Giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 kể cả học sinh có năng lực từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giả[r]

Phòng GD –

 THCS Hà Huy    – " Do – %& Phúc

)  * BÀI TOÁN #/
VÀO TÍNH 1 
2  3 Tên: kysibongdem1089@yahoo.com

I/- Hoàn D& D sinh sáng 46F kinh &6G:H

Toán $ không & là môn khoa $ có !+, - ., trong !$ '0 1 2) 34 56 xã 9 mà nó còn góp :- quan ,/$ trong phát ,/< 2 ,< xã 9 3* là con

=4 Là !9, giáo viên ?  toán 7 tôi  ,@ 3) :- $ sinh 'A: 7 ( %< C $ sinh có

D '1 ) ,F  ,.: thu %. , G lý ,., ,I ' , 3<  ? %. , 38 $ vào  C bài ,: $ sinh còn lúng túng G ,F  tìm ra =A C ;., 3.  ,1  các J=A C %< C & bài ,=M 36 3. %*M &) JC thân tôi  ,@

%. , G ,I ' , khá quan ,/$ trong  tìm 3$ dài 3  ,OP   2) !9, tam giác trong, trong các tam giác 3Q ? R

Chính vì  sau khi $ xong %. , ,I ' , tôi 38 ,/1 ,.: %C sát $ sinh 'A: 7/1 ( 'A: tôi ,/1 ,.: C ?  ) ra 3G bài !9, 56 ?  toán G %. , liên quan 3. ,I ' , và %., ;C = sau:

U6 HS C

3=V U6 HS J., =A =

không C 3=V

U6 HS không ,<

C 3=V

>A: U6 HS

3=V

%C sát

< góp :- nâng cao @, '=VP giúp $ sinh hình thành %I D C toán trong

,/=4 THCS C thân tôi 38 nghiên  :- “ 6D6 :I 5J bài toán 8"@ vào tính &MI

N@ IO PG I&QR =M trình 'A: 7 ]! hình thành D '1 C toán cho $ sinh THCS

Vì 3G % ,4 gian _ = trình 39 %. , còn    nên tôi ` 3 vào !9, 56

@ 3G sau;

* Lý ,.,

- d 0) ,I ' ,

- Tính @, 2) ,I ' ,

* Bài ,:

- >: ,I ' ,

- cho !9, ,I ' , suy ra các ,I ' , khác

- Các bài toán ,1 , trong 34 56 liên quan 3. ,I ' ,

II/- Quá trình I&" &6G và các 6D6 pháp:

< 3G tài 3 ,  ;C ta - chú ,/$ ,A :=M pháp ?  khái !P tính @,P %. ,

!AP :=M pháp ?  ,., ' ,: Ta - ,  các J=A sau;

=A 1: f '  !9, cách  ,6 các 9 dung ly ,., 38 $P sau 3* !A !g /9 cho phép % sâu lý ,., thông qua %<! tra ! + bài ,: ,: trác ! 3K sai A  ,6 ,F 3M C 3. khó

=A 2: Cho $ sinh trình bày bài ,: g nhà 3< %<! tra $ sinh G %i D vân

? lý ,., C bài ,:P %i D tính toán, cách ?j 3 , J] '4P cách trình bày '4 C bài toán C chót '  cá @ 3G có tính giáo ?B phân tích cách C 3K sai g ,F bài /Q 3=) ra cách C thong minh, V: lý,  $ ME

=A 3: cho $ sinh trình bày làm !9, bài ,: !A theo 2 3d 2) giáo viên ]!

%<! tra ngay 51 < J., 2) $ sinh, % : & sai xót $ sinh ! :C Rèn luyên P9, %i D + !9, ,, toán nào 3* M JC cho $ sinh mà giáo viên cho là - ,., trong ,4 3<! này

 DUNG VW 3 NGHIÊN 3U

*Lý I&FIH

1 [& &\@H

b  d

Trong 3* các 56 a, b, c, d 3=V $ là 56   2) ,I ' , Các 56 a và d $ là   ,IP b

và c $ là trung ,I

2 Tính &MIH

a Tính &MI 1: f. a c thì a.d = b.c

b  d

b Tính &MI 2: f. a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì:

a c ; ; ;

a  b

c Tính &MI 3: a, a c = (b o )

  

  d

b, a c = (Các !p 56 khác 0)

   

   

* Bài IH

#% 1:  IO PG I&Q

Bài 1: Các ,I 56 sau 3N có ': thành ,I ' , hay không:

a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có ': thành ,I ' , hay không :

b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6

C

a, có ( 0,3) : 2,7 3 1

27 7

 

