2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số fx và chứng minh rằng phương trình fx = 3 có đúng hai nghiệm .... Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát..[r]
Trang 1MỘT SỐ BÀI GTLN,GTNN-BĐT TRONG ĐỀTHI ĐẠI HỌC
4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Giải: (Đề TS-B-2009).
3
2
2'+ “=” ra khi :
2
2 2 (x y) 1
2
Ta cú :
2 2 2
2 2 (x y )
x y
4
A3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
2 2 2
2 2 2 (x y ) 2 2
4
2 2 2 2 2
9 (x y ) 2(x y ) 1 4
2 + y2 , 5 t 1 hàm
f (t) t 2t 1, t
;< :
f '(t) t 2 0 t
f (t) f ( )1 9
Bài 2 (Đề TS-D-2009) Cho cỏc
2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy
Giải: (Đề TS-D-2009).
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x2y2 – 2xy + 12
2 – 2t + 12 1
4 S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t = 1 S(0) = 12; ; S ( Vỡ S liờn nờn :
16
1 4
Sổ ửữ ỗ ỗ ữ ỗố ứữ= 252 S161
191 16
1 0;
4
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
Max S = 25 khi x = y = và Min S = khi hay
2
1 2
191 16
x 4
y 4
x 4
y 4
4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2
2
P
5 (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức ( 2)(1 )2
(1 ) (1 )
P
3
yz
6
7 )(DBB2-08).Cho
n n n n 1 n 1 n 1
y x y
x
CM; n x n y n n 1x n 1 y n 1 (*)
Khi X* nhiờn (*) luụn Y#
0
0
y
x
Trang 2Ta luơn cĩ
1
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
1 1
1 1
1 1
n
t n
t n
t t
t t
t
n n
n n
n n
n
1
1 1 1
ln ln
).
1 ( 1
ln 1 ln ) 1
n n n
n n n
n
y
y x n y
y x n
i n t
n
a
n n n n n n n
n
n n n
n
n
n
y x y
x y
y x y
y
1
1 1 1
y x y
x
3 ,
y x cosx cosy 1 cos(xy)
(1)
;B t xy ;t[0; / 3] Xét hàm f t( ) 1 cos t22 cost
'( ) 2 sin 2 sin 2(sin sin ) ; '(1) 0
2
;< ( ) 0 [0; ] 1 cos 2 os (2)
3
!f (1) và (2) Ta cĩ cosx cosy 1 cos(xy) a
Bài 3 (ĐH-A-2007). Cho x, y, z là các
2
+ +
2
2
+ +
( )
2
2
+ +
Giải: ĐH-A-2007).
Ta cóx2(y+z)³ 2x x ;y2 (z+x) ³ 2y y;z2(x+y)³ 2z z
2
x x
³
+
2 2
y y
2 2
z z
2
9
9
9
9
³ 4c a 2b 4a b 2c 4b c 2a
ê çç + + ÷÷+çç + + ÷÷- ³ ú + - =
M'+ “=” ra Û = = =x y z 1 ;< Min P = 2
Bài 4 (ĐH-B-2007). Cho x > 0, y > 0,z > 0 thay Tìm GTNN
2
x
x
yz
ç + ÷
1 2
y y xz
z z xy
ç + ÷
HD: (ĐH-B-2007).
