Bài mới: HĐ1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong HĐ CỦA GV -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán 2 sgk +Gọi st là quãng đường đi được của vật cho [r]
Trang 1Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
§ 3 TÍCH PHÂN
I MỤC TIÊU:
1 Về kiến thức: khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
của một vật
2 Về kỷ năng:
- Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản
3 Về tư duy thái độ:
II CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ:
1 Chuẩn bị của thầy :
2 Chuẩn bị của trò:
III PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:
IV TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1 Ổn định tổ chức: kiểm tra sỉ số,
2 Kiểm tra bài cũ :
0
0 0
'
0
lim
x x
x f x f x
f
x
3 Bài mới:
HĐ1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
I/Khái niệm hình thang cong
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x y
x 0
y=f(x)= x+1
f(x0)
A
B
C D
G
H
( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết
các đường thẳng: AB:
Trang 2Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y
= 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang
ABCD
hình thang AHGDbằng bao
nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có
liên hệ như thế nào ?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình
thang cong và công thức tính d/t
nó
x y
b
y=f(x)
A
B a
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính
diện tích của hình thang cong
aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số
Ox và các đương thẳng x = a , x =
b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị
(C) của hàm số y = f(x), trục Ox
và các đường thẳng đi qua a, x
và song song Oy Hãy chứng
minh S(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên [a; b]
thuộc (a ; b)
-Diện tích hình thang cong
MNEQ?
2
3 7
S(t) =
4 2
) 2 ( 2
1
t
t t
t
t 2;6
nguyên hàm của f(t) = t+1 S(6) = 20,S(2) = 0
-Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một số hình thang cong
SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân:
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk)
x
y
b
y=f(x)
A
B
a
S(x)
Hình 3
1 2 3 4
x
y
f(x 0 ) f(x)
P Q
E F
y f(x)
SMNEQ là S(x) – S(x0)
f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0)
Trang 3Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích
*f(x) liên tục trên [ a; b ]
?
f x
x
xlim0
0
0) ( ) ( lim
x S x S x
x
0) ( ) ( lim
x S x S x
x
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?
* SMNEQ = S(x) – S(x0)
S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức
BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số
Khi đó diện tích của hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C) của
hàm số y = f(x), trục Ox và
2 đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a)
trong đó F(x) là một nguyên
hàm bất kì của hàm số f(x) trên
[ a; b ]
f(x0)
f x x
x 0
lim
f(x0) (2)
0
0) ( ) ( lim
x S x S x x
f(x0) (3)
0) ( ) ( lim
x S x S x x
f(x0)
0
0) ( ) ( lim
x S x S x x
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
0
0 x -x
) S(x -S(x)
f x x
x 0
lim
0
0) ( ) ( lim
x S x S x x
0) ( ) ( lim
x S x S x x
Từ (2) và (3)ta có:
0
0) ( ) ( lim
x S x S x x
nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ]
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a)
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x) của
f(x) trong họ các nguyên hàm đã
tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên:
5
5
x
số) Chọn F(x) =
5
5
x
F(1) = , F(2) =
5
1
5 32
5
31
dvdt
GIẢI:
5
5
x
5
5
x
F(1) = , F(2) =
5
1
5 32
5 31
đvdt
Trang 4Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
4 Củng cố toàn bài:
Tieát 57
1 Bài mới:
HĐ1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
-Giáo viên định hướng học sinh
giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi
được của vật cho đến thời điểm
t Quãng đường đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm t
= a đến thời điểm t = b là bao
nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như thế
nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ
như thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ
như thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo
F(a) và F(b)?
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của f(t)?
