Đề thi học sinh giỏi Toán 9 vòng 2 năm học 2010 – 2011

Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC...  Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:..[r]

Trường THCS Nghĩa Đồng

Nhóm Toán

(mong bạn đọc góp ý: hongtamdo1982@gmail.com)

Đề thi học sinh giỏi toán 9 vòng 2.Năm học 2010 – 2011

Thời gian 120 phút Cõu 1: ( 8 điểm)

1) Giải phương trỡnh:

x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2 

2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 1 4x 4x  2  4x 12x 92  

Cõu 2: ( 4 điểm)

( Với )

2 2



a) Chứng minh rằng S < n -1

b) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiờn n 2 thỡ S khụng thể là  một số nguyờn

Cõu 3: ( 4,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao

BK bằng 12cm Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC

Cõu 4: ( 4,0 điểm)

Cho tam giác giác nhọn ABC Kẻ các đường cao AD, BK Gọi H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Chứng minh rằng: tgB.tgC = AD

HD

b) Chứng tỏ rằng: HG // BC tgB.tgC = 3

Ngày 26 tháng 10 năm 2010

GV

Nguyễn Hồng Tâm

§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm

Câu 1

(8đ)

1) (4 điểm)

 Điều kiện: x  5

2

 Khi đó, phương trình đã cho tương tương với phương

trình: ( 2x 5 3)  2  ( 2x 5 1)  2 4

 2x 5 3   2x 5 1 4  

 1 2x 5  2x 5 1 

 Do đó: 1 2x 5 0   x 3

 Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 5 x 3

2  

 Vậy tập nghiệm của phương trình là mọi x: 5 x 3

2 

2) (4 điểm)

 Ta có: P = 1 2x 3 2x  

 Mà: 1 2x 3 2x    1 2x 3 2x 4  

Nên P 4

 Vậy: P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi (1+ 2x)(3-2x) 0

 1 x 3

  

0,5

1,0 0,5 05 0,5 0,5 0,5

1,5 1,5

0,5 0,5

Câu 2

(4đ)

a) (2đ)

 S =

S = (1 12) (1 12) (1 12) (1 12)

S = n – 1 – ( 12 12 12 12 ) < n – 1

2 3  4   n Vậy: S < n – 1 (1)

b(2đ)

 Ta chứng minh: S > n – 2

Thật vậy:

0,5

0,5 0,5 0,5

H A

12 12 12 12 <

2 3  4   n

1.2 2.3 3.4   (n 1).n

< (1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1)



< 1 - 1 n

Do đó: S > n – 1 – (1 - ) = n – 2 + > n -2 1

n

1 n Vậy: S > n – 2 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: n – 2 < S < n – 1 với mọi số

nguyên dương n 2.

Mà: n – 2 và n – 1 là hai số nguyên liên tiếp

Nên: S không là số nguyên

0,25

0,25 0,25 0,25 0,5 0,5

Câu 3

(4,0đ)

 Đặt AC = AB = x, BC = y

Ta có: tam giác AHC đồng dạng với tam giác BKC ( vì có

góc nhọn C chung) nên:

AH BK

AC BC Hay AH.BC = BK.AC Vậy: 5y = 6x (1)

 Mặt khác: trong tam giác AHC vuông tại H ta có:

AC AH HC

2

2

 

 

 Từ (1) và (2) ta suy ra: x = 25, y = 15

2 Vậy: AB = AC = 25cm, BC = 15cm

2

Vẽ hình đúng

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

Câu 4 (4đ)

1(2đ)

Xét ABD có : tgB =  AD

BC

Xét ACD có tg C =  AD

DC

 tgB.tg C = 2 (1)

.

AD

BD CD

Ta có BDH  : ADC (gg) =>BD DH

AD DC

 BD.CD =DH.AD (2)

Từ (1) và (2) => tgB.tgC = AD

HD

b (2đ)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AM 3

GM 

Do đó, xét ADM có:

HG // BC HG // MD  AM AD

tgB.tgC = 3

0,25

0,25

0,25 0,5 0,25 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Ngày 26 tháng 10 năm 2010 Gv: Nguyễn Hồng Tâm

A

B

K

C

H

G