 

(- 1,71 ) : 15,39 1, 71 1  ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39

1539 9

 

 

Suy ra các ,I 56 ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 ': thành ,I ' ,

b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 ) 486 3

1134 7

 

 

-9,3 : 21,6 93 31  4,86 : ( 11,34 ) -9,3 : 21,6

216 72

 

Nên các ,I 56 38 cho không ': thành mootjt I ' ,

Bài 2: >: ,@, C các ,I ' , có 3=V ,F 3C , sau:

a, 7 ( -28 ) = (-49 ) 4

b, 0,36 4,25 = 0,9 17

C

a,Áp ? tính @, 2) ,I ' , ta có:

7 ( -28 ) = (-49 )

 7 4 ;7 49; 49 28 4; 28

49 28 4 28 7 4 7 49

b,

0, 36 1, 7 0, 26 0, 9 0, 9 4, 25 1, 7 4, 25

0, 9  4, 25 1, 7  4, 25 0.36  1, 7 0, 36  0, 9

Bài 3: >: ,@, C các ,I ' , có ,< có 3=V ,F các 56 sau: 5; 25; 125; 625

C

Ta có

5 125 5 25 25 625 125 625

25  625 1256  625 5  125 5  5

Bài I K 8`H

1/ >: ,@, C các dãy ,I ' , có 3=V ,F 3C , sau:

.a, 6.6,3 = 9.42

.b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46

2/ >: ,@, C các dãy ,I ',  có ,< 3=V tuef ,I ' sau:

15 35

5,1 11, 4

  

3/

a, 3,5 : 5, 25 và 2,1 : 3,5

b, 39 3 : 522 và 2,1 : 3,5

10 5

Dạng 2: Cho tỉ lệ thức, hãy suy ra tỉ lệ thức khác:

a, Ví dụ: Cho tỉ lệ thức: a c ;

b  d

hãy chứng minh ta có tỉ lệ thức sau:

( giả sử a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )

a b c d

 

b, Các cách giải:

* Cách 1: Để chứng minh a c ta xét ,- tích a.(c-d) và c.(a-b)

a b c d

 

Ta có: a.(c-d) = ac - ad (1)

c.(a-b) = ac - cb (2)

Ta lại có: a c a.d = b.c (3)

b  d 

Từ (1), (2), (3)  a(c-d) = c(a-b)

Do đó: a c

a b c d

 

* Cách 2: Dùng ;,< pháp đặt

= K thì a = bK ; c = dK

b  d

Ta tính giá trị của các tỷ số: a c theo K ta có:

a b c d

 

(1)

( 1) 1

(2)

( 1) 1

Từ (1) và (2)  a c

a bc d

 

* Cách 3: Hoán vị các trung tỷ của tỷ lệ thức:

ta 9,F

c  d

áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta 9,F



 



Hoán vị các trung tỷ của a a b ta 9,F







a b c d

 

* Cách 4: từ

 

      

 

Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét Để chứng minh tỷ lệ thức a c ,- ta dùng 2

b d

;,< pháp chính :

M,< pháp 1: chứng tỏ rằng ad=bc

M,< pháp 2: Chứng tỏ 2 tỷ số và có cùng một giá trị.a

b

c d

Nếu trong đề tài đã cho ,R một tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị của mội tỷ

số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng

minh theo K (cách 2) Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức , hoán vị

các số hạng tính chất dãy tỷ số bằng nhau Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ

thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4).

c, Bài tập vận dụng:

Bài 1: cho tỷ lệ thức sau a c

b d

Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa)

a, 2 3 2 3

2 3 2 3

  

b, ad a22 b22







2 2

  

   

 

Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo một cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và ,] dẫn học sinh cùng thực hiện

Giải:

Đặt a c = K thì a = bK và c = dK

b d

2 3 2 3 (2 3) 2 3

      

(2)

2 3 2 3 (2 3) 2 3

2 3 2 3 (2 3) 2 3

      

Từ (1) và (2)  2 3 2 3

2 3 2 3

  

Câu: (b, c) học sinh tự giải

d, bài tập tự giải:

* Bài 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Từ tỷ lệ thức

hãy suy ra tỉ lệ thức

  

 a a c







 ab a22 b22







* bài 2: Chứng minh rằng tỷ lệ thức:

2 2

2 2

   



* Bài 3: Chứng minh rằng tỷ lệ thức:

Hệ thức a2 = bc

 



  

- Dạng 3: Tìm các số , biết khi biết các tỷ lệ thức

a, Cách giải:

* áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau

 

   

 