+Lấy một nguyên hàm của F(t)
của f(t) trong họ các nguyên
hàm đã tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được
với F(20) và F(50)
-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1)
v(t) = s’(t) s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
F(a)
-Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên
2
3 ) 2 3
2
3
2
F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–
F(20)=3210(m)
b, Quãng đường đi đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
GIẢI:
2
3 ) 2 3
2
3
2
F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân
-Giáo viên nêu định nghĩa tích
phân (sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh Trong
Định nghĩa: (sgk)
Trang 5Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
trường hợp a < b, ta gọi
là tích phân của f trên
b
a
dx
x
đoạn [a ; b ]
Giáo viên yêu cầu học sinh trả
lời câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)
bất kì trong họ các nguyên hàm
đó
a
dx
x
-Nhận xét kết quả thu được
-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)|
để chỉ hiệu số F(b) -F(a)
b
a
-Hãy dùng kí hiệu này để viết
b
a
dx
x
-Giáo viên lưu ý học sinh:
Người ta gọi hai số a, b là hai
cận tích phân, số a là cận dưới,
số b la cận trên, f là hàm số dưới
dấu tích phân, f(x)dx là biểu
thức dưới dấu tích phân và x là
biến số lấy tích phân
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập số 3
Học sinh tiến hành giải dưới
sự định hướng của giáo viên
a
dx x
g(x)+C
]-b
a
dx x
= g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Giả sử F(x) là một nguyên
a
dx x
a
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:
a
chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F
là một nguyên hàm của f trên k thì :
= F(x)|
b
a
dx x
a
a) 5
1
2xdx
-Tìm nguyên hàm của 2x?
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
0
sin
xdx
-Tìm nguyên hàm của sinx?
-Thay các cận vào nguyên hàm
1
1
0 sin
0
Giải:
1
1
0 sin
0
Trang 6Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
trên
4
/
2
cos
dx
x
2 cos 1
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
d) 4
2 x
dx
-Tìm nguyên hàm của ?
x
1
-Thay các cận vào nguyên hàm
trên
+Với định nghĩa tích phân như
trên, kết quả thu được ở bài toán
1 được phát biểu lại như thế
nào?
-Giáo viên thể chế hóa tri thức,
đưa ra nội dung của định lý
1:Cho hàm số y = f(x) liên tục
và không âm trên K; a và b là
hai số thuộc K
( a<b) Khi đó diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x) trục hoành và
2 đường thẳng x = a, x =b là: S
= b
a
dx
x
-Giáo viên hướng dẫn học sinh
trả lời H3.
-Theo kết quả của bài toán 2
quãng đường vật đi được từ
điểm a đến thời điểm b được
tính như thế nào?
-Dựa vào định nghĩa tích phân
hãy viết lại kết quả thu được?
(0 -1) =1
4 / 2 cos
4 /
1
2 x
2
2 4
= ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:
Theo kết quả của bài toán 2
Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân
= F(b) –F(a)
b
a
dx x
a
dx x
4 / 2 cos
4 /
2 x
2
2 4 = ln2
ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên
tục và không âm trên K; a và
b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là:
S = b
a
dx x
Theo kết quả của bài toán 2 Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân
= F(b) –F(a)
b
a
dx x
a
dx x
2 Củng cố :
Tieát 58
Trang 7Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
1 Bài mới:
HĐ1: Tìm hiểu các tính chất của tích phân
-Giáo viên phát biểu
định lí 2(sgk)
-Giáo viên định hướng
học sinh chứng minh các
tính chất trên: Giả sử F
là một nguyên hàm của
f, G là một nguyên hàm
của g
a
dx
x
-Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào
nguyên hàmtrên?
a
dx
x
a
b
dx
x
a
dx
x
b
dx
x
a
dx
x
b
dx x
= c
a
dx
x
a
dx
x
b
dx
x
a
dx
x
4) F(x) là nguyên hàm
của f(x), G(x) là nguyên
hàm của g(x)
nguyên hàm của f(x)
+ g(x) =?
