Giáo án Bồi dưỡn học sinh giỏi Toán 8 - Trường THCS Quảng Hợp

Gîi ý : ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đường phụ để có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng B định lí về đường trung b[r]

Tiết 1-2-3-4

Chuyên đề 1:

phép nhân và phép chia đa thức

Dạng tổng quát:

Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:

A(B+C) = A.B +A.C ( A + B)( C+ D ) = A C + A D + B C + B D

Các bài toán vận dụng:

Bài toán 1:

Cho biểu thức:

-433

432 229

1 ) 433

1 2 ( 229

3







433 229

4



a) Bằng cách đặt a, , hãy rút gọn biểu thức M theo và

229

1

b

 433

1

b) Tính giá trị của biểu thức M

Giải:

a) M = 3a( 2 b) a( 1 b)  4ab 5a

b) M =

229

5 229

1 5

5a  

Bài toán 2:

Tính giá trị của biểu thức:

A= x5  5x4  5x3  5x2  5x 1 với x= 4

Giải:

Cách 1 Thay x 4, ta có

A = 4 -5.4 +5.4 -5.4 +5.4-15 4 3 2

= 4 -(4+1).4 +(4+1).4 -(4+1)4 + (4+1).4-15 4 3 2

= 4-1

= 3

Cách 2: Thay 5 bởi x 1 , ta có:

A = x5  (x 1 )x4  (x 1 )x3  (x 1 )x2  (x 1 )x 1

= x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2+

1

2  x

x

= x 1

= 3

Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta "  thay chữ bằng NO4K  ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ

Bài toán 3:

Chứng minh hằng đẳng thức

2

) )(

( ) )(

( ) )(

(xa xb  xb xc  xc xa abbccax

biết rằng 2xabc

Giải:

).

( ) (

2 3

2

ca bc ab c b a x x ab cx x bc bx cx x ab

bx

Thay abc bởi 2x (+ vế trái bằng x2 abbcca, bằng vế phải

bài tập:

Bài tập 1: Rút gọn bểu thức

2 3 ( 5 )

2yx xy y x yx

2 ,

2ab b y a ab b a

Bài tập 2:

a)Chứng minh rằng 10 11 12chia hết cho 7

2 2

b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba

số tự nhiên liên tiếp

Bài tập 3:

Tính

39

8 118 117

5 119

118 5 117

4 119

1 117

1











Bài tập 4:

Chứng minh hằng đẳng thức:

((a2 b2 c2 abbcca)(abc) a(a2 bc) b(b2 ca) c(c2 ab)

Bài tập 5:

Rút gọn biểu thức (xa)(xb)(xc)

biểu rằng abc 6 ,abbcca  7 ,abc  60

Tiết 5-6-7-8

Chuyên đề 2:

các hằng đẳng thức đáng nhớ

Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở rộng

từ đẳng thức (1) ta suy ra:

ca bc ab c

b a c b

(   2  2  2  2   

Mở rộng:

n n n

n

a a

a1 2 )2 12 22 12 2 2 1 2 2 1

Tổng quát:

n b n a n

a B b B b

a )  ( )   ( )  (

Các ví dụ :

Ví dụ 1:

Cho x+y=9 ; xy=14 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x-y ; b) x +y ; c)x +y 2 2 3 3 Giải

a) (x-y) =x -2xy+y =x +2xy+y -4xy=(x+y) -4xy=9 -4.14=25=52 2 2 2 2 2 2 2

suy ra x-y = 5

b) (x+y) =x +y +2xy2 2 2

suy ra x +y =(x+y) -2xy = 9 -2.14 = 532 2 2 2 c) (x+y) = x +y +3x y+3xy = x +y +3xy(x+y) 3 3 3 2 2 3 3

suy ra x +y =(x+y) -3xy(x+y) =9 -3.14.9 = 3513 3 3 3

Nhận xét:

1 Hai số có bình )  bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng

4K+ lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình )  bằng nhau

( A – B) = ( B – A )2 2

2 Để tiện sử dụng ta còn viết:

