Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc .. Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất..[r]
Trang 1đề thi thử đại học - NĂM 2009 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH
Câu I Cho hàm số có đồ thị (C).
1
1 2
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II 1 Giải phương trình: 2
cos 2 sin
2sin x
-2x 3sin
x x
2 Giải hệ phương trình :
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y x x
Câu III 1.Tính tích phân sau: 2 sin cos3 dx
0
sin 2
x x
e x
2 Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng:
4 625
3xy z4 15yz x4 4 5zx 81y4 4 5
Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc
Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn )
Câu Va 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( ; 0)
2 1
Đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x-2y+2= 0 , AB =2AD
Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d1) và (d2)có phương trình
Lập phương trình mặt phẳng chứa (d ) và 1 (d2)
.Câu VIa Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x 28x4m(2x1) x2 1.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao )
Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng ( ) và ( ') có phương trình
4t' 2
t' 2 y
t' 2 -2 x :
; 4
2t -1 y
t 3 x
z z
Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) và ( ')
Câu VIb Giải và biện luận phương trình :mx1(m2x2 2mx2)x3 3x2 4x2
******** Hết ********
3
3 9
1 6
4 -x : ) (d
; 1
2 -z 3
1 y 2
1 );
d
đề chính thức
Trang 2Trần Nhân Tông
năm 2009 (lần II) Hướng dẫn chấm môn toán
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
1 2
x
1 Tập xác định: R\{1}
2 Sự biến thiên:
) 1 (
3 )
1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 2 '
x x
x x
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
1 2 lim
lim
1
x y
x x
1 2 lim
lim
1
x y
x x
Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng
1
1 2 lim
x y
x x
Vậy đường thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
-∞
+∞
2 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam
1
3 2
; 0 0
x x
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3 2 ) (
) 1 (
3
0 0
2
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 0,25
Trang 3Câu Nội dung Điểm
1
6 2
;
1
0
x
B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)
2
1
6 2
1
0 0
x
0,25
* IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
IA= IB (HS tự chứng minh)
3 1 1
2 1
6
0
0 0
x x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M 1 (1 3;2 3)
M 2 (1 3;2 3)
Khi đó chu vi AIB = 4 32 6
0,5
II.1
cos 2 sin
sin 2 2 sin
x x
x
cos 2 sin
sin 2 2 sin
x x
x x
Điều kiện: sin2x 0 =>
0 cos
0 sin
x x
* Từ phương trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx
(2sin2x – 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0
2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0
0,5
* 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0
0 ) 1 cos 2 ( sin 0
sin 2 sin
0 sin 1 cos
x x
x x
x x
* 2cosx -1 =0 (do sinx 0)
3 3
cos 2
1 cosx x k
0,5
II.2
Giải hệ phương trình:
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x x
* Hệ phương trình tương đương với
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y
( 2) ( 3) 4 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0
1,00
(loại)
Trang 4Dat * Thay vào hệ phương trình ta có:
2 2 3
4( ) 8
2 hoặc
0
u
v
0 2
u v
thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là : 2; ; ;
3
x y
2 3
x y
2 5
x y
;
2 5
x
y
0,25
0,25
0,5
Tính tích phân /2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
1,00
Đặt sin 2 x= t => dt= 2sinx cosxdx
Đổi cận: x=0 => t=0; x= 1 Khi đó I=
2 t
0
) 1 ( 2
1
dt t
e t
0,5 III.1
t
dt du dv
dt e
u t
2
1 2
1
1
e
2
Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng: 3xy
+
4
625z4 5zx 81y4 415yz x4 4 45 5xyz
1,00 III.2
Bất đẳng thức
2 42
x
9
4 9
y
25
4 25
z
5
2 3
2 2 ( ) 5 3 (
z y x z y x
2 3
) 5 3 (
36 )
5 3 (
9
z y x z
y
0,5
Trang 5Câu Nội dung Điểm
Đặt t = 3 (x.3y.5z)2
3
5 3 )
5 3 (
3
x y z
z y
Điều kiện 0 < t 1 Xét hàm số f(t)= + 9t =45
t
36
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= ; z=
3
1
5 1
0,5
IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc Tính để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
1,00
3 2
3
) tan 2 (
tan
3
4
a
2 3
2
) tan 2 (
tan
2
2
tan 2
tan
2 tan2
1
2 tan2
1
1
Vmax khi đó tan =1 = 45
27
3
4a3
0,5 0,5
Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; AB có phương trình: x- 2y+2= 0;
; 0 2 1
AB= 2AD Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm
1,00 Va.1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=
2 5
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA
đường tròn (C) có phương trình là: A(-2; 0);
4
25 2
2
B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)
Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)
0, 5
0, 5
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )có phương trình:
d 1 : ; d 2 :
t z
t y
t x
2
3 1
2 1
3
3 9
1 6
4
x
Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d 2 )
1,00 Va.2
+ Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh được)
0,25
Trang 6Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phương có giá song song
hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: u1( 2 ; 3 ; 1 ) và M1M2 (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ
pháp tuyến là: n u1, M1M2 ( 1 ; 1 ; 5 )
Mặt phẳng (P) qua M 1 (1; -1; 2) Vậy phương trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0
0,25
0, 5
VIa Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m( 2x+1) x2 1=10x2 x8 4
1,00
0,25
Nhận xét : 10x2 x8 4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
Phương trình tương đương với : (2 ) 2 0
1
1 2 ( ) 1
1 2
2
2
x
x m x
x
Đặt t Điều kiện : -2< t Rút m ta có: m=
x
x
1
1 2
t
t 2
2 2
Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2, 5 , ta có kết quả của m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 <
5
12
4 m m4
0,75
Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4;
-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lượt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phương
trình các cạnh của hình vuông trên.
1,00 + Giả sử đường thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n ( a ; b )
(a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: n 1( b ; a ).Phương trình AB có
dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0
ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5 Vb.1
a b
a b
b a
a b b
a
2 2 2
2
Trường hợp 1: b= -2a; Phương trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y – 6= 0; AD: 2x + y -4 =0
Trường hợp 2: b= -a Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x –y + 2= 0
AD: -x –y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0
0,25 0,25
Vb
2
4
2 1 3
z
t y
t x
u z
u y
u x
4 2 2
2 2
Viết phương trình đường vuông góc chung của () và (’)
1,0 0
Trang 7Câu Nội dung Điểm
+ Gọi đường vuông góc chung của () và (’) là d
Khi đó , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
+ Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n 1 u , u d ( 2 ; 1 ; 10 )
Vậy phương trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi () là mặt phẳng chứa (’) và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến: n 2 u ,' u d ( 6 ; 18 ; 12 )
Vậy phương trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đường vuông góc chung của và ’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x – y + 10z – 47 = 0 và x + 3y – 2z + 6 =0
+Lập phương trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giải và biện luận:mx1(m2x2 2mx2)x3 3x2 4x2 1,0
0
VI.b
* Phương trình tương đương với: (mx1)3 mx1 (x1)3 (x1)
Xét hàm số: f(t)=t3 t, hàm số này đồng biến trên R.
f(mx1) f(x1) mx1 x1
* Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm.
+1m1 phương trình có nghiệm x=
1
2
m
+m=-1 phương trình nghiệm x1
Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm
0,5
0,5
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn được điểm tối đa