* Vận dụng tính chất cơ bản của phân số

: :

b  d bm  dK  b n

* Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng K tìm mối quan hệ của ẩn số qua K

b, Ví dụ:

+ Ví dụ 1:

Tìm 2 số x, y biết: và x + y = 21

5 2



Biết: 7x = 3y và x – y = 16

Giải:

Từ áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:

5 2



Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6

21 3

5 2 5 2 7

x  y xy  



16 4

  

   



 3.4 12

1  



7.4

28

1  



Ví dụ 2:

Tìm các số x, y, z biết rằng ; và 2x + 3y – z = 186

3 4 5 7

x  y y  z

Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy và phải 9, về các phân số

4

y

5

y

( hoặc tỉ số) có cùng chung mẫu số là 20

3.5 4.5



15 20



5 7 20 28

  

Giải:

Từ giải thiết: ;

15 20



20 28



Theo tính chất bằng nhau của tỉ lệ thức:

2 3 2 3 186

3 45; 60; 84

15 20 28 30 60 30 60 28 62

 

 

c, Bài tập vận dụng:

Tìm các số x, y, z biết rằng:

        

 

Giải:

áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:

=

                 

= 2( ) vì ( x + y + y ≠ 0 )

2

 



 

Do đó: x + y + z = 0,5  x + y = 0,5 – z 2,< tự tìm x + z và y + z; thay kết quả này vào đề bài ta 9,F

0, 5 1 0, 5 2 0, 5 3

2

     

Tức là: 1, 5 0, 5 y 2, 5 z 2

  

Vậy: 1; 5; 5

2 6 6

x y z

d, Bài tập tự giải:

Bài 1: Tìm các số a, b, c biết rằng:

a, và a + 2b - 3c = -20

2 3 4

 

b, ; và a – b + c = -49

2 3 5 4

a b b  c

2 3 4

  a2 b2  2c2  108

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a, và 5x + y - 2z = 28

10 6 21

 

b, 3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32

c, ; và 2x – 3y + z = 6

3 4 3 5

x  y y  z

d, 2 3 4 và x + y +z = 49

3 4 5

 

e, 1 2 3 và 2x + 3y – z = 50

x  y  z

2 3 5

 

Dạng 4:

Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con ,- vào hình học ….

a, Ví dụ 1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với

2, 3, 4

Giải:

Số đo các góc của ABC là ; ; Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với 2, A

B

C

3 và 4 nghĩa là : : = 2 : 3 : 4 hay A

B

C

0 0

180

20

2 3 4 2 3 4 9

 

     

40

60

80

C 

b, Ví dụ 2:

Một ,- đi A  B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45’ Vì rằng ,- đó chỉ đi 9,F quãng 9,- với vận tốc định ,R và quãng 9,- còn 4

5

lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h Hỏi ,- đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng 9,- AB dài bao nhiêu km ?

Giải:

Gọi AC là quãng 9,- đi với vận tốc 6km/h CB là quãng 9,- đi với vận tốc 4,5km/h theo đề bài ta có:

CB = AB, Giải sử để đi quãng 9,- CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà giời 1

Còn đi với vận tốc 4,5km/h với thời gian giờ Ta có:t2

- = 12h – 11h45 = (h) và 6 = 4,5

1

4 t1 t2

Từ đó = 1h; =

 2 1 2 1

1 1 4

6 4, 5 6 4, 5 1, 5 6

h

h



4h

Quãng 9,- Ab là : 4,5 5 = 22,5km

Quãng 9,- Cb là : 3.6 = 4,5km

4

Thời gian để đi bộ từ A  B là 4 + = 3h + 1h = 4ht1 t2

Thời gian khởi hành để đi bộ là 12 - 4 = 8h

c, Bài tập tự giải:

* Bài 1: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000đ ; 5 000đ và 10 000đ Trị giá mỗi loại tiền trên

đều , nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ ?

* Bài 2: Trên một công ,- xây dựng có 3 đội coong nhân làm việc Biết rằng số 2

3

công nhân đội I bằng 8 số công nhân đội II bằng số công nhân đội III Biết rằng

11

4 5

số công nhân đội I ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 18 ,- Tính số công nhân của mỗi đôi

* Cỏc &a phỏp bc 5d 8`

- Tham %C cỏc tài ' 3x !A :=M phỏp ?  và $ g ,/=4 THCS, cỏc :=M phỏp ?  $P sgk và bài ,: toỏn 7, ụn ' toỏn 7, nõng cao và phỏt ,/< toỏn

- =M phỏp ,x %., kinh !