Trang 3Nk P = Do x2 + y2 + z2 = + + xy + yz
xyz
2
2
2
+ zx nờn P 2 1 2 1 2 1 ; Xột hàm f(t) = B t > 0 !f BBT ( f(t)
³ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ
2
t t
+
2
2
(KD - 07)Cho a b> 0 Chứng minh rằng : 2 1 2 1
Bài 5 (DBĐH-A-2007) Cho x, y, z là cỏc
(DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức
P= 2 2 2
3 3 3
3 3 3
3 4( 3 3) 4( ) 4( ) 2
x
z z
y y
x x
z z
y y
x
Giải: (DBĐH-A-2007)
;B x, y > 0 ta ,# minh : 4(x3 + y3) (x + y)3 () M'+ = ra x = y
2 – xy + y2) (x + y)3 4(x2 – xy + y2) (x + y)2 do x, y > 0 3(x2 + y2 – 2xy) 0 (x – y)2 0 Y#
3 + z3) (y + z)3 M'+ = ra y = z
4(z3 + x3) (z + x)3 M'+ = ra z = x
Do 6 34(x3 +y3)+34(y3 +z3)+34(z3 +x3)³ 2(x+ +y z)³ 63xyz
Ta Al cú: 2 2 2 M'+ = ra x = y = z Suy ra
3
6
xyz
1
xyz
D'u = xy ra ỡùùxyz x =y 1 z x = y = z = 1 ;< minP = 12 khi x = y = z = 1
ớ = =
13 (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh rằng :
2
3 1
3 1
ab a
b b
a
2
4
A
Giải: (DBĐH1-B-2006)
Ta cú A = 3 2 4 2 2 3 3 1 22 A
y
= + + ỗỗ + + ữữ+
³ + + =
9 2
9 2
Trang 4Bài 7 (DBĐH2-B-2006) Tỡm giỏ 11 4 1 72 , B
2
ỗ
= + + ỗỗố + ữữứ x >0
Giải: DBĐH2-B-2006)
Áp (a2 +b2)(c2 +d2)³(ac+bd)2
Ta cú : ( 9 7 1 ) 72 3 7 2
x x
+ ỗỗ + ữữ³ỗỗ + ữữ
3
ỗ
x x
ỗ
=ỗỗố + ữữứ + ³ + =
Khi x = 3 thỡ y =15 nờn giỏ
2
15 2
Bài 8 (ĐH-A-2006). Cho hai số thực x 0, y 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện :
( x + y )xy = x2 + y2 - xy.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 13 13
x y
Giải: (ĐH-A-2006).
!f gt suy ra 1 1 12 12 1 ta Qo a + b = a2 – ab + b2 (1)
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2 !f (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab
2
abÊổ ỗỗ + ữ ửữữ ị + ³a b a+b - a+b ị a+b - a+b Ê ị Ê + Ê ịa b A= a+b Ê
1
2
A= Û = = ịx y maxA=
15 (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x2 +xy +y2 3.Chứng minh rằng :
16 (DBKA - 06)Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện : 3-x +3-y +3-z = 1.Chứng minh rằng :
4
Bài 9 (ĐH-B-2006). Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x1)2 y2 (x1)2 y2 y2
Giải: (ĐH-B-2006).
Trong mpOxy xột cỏc * M(x - 1; y) và N(x + 1; y) Do OM + ON MN nờn :³
(x- 1 ) 2 +y2 + (x+ 1 ) 2 +y2 ³ 4 + 4y2 = 2 1 +y2 ịA³ 2 1 +y2 + - =y 2 f y( )
2
2
1
y
y
-+
1 3
y
Û =
q<a BBT: f(y) trờn (-Ơ ;2), ta cú Qo
( ;2 )
1
3
-Ơ
ổ ửữ
ỗ
= ỗỗố ữữứ = +
;B y³ ị 2 f y( ) ³ 2 1 +y2 ³ 2 5 > + 2 3.Do < A³ + 2 3, "x y,
3
18 (DBKB - 06) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 4 1 7 , với x > 0
2
11
2
x x
x y
19 (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2
3 2
2 4
4 3
y
y x
Trang 5Bài 10 (ĐH-A-2005). Cho x y z, , 0;1 1 1 4 Tỡm Min ( S
x y z
2x y z x 2y z x y 2z
Giải: (ĐH-A-2005).
2
2
2
S
20 (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn 1 1 1 Chứng minh rằng
4.
x y z
1.
2x y z x 2y z x y 2z
21 (DBKA - 05)Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có :
2
Khi nào đẳng thức xảy ra
22 (KB - 05) Chứng minh rằng với mọi x , ta có: 12 15 20 3 4 5
Khi nào đẳng thức xảy ra?
23 (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng
3
24 (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số thoả mãn x +y +z = 0 Chứng minh rằng
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
25 (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
3 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
26 (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh rằng :
3 a 3 b 3b 3 c 3c 3 a 3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
27 (DBKD - 05)Cho 0 x 1 và 0 y 1.Chứng minh rằng x yy x 1
4
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
28 (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình x my m ( m là tham số)
2 4
Trang 629 (DB-KB-04)Cho hàm số y = ex -sinx +
2
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3
có đúng hai nghiệm
30 (DB-KB-04)Cho tam giác ABC thoả mãn A 900 và sinA = 2sinB sinC tg
2 A
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
sin
sin
B
A
Bài 11 (Đề thi TSĐH 2003 khối B).Tỡm giỏ y x 4 x2
Giải: TSĐH 2003 khối B).
Cỏch 1: !<a xỏc % D 2; 2;
2 2
4
x
x
0
2 4
x
x
y y
2 2
x u u
4
maxy 2 2 ; miny 2
Bài 12 (DB TSĐH-B-2003).Tỡm giỏ 6 23 trờn l
4 1
1;1
Giải: (DB TSĐH-B-2003).
Cỏch 1. 2 Ta cú
0;1
2
2
3
y u u u u
Nhỡn )# )k thiờn ta cú max 4; min 4
9
Cỏch 2. x sinu y sin 6u 4 cos 6u sin 6u cos 6u 3 cos 6usin 2u cos 2u 3 4
;B x 0 thỡmaxy 4
;B
31 (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z 1.Chứng minh rằng
82 1
1 1
2
2 2
2 2
z
z y
y x
x
32.(DB -KA-03)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sin5x 3 cos x
33 (CT -KB-03)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 x 2.
34 (CT -KD-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2]
1
1
2
x
x y
35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản 1 a <b <c <d 50.Chứng minh
bất đẳng thức
Trang 7và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
b
b b d
c
b
a
50
50
2
d
c b
a
36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc của tam giác ABC Chứng minh rằng để tam giác ABC đều
thì điều kiện cần và đủ là
2
37 (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = .Tìm giá trị nhỏ
4 5
nhất của biểu thức sau S = .
y
1
4
Bài 13 (ĐH SPHN-A-2002) Tỡm GTLN,GTNN ( hàm y = 3 44 4 22
3
+ +
HD:
2x , tẻ[0;1].ta Qo y =1+ 2 1 Ta coự y’=
3t - 2t+ 2
t
!f BBT ( hàm ta Qo : max y = và min y = 8
5
4 3
Bài 14 (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001) Tựy theo giỏ
P = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y –1]2
HD:
XT PT cú #T
( )
2
ùùù
Khi Min P =0
Khi m = –2 thỡ P = (x – 2y – 2)2+(4x – 8y –1)2
ã
P = t2 + (4t + 7)2 = 7
2
t
Khi 6j Min P =
2
17
Bài 15 (ĐH TCKT -2000). Tỡm GTLN,GTNN ( hàm y = 2sin8x + cos42x
Giải:
1
( ), 1;1 2
t
ổ - ữ ử
ỗố ứ
3
; '( ) 0
t
ộ ổ - ử ự
ờ -ỗỗỗ ữữữ ỳ = Û =
ổ ửữ
ỗ ữ=
ỗ ữ
ỗố ứ
2
D
p
D y = Ûcos x = Û = ± +x a k p ổ ỗỗỗốcos a= ữ ửữữứ
Bài 16 (ĐH GTVT 2000). Tựy theo giỏ
P = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2
HD:
BấT ĐẳNG THứC Và GIá TRị LN-NN TRONG Đề THI ĐH Từ 02-09
1 (Đề CT- khối A - 2009)
Trang 82.(K B - 2009) (1 *
4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
3.K D - 09 (1,0
2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy
4.(Đề CT- K B - 08)Cho hai số thực x,y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2+y2=1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
2
2
P
5 (Đề CT- K D - 08) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức ( 2)(1 )2
(1 ) (1 )
P
3
yz
6
7 )(DBB2-08).Cho
n x n y n n 1x n 1 y n 1
CM; n n n n 1 n 1 n 1 (*)
y x y
x
Khi X* nhiờn (*) luụn Y#
0
0
y
x
y
x
t
Ta luụn cú
1
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
) 1 ln(
1 1
1 1
1 1
n
t n
t n
t t
t t
t
n n
n n
n n
n
1
1 1
1 1 ( 1 ) ln ln ln
1 ln ) 1 (
n
n n n
n n n
n
y
y x n y
y x n
i n t
n
a
n n n n n n n
n
n n n
n
n
n
y x y
x y
y x y
y
1
1 1 1
3 ,
y x cosx cosy 1 cos(xy)
(1)
;B t xy ;t[0; / 3] Xột hàm f t( ) 1 cos t22 cost
'( ) 2 sin 2 sin 2(sin sin ) ; '(1) 0
2
;< ( ) 0 [0; ] 1 cos 2 os (2)
3
!f (1) và (2) Ta cú cosx cosy 1 cos(xy) a
9 (KA - 07)Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức: P = 2( ) 2( ) 2( )
Trang 910 (KB - 07)Cho x,y,z là 3 số thực dương hay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
11 (KD - 07)Cho a b> 0 Chứng minh rằng : 2 1 2 1
12 (DBKA - 07).Cho x,y.z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biến thức
P= 2 2 2
3 3 3
3 3 3
3 4( 3 3) 4( ) 4( ) 2
x
z z
y y
x x
z z
y y
x
13 (DBKD - 07)Cho a,b là các số dương thoả mãn ab + a +b = 3.Chứng minh rằng :
2
3 1
3 1
ab a
b b
a
14 (KA - 06)Cho hai số thực x 0, y 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện :
( x + y )xy = x2 + y2 - xy.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 13 13
x y
15 (DBKA - 06)Cho x,y là các số thực dương thoả mãn x2 +xy +y2 3.Chứng minh rằng :
16 (DBKA - 06)Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện : 3-x +3-y +3-z = 1.Chứng minh rằng :
4
17 (KB - 06) Cho x , y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x1)2 y2 (x1)2 y2 y2
18 (DBKB - 06) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 4 1 7 , với x > 0
2
11
2
x x
x y
19 (DBKB - 06) Cho hai số dương x,y thay đổi thoả mãn điều kiện x + y 4.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2
3 2
2 4
4 3
y
y x
20 (KA - 05) Cho x ,y,z là các số dương thoả mãn 1 1 1 Chứng minh rằng
4.
x y z
1.
2x y z x 2y z x y 2z
21 (DBKA - 05)Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có :
2
Khi nào đẳng thức xảy ra
22 (KB - 05) Chứng minh rằng với mọi x , ta có: 12 15 20 3 4 5
Khi nào đẳng thức xảy ra?
23 (DBKB - 05)Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn xyz = 1 Chứng minh rằng
Trang 10
25 (KD - 05) Cho các số dương x,y,z thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
3 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
26 (DBKD - 05)Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c = 3/4.Chứng minh rằng :
3 a 3 b 3b 3 c 3c 3 a 3.
Khi nào đẳng thức xảy ra?
27 (DBKD - 05)Cho 0 x 1 và 0 y 1.Chứng minh rằng x yy x 1
4
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
28 (DB-KA-04)Gọi (x,y) là nghiệm của hệ phương trình x my m ( m là tham số)
2 4
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2 +y2 -2x , khi m thay đổi
29 (DB-KB-04)Cho hàm số y = ex -sinx +
2
2
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) và chứng minh rằng phương trình f(x) = 3
có đúng hai nghiệm
30 (DB-KB-04)Cho tam giác ABC thoả mãn A 900 và sinA = 2sinB sinC tg
2 A
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
sin
sin
B
A
31 (CT-KA-03)Cho x,y,z là ba số dương và x + y + z 1.Chứng minh rằng
82 1
1 1
2
2 2
2 2
z
z y
y x
x
32.(DB -KA-03)Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y sin5x 3 cos x
33 (CT -KB-03)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 x 2.
34 (CT -KD-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1;2]
1
1
2
x
x y
35.(DB -KA-02)Giả sử a,b,c,d là bốn số nguyên thay đổi thoả mản 1 a <b <c <d 50.Chứng minh
bất đẳng thức
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =
b
b b d
c
b
a
50
50
2
d
c b
a
36.(DB -KA-02)Gọi A, B, C, là ba góc của tam giác ABC Chứng minh rằng để tam giác ABC đều
thì điều kiện cần và đủ là
2
37 (DB -KB-02)Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = .Tìm giá trị nhỏ
4 5
nhất của biểu thức sau S = .
y
1
4
...P
5 (Đề CT- K D - 08) Cho x,y hai số thực khơng âm thay đổi.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
của biểu thức ( 2)(1...
x
32.(DB -KA-03)Tìm giá trị lớn hàm số y sin5x cos x
33 (CT -KB-03)Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x + 4 x 2....
P
5 (Đề CT- K D - 08) Cho x,y hai số thực không âm thay đổi.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
của biểu thức ( 2)(1