong C y: f x và C' :y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm:
f x g x
f x g x
Ví dụ 1: (ĐHQGHCM-96): Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (C m ) Tìm m để (C m) cắt
đường thẳng (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m) tại
B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
.y'=3x2+2mx
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C m ) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 (1)
x(x2 + mx + 1) = 0
) 2 ( 0 1 )
(
0
2 mx x x g x
Trang 3CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
d cắt (C m) tại ba điểm phân biệt(1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 0
(*)
2
m g
Khi đó (2) có 2 nghiệm x1; x2
1 2
1
2 1
x x
m x
x
hay (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B(x1; -x1 +1), C(x2; -x2 +1)
Tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau f'(x1).f'(x2)1
(*)) / ( 5 10
2
1 4
) (
6 9
1 ) 2 3
)(
2 3
(
2
2 2
1
2 2 1 2 1 2
2 2 1
2 1
m t m
m
m x
x m x
x x x mx
x mx x
Đ/S: Giá trị m cần tìm là: m= 5
Ví dụ 2: Cho hàm số (C) Gọi M là điểm trên (C ), I là giao 2 tiệm cận Tiếp tuyến của
2
2
x
x y
(C ) tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B
a CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi
b CMR: M là trung điểm của đoạn AB
c Tìm M sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất
d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
LG:
) 2
(
4
'
x
y
Giả sử tiếp điểm M( ), 2
2
2
a
a a
Tiếp tuyến ( ) của đồ thị (C) tại M có phương trình:
0 2 ) 2 ( 4 2
2 ) ( ) 2 (
a
a a
x a
y
Giao 2 tiệm cận là I(-2; 2)
a + ( ) cắt TCĐ: x=-2 tại A(-2; 2 )
2
) 2 (
8 2
a a
+ ( ) cắt TCN: y=2 tại B(2a+2; 2)
) 2 (
16 8 4 2 2
1 2
1
2
a
a a
IB IA
S IAB
b Ta có: Vậy M là trung điểm của AB (Đpcm)
M B
A
M B
A
y a
a y
y
x a x x
2 2 4 2
c Chu vi tam giác IAB là: p=IAIB IA2 IB2 2 IA.IB 2IA.IB 84 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi IA=IB
4
0 4
4 2
a
a a
Vậy có 2 điểm cần tìm là: O(0; 0) và M(-4; 4)
d Khoảng cách từ I đến ( ) là:
Trang 4CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
2 2 2 2 2
2 8 )
2 ( 4 2
2 8 )
2 ( 16
2 8 )
;
(
2
a
a a
a a
a I
d
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
4
0 4
) 2
a
a a
* Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=x; y=x+8
Ví dụ 3 (ĐH-A-2009): Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp
3 2
2
x
x y
tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O
LG:
.Giả sử tiếp tuyến (d) của (C ) tại M(x0; y0) thoả mãn bài toán
Tam giác OAB cân tại O (d) có hệ số góc: k=1
1 1
0 2
1 ) 3 2 1 )
3 2
1 1
)
(
'
0 0
0 0
2 0 2
0
y x
x x
x
y
Ta có tiếp điểm M1(-2; 0) và M2(-1; 1)
Phương trình tiếp tuyến tại M1(-2; 0): y=-x+2( t/m)
Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1; 1): y=-x (loại)
* KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2
*NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b) Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC: 1
b
y a x
(d) (a,b 0)
Sử dụng điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) ta tìm được a, b => (d)
* Bài tập tự luyện
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B
1
x
x y
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4
2. (ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ
1
2
x
x y
độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân
3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C): biết tiếp tuyến đó cắt 2 tiệm cận đứng, tiệm
1
1
x
x y
cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân với I là giao 2 tiệm cận
4. Giả sử ()là tiếp tuyến tại M(0; 1) của đồ thị (C): Tìm trên (C) những điểm có
x
x y
1
1 2 hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến ()là ngắn nhất
5. (HVQHQT-2001): Cho đồ thị (C): 1 Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ
3
y
số góc nhỏ nhất
6. Cho đồ thị (Cm): Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại A sao cho tiếp
x
m x
y
2 1 tuyến tại A của (Cm) cắt trục Oy tại B thoả mãn tam giác OAB vuông cân
7. Cho hàm số: y=x4-2x2-1 (C) Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C)
II/ DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
* Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y f x (C) Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
Trang 5CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Nghiệm của phương trình f x' 0 là hoành độ của điểm cực trị
Nếu thì hàm số đạt cực đại tại
0
0
f x
f x
Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại
00
f x
f x
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành y CĐ.y CT 0
Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung x CĐ.x CT 0
Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số y ax 3 bx2 cx d
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm
cực trị
Dạng 2: Hàm số y ax2 bx c
dx e
Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng
'
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y= x3-3x2-3m(m+2)x-1 có 2 cực trị cùng dấu Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
LG:
y'= 3x2-6x-3m(m+2);
y'=0
2
m x
m x
Ta có: y=y' -(m+1)2(2x+1) (*)
3
1
x
) 5 2 ( ) 1 ( ) 2 (
) 2 1 ( ) 1 ( ) (
2
2
m m
m y
m m
m y
.Hàm số có 2 cực trị cùng dấu
0 ) 5 2 )(
2 1 ( ) 1 (
1 0
) 2 ( )
(
2
m
m m
y
m
y
m m
2
1 2
5
* Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1)2(2x+1)
Trang 6CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
* NX: Ở bài toán này ta dễ xác định được toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹ thuật chia y cho y' như trên vì không xác định được toạ độ các điểm cực trị
Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau:
Cho hàm thoả mãn: thì y(x0) =
) (
) (
x v
x u
y
0 ) (
0 ) ( '
0
0
x v
x y
) ( '
) ( '
0
0
x v
x u
Ví dụ 2 (ĐH An ninh-A-99): Cho hàm số Tìm m để đồ thị hàm số có điểm
1
8
2
x
m mx x y
cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng (d): 9x-7y-1=0
LG:
TXĐ: D=R\{1}
2
2
1
8 2
'
x
x
x
y
y'=0 Đồ thị hàm số có 2 điểm CĐ, CT là: A(-2; m-4);
4
2 1
, 0 8 2
2
x
x x
x
B(4; m+8)
A, B nằm về 2 phía (d)
7
9 3
0 ) 7 21 )(
7 9 ( 0 ) 1 7 9 )(
1 7
9
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: -3<m<9/7
m x
m m x m mx y
2 ( 2 1) 4 3 góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV)
LG:
TXĐ: D=R\{-m}
2
3 2
'
m x
m x m mx
y
0 ) (
0 ' ,
0 3 2
)
m f m x m
x m mx x
0
0 4
3
4
m m
Khi đó (1) có 2 nghiệm x1=my1=3m2+1; x2=-3my2=5m2-1
=> đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là: A(m; 3m2+1), B(-3m; 5m2-1) thoả mãn yêu cầu bài
) (
) (
IV B
II A
0 5
1 0
1 5
0 3 0 0
0 0
2
m m m y
x x
B B A
* Từ (1) và (2) ta có m cần tìm là: 0
5
1
m
* Bài tập tự luyện
1 (ĐH-B-2007): Tìm m để đồ thị hàm số: yx3 3x2 3(m2 1)x3m2 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ O
2 (HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: y x4 2mx2 2mm4 có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều
Trang 7CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
3 Tìm m để đồ thị hàm số: y x4 6x2 4x6 có 3 điểm cực trị, đồng thời góc toạ độ O là trọng tâm tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị đó
4 Cho hàm số y x3 3mx2 3(m2 1)xm3m2.Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV)
5 Cho hàm số Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía
m x
m mx x
y
2
3
2
của trục Ox
III/ DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
* Kiến thức cơ bản:
Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D.
+ f(x) đồng biến trên D f' x 0,xD
+ f(x) nghịch biến trên D f' x 0,xD
(f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D)
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
0
0
S
1 2
0
0
S
x x P
Ví dụ 1(ĐHMĐC-2001): Tìm các giá trị của m sao cho hàm số đồng biến trên
) ( 8
8
2
m x
x x y
khoảng [1; )
LG:
TXĐ: D=R\{-m}
2
) (
8 2
m x
m mx x
Hàm số đồng biến trên [1; ) y'0,x[1;)
)
; 1 [ , 0 8 2 )
(
1 )
; 1 [ , 0 8 2
) [1;
2
m x
m mx x
m
Xét f(x)=x22mx8m, x[1;) có:
+f'(x)=2x+2m f'(x)=0 khi x=-m<1 do đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng [1;)
=>f(x) f(1)=1-6m
Do đó
6
1 0
6 1 )
; 1 [ , 0 8 2 )
(x x2 mx m x m m
f
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là:
6
1
1
Ví dụ 2( ĐHQGHN_2000): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
m mx x
x
y 33 2
LG:
Trang 8CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
TXĐ: D=R
y'= 3x2+6x+m là tam thức bậc hai có '93m
+ Nếu '93m0m3 thì y'0,xHàm số đồng biến trên R => m 3 không thoả mãn
+ Nếu m<3: y' có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2 Dựa vào bảng biến thiên có hàm số chỉ nghịch biến trong khoảng (x1 ; x2) Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
kết hợp với 4
9 9
) 3 9 ( 4 3 ' 2 1 3
' 3 3
' 3 1
1
m<3 ta được giá trị m cần tìm là: .
4
9
m
* Bài tập tự luyện:
1.Cho hàm số y x 3 3m 1x2 3m 1x 1 Tìm m để:
a Hàm số luôn đồng biến trên R.
b Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
2 Xác định m để hàm số 3 2 2 1
x mx
a Đồng biến trên R.
b Đồng biến trên 1;
3 Cho hàm số y x 3 3 2 m 1x2 12m 5x 2.Tìm m để
a Hàm số đồng biến trên khoảng 2;
b Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1
4 Cho hàm số 2 6 2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên
2
y
x
IV/ DẠNG 4:CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
* Kiến thức cơ bản:
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): 2 2
B A B A
AB x x y y
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng :Ax By C 0 và
điểm M(x0;y0) khi đó 0 0
2 2
d M
1/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số
Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số Tìm giá trị nhỏ
2
1
x
x y
nhất của khoảng cách giữa 2 điểm A, B
LG:
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị nên ta giả sử A(x1; ), B( ; ) với x1<-2<x2
2 x
1 x
1
1
2
x
2
1
2
2
x x
Trang 9CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
b y
b b
a y
1 1 )
0 ( 2
x
1 1 0)
(a a
-2
-x
2 2
1 1
)
1 1 (
) ( ) 1 1 ( )
b a b
a b
a b
Áp dụng BĐT cosi có: =>
ab ab
ab b
a
2 ) (
1 1
4 ) (
2
2
2 2 8
AB2 AB
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2); B(-1; 0)
1
1 a b
ab
b a
; 3 (
A
* KL: Giá trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị hàm số là AB=2 2
Ví dụ 2: Cho hàm số : 2 1 Tìm hai điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao
1
C y
x
cho đoạn AB nhỏ nhất
LG:
: 2 1
1
C y
x
1
x x
Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị (C)nên ta giả sử A(x1; ), B( ; )
1 x
1 x x
1 1
2 1
2
x
1
1
2 2
2 2
x
x x
với x1<-1<x2
Đặt
b b y
b b
a a y
1 1
) 0 (
1
x
1 1
0) (a
a
-1
-x
2 2
1 1
do đó
8
4 8
1 2 2 4 1
2 2 ) ( ) 1 1 ( ) (
)
2
ab
ab b
a ab
ab b
a ab b
a b
a b a
b
a
mà 8 4 2 8 4 8 2
ab
ab ab
ab
=> AB2 88 2 AB 88 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
4 2
1 8
b a ab ab
b a
* Vậy 2 điểm trên 2 nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất là:
2).
) 2 2
1 1
; 2
1 1 ( ), 2 2
1 1
; 2
1 1
4 4
4 4
A
2/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 giao điểm của một đường thẳng với đồ thị hàm số
Trang 10CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ví dụ 3: CMR với mọi m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số: (C) tại 2
1 2
1 3
x
x y
điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB
LG:
Phương trình hoành độ giao điểm của )d) và (C ):
) 1 ( 2
1 , 0 1 )
2 ( 2 2 ) ( 1
2
1
x m
x m x
x f m x x
x
(1) có
m f
m m
m m
, 0 2
5 ) 2
1 (
, 0 5 ) 1 ( 6 2
nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác -1/2 với mọi m
Mặt khác theo Viet: (2x1+1)(2x2+1)=-5<0 =>x1< < x2
2
1
hay (d) luôn cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị (Đpcm)
A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) => AB2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2 -2x1x2 ] = 2(m-1)2 +10 ,10 m
Hay ABmin = 10 m1
* Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1
3/ Bài toán 3: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
d
cx
b
ax
y
Ví dụ 4: Cho đồ thị hàm số: (C ) có I là giao 2 tiệm cận, (d) là một tiếp tuyến của (C )
1
2
x
x y
Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ I đến đường thẳng (d)
LG:
)
1
(
1
'
x
y
.(C ) có giao 2 tiệm cận là: I(-1; 1)
Giả sử M(x0; ) thuộc (C) ( ), tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình:
1
2
0
0
x
x
1
0
x
(d)
0 ) 2 )(
1 ( ) 1 ( 1
2 )
( ) 1 (
1
0 0
2 0 0
0 0 2
0
x
x x x x
y
Khoảng cách từ M đến (d):
d(M; d)=
2 0 2 0
4 0
0 4
0 2
0 0
0
0 2 0 0
) 1 ( ) 1 ( 1
2 )
1 ( 1
1 2 )
1 ( 1
) 2 )(
1 ( 1
2 )
1 (
x x
x
x x
x x
x
x x
x
2
2 )
; ( 1 ,
2 ) 1 ( )
1
(
1
0
2 0 2 0
x
2
0 1
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
1
0
0 4
0
2 0 2
x x
x x
Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max = 2