5.Phương pháp đổi biến không hoàn toàn: Câu 14.[r]
Trang 1Tháng 11/2012 GV: Đinh Quang Đạo
Chủ đề 3: phương trình, bất phương trình
mũ và lôgarit
1.Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 2
3 2 2
1
2
2
x x x
x
x x
Hướng dẫn:
Ta có log ( 1 ) log ( 2 2 2 3 ) 2 3 2
3
2
3 x x x x x x
) 3 2 2 ( log ) 3 2 2 ( ) 1 (
log ) 1
3 2
2 3
Xét hàm số f(t) t log3t, với t 0, ta có 0 Suy ra hàm số đồng
3 ln
1 1 ) (
t t
biến trên khoảng ( 0 ; )
Suy ra f(x2 x 1 ) f( 2x2 2x 3 ) (x2 x 1 ) ( 2x2 2x 3 ) x2 3x 2 0
2
1
x
x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 2 2 5
1
1
x x
x
Hướng dẫn:
1
1
x x
1
1
x x
x
Xét hàm số ( ) 2 2 5, với
1
1
x xx
x
0 2 ln 2
1 2 ln
2
)
(
'
1 2
x
x x
Bảng biến thiên:
0 0
1 -1
+
-3
+
-3
+
0 -
f(x)
f'(x)
x
1
0 1
0 )
x
x x
f
Vậy nghiệm của bất phương trình là x 1 ; 01 ;
2.Phương pháp chuyển thành hệ:
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
a) 2010 2x 2010x 12 12 (HSG Tỉnh NA 2010-2011)
b)2 2x 2x 6 6; c) 3x 2 log3( 2x 1 ) 1 ;
Hướng dẫn:
a)Đặt u 2010x và v 2010x 12, u>0,v>0
Trang 2Suy ra
12
12 2
2
u v
v u
0 ) 1 )(
(
12 2
v u v u
v u
0 1
12 2
v u
v u
1
0 11 2
u v
u u
2
1 5 3 2
1 5 3
v u
2
1 5 3 log 2
1 5 3
x
x
2
1 5 3 log2010
x
c)Đặt t log (23 x 1) ta có hệ phương trình:
x
u
u
x
Xét hàm số f x( ) 3 x 2x 1, ta có: f x'( ) 3 ln 3 2; ''( ) 3 (ln 3) x f x x 2 0, x
mà f '(0) ln 3 2 0; '(1) 3ln 3 2 0 f ;
suy ra f x'( ) 0 có nghiệm duy nhất x0 (0;1)
Ví dụ 3.Giải phương trình: log5( 3 3x 1 ) log4( 3x 1 )
Hướng dẫn:
Đặt t log5( 3 3x 1 ) t log4( 3x 1 ),
t x
t x
4
1
3
5 1 3
3
t x
t t
4 1 3
5 2 3
t x
t t
4 1 3
0 1 5
2 5
1 3
5
2 5
1 3 )
t t
t
4.Phương pháp đổi biến số:
Ví dụ 5:Giải phương trình:
3
2 1
10 1
10 log 3x log 3x x
Hướng dẫn:
3
2 1
10 1
10 log 3x log 3x x
log3x log3x 3 log3x
3
2 1
10 1
3
2 3
1 10 3
1
10 log3 log3
x x
x
t
3
log 3
1 10
3
10 1 0
3 2 3
3
2
1 2
t
t
3
10
1
3
1 10 3
1
10 log3
x
Bài tập:
Câu 1.Giải các phương trình:
3 2
2
1
2
2
x x x
x
x x
3x 6x 2x
Câu 2.Giải các phương trình sau:
Trang 3a)3x x2 1; b) 2003x 2005x 4006x 2 (HSG Tỉnh NA 2004) ;
2
3 (
3
2 x x x
Câu 3 Giải phương trình:
a)4x ( 5 x) 2x 4 (x 1 ) 0 ;
b) 4 ( 5 log ) 2 1 4 (log2 1 ) 0
2
x
Câu 4 Giải phương trình:
2
1 ) 7 2 8
(
logx1 x x
b) log ( 2 2 ) 3 log 3 2 2 5;
2
2 x x x x
3 2
1 log
) 4 ( 3
2
1
x
x x
x
x
Câu 6 Tìm m để phương trình
2 cos
2
x x m x
b) log 2 2 log2 3 (log2 3 ) có nghiệm
2x x m x x32 ;
Câu 7.Tìm m để bất phương trình :
a) 4xm 2xm 3 0 có nghiệm
b) log ( 2 ) 8 log ( 2 2 ) 10 0 nghiệm đúng với mọi
4
2
c) m 9 2x2x ( 2m 1 ) 6 2x2x m 4 2x2x 0 nghiệm đúng với mọi ; )
2
1 [ ] 2
1
; (
x
d) log ( 4 ) log ( 2 1 ) 1 nghiệm đúng với mọi ;
5
2
Câu 8.Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm thực
4 log ( 2 3 ) 2 log ( 2 2 ) 0
2 1 2 2
2
2
m x x
m
x
Câu 9.Giải các phương trình:
log (x 6 x) log x t log3 x xlog 7 11 3 log 7x 2x
c) log (73 x 2) log (6 5 x 19);
Hướng dẫn:
Xét hàm số f x( ) log (7 3 x 2) log (65 x 19), ta có :
5
7 2 6 19
Suy ra x 1 là nghiệm dương duy nhất của phương trình
Với x 0 ta có : log (73 x 2) 1 và log (65 x 19) log 19 1 5 Suy ra phương trình không có nghiệm với x 0
Câu 10.Giải các phương trình:
a) 2 2x 2x 6 6 b) log 2 log2 1 1
2 x x
2ln ln( 2ln ) 0
3
Câu 11.Giải các phương trình:
3
131 2 ( log 44 3 2
5
2x x x 2 x x 3x 2 log3( 2x 1 ) 1
Trang 4Câu 12.Giải phương trình: log ( 2 2 ) 3 log 3 2 2 5.
2
2 x xx x
Câu 13.Giải các phương trình:
a)3 2 log2x 2x1 log23 8x2 0; b) ;
2
5 2
1 2
3 log log3
x
5.Phương pháp đổi biến không hoàn toàn:
Câu 14 Giải phương trình:
a)4x ( 5 x) 2x 4 (x 1 ) 0 ; d)3 25x 2 ( 3x 10 ) 5x 2 3 x 0;
b) 4 ( 5 log ) 2 1 4 (log2 1 ) 0
2
x
3 2
1 log
) 4 ( 3
2
1
x
x x
x
x
0 16 ) 1 ( log ) 1 ( 4 ) 1 ( log ) 2
x
6.Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Câu 15 Giải phương trình:
2
1 ) 7 2 8
(
logx1 x x log ( 8 ) log ( 1 1 ) 2
2 1
2
2 x x x
4
1 ) 3 (
log
2
1
2
8 4
1
2 1
2x x x x x
7.Phương pháp phân tích thành nhân tử:
Câu 16.Giải phương trình:
a)4 2x x2 2x3 4 2 x2 2x34x4; b) 2x2x 4 2x2x 2 2x 4 0;
c) 4x2x 2 1 x2 2 (x 1 )2 1;
Câu 17.Giải phương trình:
a)8 3x 3 2x 24 6x ; b)12 3x 3 15x 5x 1 20
Câu 18.Giải bất phương trình:
a) 4 2x 15.2 2(x x 4 ) 16 1 x 4 0