- $ y kinh ! 2) cỏc 3Q :

* Cỏc 76G phỏp ed lớ.

- z 3G tài - tụi  ,6 '  và Jx sung thờm !9, 56 '=V %. , và bài ,: cho

!{ 3M d %. , |{ 3M d %. , 3=V trỡnh bày riờng J, 3} , cho  ? 

Khi ?  36 A !{ %. , tụi ?  lý ,., ,/=A sau 3* cú vớ ? minh $) và bài ,: kốm theo Cỏc bài ,: dduocj phõn chia thành ,F ?  và cỏch C cho ,F ? 

'Q ghộp vào !9, 56 ,., $ cú liờn quan 3. 3G tài Sau !{ :- tụi 3< cho $ sinh

%<! tra ! J, =P =V 3<! 2) $ sinh

* '&%: vi bc I&" &6G trong bf tài: Áp ? ,  nhà ,/=4 cho $ sinh 'A: 7 III/- E& giỏ &6G gD sỏng 46F kinh &6G::

1 So sỏnh và bJ6 &Q:

* Khi =) 3=V ỏp ? , ! sỏng %. kinh ! :

- $ sinh =) < và ! J, 3=V %i D C toỏn ,I ' ,

- Ít quan tõm khi nghe C bài

- $ sinh =) ,<  3=V ý ,=g làm bài

- =) phỏt huy 3=V %C D ,1 $P ,1 sỏng , 

- =) phỏt huy tớnh tớch 1 trong $ ,:

* Khi 3=V ỏp ? , ! sỏng %. kinh ! :

- l@, thớch thỳ và :@ %g khi 3=V C bài ,: ,I ' ,

- Phát huy 3=V tính sáng , P D say trong $ ,:

- Các em /@, :@ %g khi mình C 3=V bài ,:

-2  ;C giáo ?

- Giúp các em < và ! & %. , ,I ' ,

- Giáo ? có  ;C giúp các em ,1 tin trong $ toán

- >  Jy 3=V 51 nhút nhát /, rè khi C toán ,I ' ,

- $ sinh hình thành 3=V ký D C toán ,I ', 

3 Các 56 '  minh:

U6 HS C

3=V U6 HS J., =A =

không C 3=V

U6 HS không ,<

C 3=V

>A: U6 HS

3=V

%C sát

4 Sáng %. này 38 3=V ?  vào ,4 gian thêm 2) 'A: ,  ,/=4 và ?  'Q ghép vào !9, 56 ,., $ có liên quan 3. 3G tài

IV/- VFI P:

1 " bE& giá SKKN:

- ^A 5 { '1 không F 2) C giáo viên và $ sinh Cô trò tôi 38 thu 3=V

4 lên 'A: _ = các 4 ôn ' $ sinh khá, y ^A $ sinh 'A: 7/1 mà tôi

C ?  , các ?  toán trên liên quan 3h ,I ' , không còn là @ 3G 3  

&) ^A 3m tài này !+ dù trong quá trình làm bài ,: !9, 56 em còn =A !

= A 51 V ý 2) tôi - ., các em có ,. J9 rõ /, Ngoài các bài toán trên các em còn có 5= ,-! thêm các bài toán liên quan 3h ,I ' , g các sách nâng cao 3< làm

2 Bài &h kinh &6G::

Qua G '- áp ? 3G tài này - chú ý các @ 3G sau :

- < 3„ !@, ,4 gian ,1  ta nên - giao nhiêm  C bài ,:  ,< cho các

em, giao cho các nhóm C theo các ? 

- Giáo viên nên tham %C G M ý G các sách :=M pháp ?  $ 3x !A

* Do 3G % G ,4 gian và kinh ! JC than =) G nên 3G tài không ,< tránh %y & ,. sót Tôi /@, mong các 3Q : và 9 3 ,…! 3d các @: góp ý góp ý %. chân thành 3< 3m tài 2) tôi 3=V hoàn ,

Tôi xin chân thành C! M†

& xét N@ V

&N I[& V

 UMP ngày 25 tháng 3 D! 2011

6 K6FI

j Xuân #l

minh theo K (cách 2) Cũng ta dùng tính chất tỷ lệ thức , hốn vị

các số hạng tính chất dãy tỷ số Tính chất đẳng thức để...

Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống ,- vào hình học ….

a, Ví dụ 1: Tìm số đo góc tam giác ABC biết số đo góc tỷ lệ với

2, 3,

Giải: ... tỷ số Tính chất đẳng thức để biến đổi tỷ lệ

thức tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 4).

c, Bài tập vận dụng:

Bài 1: cho tỷ lệ thức sau a c