( A + B) = A + B + 3AB(A+B)3 3 3 ( A – B) = A - B - 3AB(A-B )3 3 3

Ví dụ 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = (x + 3y – 5) - 6xy + 262

Giải :

A = x + 9y + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 262 2 = ( x - 10x + 25) + ( 9y - 30y + 25 ) + 12 2 = ( x -5) + ( 3y-5) + 12 2

Vì (x-5)2  0 (dấu “ =” xảy ra  x=5 ); (3y-5) 0 (dấu “=” xảy ra2  

y= ) nên A 1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y )

3

3

5



Ta viết min A = 1

Nhận xét :

1 Các hằng đẳng thức (+ vận dụng theo hai chiều + nhau

Chẳng hạn:

(A – B ) = A - 2AB + B hoặc + lại2 2 2

2 Bình )  của mọi số đều không âm :

( A – B )2 0 (dấu “ =” xảy ra  A = B)

Ví dụ 4:

Cho đa thức 2x - 5x +3.Viết đa thức trên , dạng một đa 2 thức của biến y trong đó y =x+ 1

Giải: thay x bởi y-1, ta (+ :

1x - 5x +3 = 2( y – 1) - 5( y-1 ) + 32 2

= 2 ( y - 2y + 1) – 5y + 3 + 52 = 2y - 9y + 102

Ví dụ 5:

Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?

A = (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)2 4 8 16

B = 2 32 Giải:

Nhân hai vế của A với 2-1, ta (+ :

A = (2-1)(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).2 4 8 16

2 2

A = 2 -1 Vậy A < B.32

Ví dụ 6:

Rút gọn biểu thức :

A = (a + b + c) + (a - b – c) -6a(b + c) 3 3 2 Giải :

A = [a + (b + c)] + [a – (b + c)] - 6a(b + c )3 3 2 = a + 3a (b + c) + 3a(b + c) + (b + c) + a -3a (b + c) + 3 2 2 3 2 + a - 3a (b + c) + 3a(b + c) - (b + c) - 6a(b + c) = 2a3 2 2 3 2

3

Bài tập vận dụng:

A – Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)

Bài 6:

Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:

a) 127 +146.127 + 73 ;2 2

b) 9 2 - (18 - 1)(18 + 1) ;8 8 4 4

c) 100 - 99 + 98 - + 2 - 12 2 2 2 2

d) (20 +18 + +4 +2 ) – (19 +17 + +3 +1 ) ;2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

75 125 150 125

220 780







Bài 7 :

Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :

a) A = 22 22 ; b) B = 263 + 74.263 + 37 ; C = 136 -92.136 + 46 ;

246 254

242 258



c) D = (50 + 48 + +2 ) – (49 +47 + +3 + 1 )2 2 2 2 2 2 2

Bài 8 :

Cho a + b + c = ab + bc + ca   minh rằng a = b = c 2 2 2

Bài 9 :

Tìm x và tìm n N biết

x + 2x + 4 - 2 +2 = 0.2 n n 1

B – Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :

Bài 10 :

Rút gọn các biểu thức : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;

b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3;

c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ;

Bài 11 :

Tìm x biết : 6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0

Bài 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 13 :

Cho a+b+c+d = 0 Chøng minh r»ng :

a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Bµi 14 :

Cho a+b = 1 TÝnh gi¸ trÞ cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2)

D C

B A

Tiết 9-10-11-12

Chuyên đề 3: Tứ Giác – hình Thang – Hình thang cân

*) Khái niệm chung về tứ giác:

+) Định nghĩa :

a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một (  thẳng.

A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.

Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh

đối (không kề nhau)

a  chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau

Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt

điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác

b) ABCD là tứ giác lồi ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là (  thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó

Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm

Trong hình, ABCD là tứ giác lồi

3 Định lí:

Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600

*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:

Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai (  chéo cắt nhau

Đảo lại, nếu một tứ giác có hai (  chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác lồi

ABCD lồi  ABCD có hai (  chéo cắt nhau

Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:

(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy  tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M

Oz, N Oy

(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng

bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy

(III)

Cho tam giác ABC

a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?