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên
= F(x)| = F(a) – F(a) = 0
a
a
dx x
a
= F(x)| = F(b) – F(a)
b
a
dx x
a
= F(x)| = F(a) – F(b)
a
b
dx x
b
= -
a
dx x
b
dx x
b
a
dx x
b
dx x
a
b
F(c) – F(a)
= F(x)| = F(c) – F(a)
c
a
dx x
a
a
dx x
b
dx x
c
a
dx x
b a
) ( )
b a
= F(b)G(b) F(a)G(a)
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
b
a
dx x
a
dx x
a b
a
3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)
CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5)
a
dx x
a
a
dx x
a
= F(x)| = F(a) – F(b)
a
b
dx x
b
= -
a
dx x
b
dx x
a
dx x
b
dx x
a c b
=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a)
= F(x)| = F(c) – F(a)
c
a
dx x
a
a
dx x
b
dx x
a
dx x
b a
) ( )
a
= F(b)G(b) F(a)G(a)
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
b
a
dx x
a
dx x
a
b a
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
Trang 8Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
( ) ( ) ?
b
a
b
a
dx
x
a
dx x
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
5) F(x) là nguyên hàm
của f(x)
nguyên hàm của
kf(x)?
=?
b
a
dx
x
=?
b
a
dx
x
f
Giáo viên định hướng
học sinh giải quyết
nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 4
Biểu thức của tính chất
4?
Áp dụng tính chất này
tính tích phân trên?
Xét dấu của x – 2 trên
[1: 3]?
Áp dụng tính chất 3 tính
tích phân trên?
a
dx x
a x
kF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x) =k[F(b) – F(a)]
b
a
dx x f
a
=
a
dx x
a
dx x f
Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên
0
) cos 2 (sin
dx x x
0
2 / 0
cos 2
sin
xdx xdx
2
0
0
= - (cos - cos0 ) - sin -sin0 2
2
= 0
1 2
1
) 2
3 2
2
2
1 x 2x
2
2
2 = 1
a
dx x
a x
kF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x) =k[F(b) – F(a)]
b
a
dx x f
a
=
a
dx x
a
dx x f
0
) cos 2 (sin
dx x x
0
2 / 0
cos 2
sin
xdx xdx
2
0
0
= - (cos - cos0 ) - sin -sin0 2
2
= 0
1 2
1
) 2
3 2
2
2
1 x 2x
2
2
2 = 1
Bài tập:
- Vẽ đồ thị của hàm
số y = x/2 + 3
- Hình giới hạn bởi đồ
thị hàm số y =
Bài 10: Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:
4
2 ) 3 2
3
3
2
Giải: B C
Trang 9Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
+3 , y = o , x = -2,
2
x
x = 4 là hình gì
Hàm số y = +3 trên
[-2;4] có tính chất gì?
-Vậy tích phân được
tính như thế nào?
- Tính diện tích hình
thang ABCD
- Vẽ đồ thị hàm số y
= 9 x 2 trên
[-3;3]
- Hình giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = , y = o
, x = -3, x = 3 là hình
gì
- Do đó
3
3
2
được tính như thế
nào
1 2 3 4 5
x
y
5
2
- Hình thang
Hàm số y = +3 0 và liên tục
2
với trên [-2;4]
- là diện tích hình giới
4
2 ) 3 2
hạn bởi đồ thị hàm số y = +3 ,
y = 0 , x = -2, x = 4
- SABCD = (AB+CD).CD =21
2 1
1 2
x y
- Nửa hình tròn tâm O bán kính R
= 3
- là diện tích nửa
3 3
2
hình tròn giới hạn bởi y = ; y = 0;
x =-3; x = 3
D o A
Ta có hàm số y = +3 0 và liên
2
tục với x [-2;4]
Do đó là diện tích hình
4 2 ) 3 2
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = +3 ,
2
x
y = o , x = -2, x = 4 Mặt khác:
SABCD = (AB+CD).CD=21
2 1
4 2 ) 3 2
b)
-2 -1
1 2 3
x y
Vì y = 9 x 2 liên tục, không âm trên [-3;3] nên là diện
3 3
2
tích nửa hình tròn giới hạn bởi y =
; y = 0; x =-3; x = 3
2
3 3
2
2
9
Bài 11 Cho biết 2 =-4,
1 )
f
5
1 )
1 )
g
Trang 10Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
-Các 2 ,
1
)
f
,
5
2
)
1
)
f
quan hệ với nhau như
thế nào
- 5
1
) ( )
(
viết dưới dạng hiệu
như thế nào?
1 )
2 )
1 )
f
1
) ( ) (
=45
-1 )
1 )
g
Tính a)5
2 )
f
d)5
1
) ( ) (
Giải :
Ta có:
2
1 )
2 )
1 )
f
2 )
1 )
1 )
f
=10
2 )
f
d) Ta có 5
1
) ( ) (
1 )
1 )
g
- b phụ thuộc
a
dx
x
vào đại lượng nào và
không phụ thuộc vào
đại lượng nào?
- Vậy ta có 3 ?
0 )
( dt t f
?
4
0
)
( dt t
f
- b phụ thuộc vào hàm số
a
dx x
f, cận a,b và không phụ vào biến
số tích phân
- 3 =3
0 )
f
= 3
0 )
( dt t f
=7
4
0 )
f
=7
0 )
( dt t f
Bài 12 Biết 3 =3 =7
0 )
0 )
f
Tính 4
3 )
( dt t f
Giải:
0 )
0 )
( dt t f
4 =7 =7
0 )
0 )
( dt t f
Mặt khác
3
0 )
( dt t
3 )
( dt t
0 )
( dt t f
3 )
( dt t
0 )
( dt t
0 )
( dt t f
=4
3 )
( dt t f
- Nếu F(x) là một
nguyên hàm của f(x)
thì F(x) liên hệ như - F
’(x) = f(x)
Bài 13 a) Chứng minh rằng nếu f(x)
0 trên [a;b] thì 0
a
dx x
b) Chứng minh rằng nếu f(x)
g(x) trên [a;b] thì b
a
dx x
Trang 11Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
thế nào với f(x)?
- Dấu của F(x) trên
[a;b] ? Từ đó cho
biết tính tăng, giảm
của F(x)
- Dấu của f(x) – g(x)
với x [a;b]
- Suy ra
?o
a
dx x
g
x
- F’(x) 0 Do đó F(x) không
giảm trên [a;b]
Vì vậy a<b => F(a) F(b).
-f(x) g(x) x [a;b]
f(x) – g(x) 0 x [a;b]
- b 0
a
dx x g x
b
a
dx x
Giải:
a) Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F’(x) = f(x) 0 nên F(x)
không giảm trên [a;b]
Nghĩa là a<b => F(a) F(b).
F(b) – F(a) 0
b = F(b) – F(a) 0
a
dx x
b) Ta có f(x) g(x) x [a;b]
f(x) – g(x) 0 x [a;b]
Suy ra b 0
a
dx x g x
a
dx x
a
dx x
a
dx x
a
dx x
2 Củng cố toàn bài:
được một vật
- Cách tính tích phân dựa trên diện tích hình thang cong
- Chứng minh rằng nếu m f(x) M trên[a;b] thì m(b-a) b M(b-a)
a
dx x
3 Nhiệm vụ về nhà
o -Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật
o -Học thuộc các tính chất của tích phân
tung và đường thẳng x =2
1 2 2
4 Phụ Lục:
Phiếu học tập số 1
=1 , x =2
Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s Tìm quãng đường L vật
Trang 12Trường cấp II-III Võ Thị Sáu Giáo án GT-NC Đoàn Việt Cường
Phiếu học tập số 3
Tính giá trị các tích phân sau:
1
0 sin
4 / 2 cos
dx
4
2 x dx
Phiếu học tập số 4
Tính các tích phân sau:
0
) cos 2 (sin
dx x
1 2