C A

B

j

M'

M

B

C A

M N

C A

B

b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng

hàng với hai đỉnh nào của tam giác) Với vị trí nào của điểm M thì ABCM

là tứ giác lồi?

c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không

thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác) Chứng minh rằng trong năm điểm

A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra (+ bốn điểm là đỉnh của một tứ giác

lồi

Giải a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt

phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h 2a)

b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm

bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC

Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì

có hai "  hợp :

- M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác trong h 2b, M ở

trong góc đối đỉnh của góc B Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền

trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm)

- M ở trong một góc của tam giác trong hình 2b, M’ nằm trong góc A Do

đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC, cho

nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi

Tóm lại, trong h 2b, các miền (+ gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC

là tứ giác lõm

Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các

đỉnh của tứ giác lồi

c) a  thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ cũng không cắt một cạnh của

tam giác ABC Trong h 2c, (  thẳng MN không cắt AC Tứ giác MNCA là

tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam giác MAC và nằm trong góc

MAC)

C

D A

B

H 2a

các ví dụ :

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các (  chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các (  chéo

*) Nhận xét :

Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài nên kẻ thêm các (  phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tam giác,

toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”

Giải Cho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh :

AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)

1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA

Ta có :

AC < AB +BC (bất đẳng thức trong ABC)

AC < AD + DC (bất đẳng thức trong ADC)

BD < BC + CD (bất đẳng thức trong BCD) 

BD < BA + AD (bất đẳng thức trong BAD)

Từ đó :

2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)

AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chứng minh

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)

Trong tam giác ABO và CDO, ta có :

AB < BO + OA (1)

CD < CO + OD (2) Cộng (1) và (2) ta có :

AB + CD < BO + OD + CO + OA

AB + CD < BD + AC (3) )  tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :

AD + BC < BD + AC (4)

Từ (3) và (4) ta (+ :

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (đpcm)

*) Nhận xét:

1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của

tứ giác, còn vế phải là tổng của hai (  chéo Vậy có thể phát biểu mệnh đề : “ Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai (  chéo”

O C

D

A

B

Q F

P

B A

2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn

đúng không ? vì sao?

Ví dụ 2:

Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD Chứng minh rằng : AB < AC

Giải Gọi giao điểm của AC và BD là O

Trong tam giác AOB, ta có :

AB < AO + OB (1)

Trong tam giác COD, ta có :

CD < CO + OD (2)

Từ (1) và (2) ta có :

AB + CD < BO + OD + CO + OA

AB + CD < AC + BD (3)

Theo giả thiết :

AB + BD AC + CD (4)

Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.(đpcm)

Ví dụ 3 :

Cho tứ giác lồi ABCD Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC Chứng minh rằng :

PQ 

2

AB

DC

Gợi ý :

ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ (  phụ để

có các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng

định lí về (  trung bình trong tam giác

Giải

GT Tứ giác ABCD

PA = PD, QB = QC

KL PQ 

2

AB

DC

Cm:

Ta kẻ thêm (  chéo AC và lấy trung điểm

F của AC

Trong tam giác ACD, PF là (  trung bình, do đó :

PF =

2

DC

Trong tam giác ACD, PF là (  trung bình do đó :

QF =

2

AB

Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:

PQ < PF + QF =

2

AB

DC

Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta

có :

PQ = PF + QF =

2

AB

DC

K vậy trong mọi "  hợp, ta có :

PQ  ( đpcm)

2

AB

DC

Nhận xét :

Có thể thấy ngay rằng :

P, Q, F thẳng hàng  AB//CD

Do đó ta chứng minh (+ rằng :

2

AB

DC

Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD

K vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định lí:

(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =

2

AB

CD

(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ 

2

AB

CD

và PQ <

2

AB

DC

Các bài tập : Bài tập 1:

Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và

BD Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E

Bài tập 2:

D C

B A

D

C

B A

B A

Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba

điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn (+ bốn điểm là các đỉnh của một tứ giác lồi

Bài tập 3:

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau thì có ít nhất một góc tù

Bài tập 4:

Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E, hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M Kẻ hai phân giác của hai góc CED

và BMC cắt nhau tại K tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD

*) hình thang hình thang cân:

Hình thang:

-) Định nghĩa:

Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song

AB//CD ABCD là hình thang  hoặc (AB//CD,AD//BC)

AD//BC

Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là (  trung bình

2 Định lí (về (  trung bình)

AB//CD PQ//AB và PQ =

2

CD

AB

hình thang cân

1 Định nghĩa:

Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau

2 Tính chất:

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau

Hình thang ABCD (AB//CD) :  BC= AD

D E

O

K L

A

Định lí 2 : Trong hình thang cân hai (  chéo bằng nhau

Hình thang ABCD(AB//CD) : AC = BD

Định lí 3 :(đảo của định lí 2)

Nếu hình thang có hai (  chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân

3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang

đó có một trong các tính chất sau :

1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa)

2) Hai (  chéo bằng nhau

Ví dụ 4 :

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy các điểm E, K lần P" trên các tia

AB và AC sao cho :

AE + AK = AB + AC Chứng minh rằng : BC < EK

Giải :

Lấy trên AB một điểm L sao cho

AL = AK Lấy trên AC một điểm D sao cho

AD = AE

Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung góc ở

đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau Suy ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các (  chéo bằng nhau

Gọi O là giao điểm của hai (  chéo DL và EK, ta xét tổng :

EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)

= (EO + OD) + (OK + OL)

Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :

2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) K  trong tam giác OKL, ta có :

Trong DEO : EO + OD > ED (4)

Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5)

Từ giả thiết AE + AK = AB + AC

Suy ra BE = CK

Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên

BE = CK

B A

2 1

2 1 A

B K

Vậy DC = CK

)  tự, ta cũng chứng minh (+ B là trung điểm của EL

Từ đó, BC ;là (  trung bình của hình thang DELK, suy ra :

Từ (5) và (6), ta có : EK > BC ( đ p c m).

Ví dụ 5 :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai (  chéo vuông góc Biết (  cao AH = h, Tính tổng hai đáy

Giải :

Vẽ AE// BD (E CD) Vì AC BD (gt) nên AC AE   

(quan hệ giữa tính song song và vuông góc)

Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn)

AC = BD (tính chất (  chéo hình thang

cân)Suy ra AC = AE ; AEC vuông cân tại A A

; (  cao AH cũng là trung tuyến,

do đó AH = 1EC 1(AB CD) hay

AB + CD =2h

Nhận xét:

Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ (  phụ ta có thể :

- Từ một đỉng vẽ (  thẳng song song với một (  chéo /  ví dụ trên)

- Từ một đỉnh vẽ một (  thẳng song song với một cạnh bên

- Từ một đỉnh vẽ thêm một (  cao

Ví dụ 6 :

Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và A A 0 Chứng minh rằng

A C 180 a) Tia DB là tia phân giác của góc D

b) Tứ giác ABCD là hình thang cân

Giải :

a) Vẽ BH CD, BK AD Ta có   AA1CA(cùng bù với

) do đó BHC = BKA(cạnh huyền, góc

A

2

nhọn), suy ra BH = BK

Vậy DB là tia phân giác của góc D

b) Góc A1 là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên

(vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

1 1 1

A 2D A ADCAB // CD

- M góc đối đỉnh góc tam giác h 2b, M

trong góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đỉng B lại điểm thuộc miền

trong tam giác MAC, AMCB khơng lồi(lõm)

- M góc... cân, cần vẽ (  phụ ta :

- Từ đỉng vẽ (  thẳng song song với (  chéo /  ví dụ trên)

- Từ đỉnh vẽ (  thẳng song song với cạnh bên

- Từ đỉnh vẽ thêm (  cao

Ví... lớn tổng độ dài (  chéo nhỏ hai lần tổng độ dài (  chéo

*) Nhận xét :

Đây toán chứng minh bất đẳng thức độ dài nên kẻ thêm (  phụ, xét tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong