Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng AB = 0, tương đương với 4.. Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm [r]
Trang 1Chương 6
Mũ và lôgarít
6.1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa
Bài 6.1 : Rút gọn biểu thức sau trong miền xác định của nó :
³⁄₂
+ y³⁄₂
(x2 − xy)²⁄₃ :
x²⁄₃.√3x
− y
x √x
− y √y
2 Q = a3
2
4
4
√
a + √4
b
2
+
4
√a
− √4b
2
a + √
ab
3 5 È
.3 a.√a.
3 R = x + y³⁄₂: √
x
²⁄₃
:
√
x − √y
√
√y
√
x − √y
²⁄₃
4 T =
1
x¹⁄₂− 4x¹⁄₂ −
2 √3
x
x √3x
− 4 √3x
2
− √x2+ 8x + 16.
Bài 6.2 : Cho x < 0, chứng minh rằng :
Ï
−1 +
r
1 + 1
4 (2
x − 2−x)2
1 + r
1 + 1
4 (2
x − 2−x)2
= 1 − 2x
1 + 2x
Bài 6.3 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = 2x+ 2−x
2
Bài 6.4 : Xét hàm số f (x) = 2x+ 2−x
2 và g(x) = 2x − 2−x
2 Chứng minh rằng với mọi x1,x2 ta có các hệ thức sau :
1 f (x1 + x2) + f (x1 − x2) = 2 f (x1) f (x2)
2 g(2x1) = 2g(x1) f (x1)
3 f (2x1) = 2 f 2(x1) − 1
Bài 6.5 : Cho hàm số f (x) = 4x
4x + 2 Tính tổng : S = f
1 1993
+ f
2 1993
+· · ·
1993
6.2 Hàm số logarit
Bài 6.6 : Tính các đại lượng sau :
1 A = 92 log3 4+4 log 81 2
2 B = log a
a2.√3
a.√5
a4
4
√
a
!
, với a > 0, a , 1.
Bài 6.7 : Cho log12 27 = a Tính theo a giá trị của log6 16
Trang 2Bài 6.8 : Cho log14 28 = a Tính theo a giá trị của log49 16
Bài 6.9 : log49 16 = 2a − 2
2 − a
Bài 6.10 : Cho lg 392 = a; lg 112 = b Tính log5 7 theo a và b.
Bài 6.11 : Biết log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c Tính theo a, b, c giá trị của log140 63
Bài 6.12 : Cho log4 75 = a; log8 45 = b Tính log √ 3
25 135 theo a và b.
Bài 6.13 : Cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab Chứng minh rằng với mọi α > 0, α , 1, ta có :
logαa + b
3 = 1
2 logαa + logαb
Bài 6.14 : Chứng minh rằng : 2008 = − log5
log5
q
5 È5
.√5
5
| {z }
Bài 6.15 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, với độ dài cạnh huyền là c Giả sử c ± b , 1 Chứng minh
rằng :
logc+b a + log c −b a = 2 log c+b a log c −b a.
Bài 6.16 : Cho log12 18 = α, log24 54 = β Chứng minh rằng : α.β + 5(α− β) = 1.
Bài 6.17 : Giả sử : x(y + z − x)
lg x = y(z + x − y)
lg y = z(x + y − z)
lg z Chứng minh rằng :
x y y x = z y y z = z x x z
Bài 6.18 : Cho N > 0 và N , 1 Chứng minh rằng :
1 log2 N + 1
log3 N +· · · +log 1
log2008! N .
Bài 6.19 : Cho y = 10
1
1 − lg x ; z = 10
1
1 − lg y Chứng minh rằng : x = 10
1
1 − lg z
Bài 6.20 : Tìm các giới hạn sau :
1 A = lim
x→0
e 5x+3 − e3
2x
2 B = lim
x→0
e x − 1
√
x + 1 − 1
3 C = lim
x→0
ln(1 + x3)
2x
4 D = lim
x→0
ln(1 + 2x) tan x
Bài 6.21 : Cho hàm số y = ln 1
1 + x Chứng minh rằng : xy′+ 1 = e y
1 + x + ln x Chứng minh rằng : xy′ = y(y ln x − 1).
Bài 6.23 : Cho hàm số y = e −x sin x Chứng minh rằng : y′′+ 2y′+ 2y = 0.
Bài 6.24 : Cho y = sin(ln x) + cos(ln x) Chứng minh rằng : y + xy′+ x2y′′= 0
Bài 6.25 : Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số y = 1
3
2−x
và y = 3 x2
−3x+1
Bài 6.26 : Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1; y > x Chứng minh rằng :
1
y − x
ln y
1 − y − ln
x
1 − x
>4
Bài 6.27 : Cho x > y > 0 Chứng minh rằng : x + y
2 >
x − y
ln x − ln y
Bài 6.28 : Chứng minh rằng, nếu x > 0 thì ln x < √x.
Bài 6.29 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ln2 x
x , trên 1; e3
Trang 36.3 Phương trình mũ và logarit
Vấn đề 1 :Phương trình cơ bản
Khi giải phương trình chứa mũ hoặc logarit ta cần đặt điều kiện cho ẩn, cụ thể
• a x xác định khi 0 < a , 1;
• loga x xác định khi 0 < a , 1 và x > 0.
Ta có một số phương trình cơ bản sau (giả sử 0 < a , 1) :
1 a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x).
2 a f (x) = b ⇔ f (x) = log a f (x).
3 loga f (x) = log a (g(x)) ⇔
8
<
:
f (x) > 0 (hoặc g(x) > 0)
f (x) = g(x).
4 loga f (x) = b ⇔ f (x) = a b
Bài 6.30 : Giải các phương trình sau :
1 2x = 8;
2 9x = 27;
3 3x
= 5;
4 42x+1 = 1;
5 e x = 2;
6 log3 x = log3 5;
7 log2 x = 1
2;
8 ln x = 0;
9 log x = −4.
Bài 6.31 : Giải các phương trình sau :
1 (2 + √3)2x = 2 − √3;
2 2x2−3x+2 = 4;
3 2.3x+1 − 6.3x−1 − 3x= 9;
4 9x+1 = 272x+1;
5 log2 1
x = log1
2 (x2 − x − 1);
6 log4(x + 12) log x 2 = 1;
7 log3 x + log9 x + log27 x = 11;
8 log3(3x + 8) = 2 + x.
Bài 6.32 : Giải các phương trình sau :
1 log2 [x(x − 1)] = 1;
2 log2 x + log2(x − 1) = 1;
3 log2 x + log4 x = log1
√
3;
4 log2(3 − x) + log2(1 − x) = 3;
5 1 −1
2 log(2x − 1) = 1
2 log(x − 9);
6 1
6 log2(x−2)−1
3 = log1
8
√
3x − 5
Trang 4Vấn đề 2 :Phương pháp logarit hai vế
Khi phương trình mỗi vế là tích của các hàm số mũ hoặc các hằng số
Phương pháp là lấy logarit hai vế theo một cơ số thích hợp
Bài 6.33 : Giải các phương trình sau :
1 3x−1.2x2 = 8.4x−2;
2 2x.5x = 0, 2 log 10x−1
5
;
3 0, 125.42x−3 = 4 √
2
x
;
4 2x+1.5x = 200;
5 3x.8 x+1 x = 36;
6 32 −log 3 x = 81x;
7 34x
= 43x;
8 5x−1 = 10x.2−x.5x+1;
9 32x+5
x−7 = 0, 25.128x+17 x−3
Vấn đề 3 :Phương pháp đặt ẩn phụ
1 Nếu đặt t = a x , điều kiện t > 0;
2 Nếu đặt t = log a x, về cơ bản không cần đặt điều kiện cho t;
3 Nếu phương trình chứa tham số ta cần đặt điều kiện chặt cho ẩn t.
4 Một số cách đặt thông thường :
(a) Nếu t = a x thì a 2x = t2, a −x = 1
t ;
(b) Nếu đặt t = log a b thì log b a = 1
t ;
(c) Nếu đặt t = √u(x) thì u(x) = t2;
(d) Với phương trình chứa (a ± √b) mà (a + √b)(a − √b) = 1, nếu đặt t = (a + √
b) x thì (a − √b) x= 1
t
(e) Với phương trình dạng α.a x + β.b x + γ.c x = 0, ta thường chia hai vế cho a x (hoặc b x hoặc c x) rồi đặt ẩn phụ
Bài 6.34 : Giải các phương trình sau :
1 32x+5 = 3x+2 + 2;
log2 2x + 4
log2 x2 = 3;
3 log2
2 x − 3 log2 x + 2 = 0;
5 − log x+
2
1 + log x = 1;
5 log1
2 x + log22 x = 2;
6 3.4x − 2.6x = 9x;
7 3x+1 + 18.3−x = 29;
8 27x + 12x = 2.8x;
9 log2 x3 − 20 log √x + 1 = 0;
10 log9x 27 − log3x 3 + log9 243 = 0;
11 log2 x
log4 2x
= log8 4x
log16 8x;
12 log3(3x − 1) log3 3x+1 − 3
=
12;
13 logx−1 4 = 1 + log2(x − 1);
14 5 È
log2(−x) = log2
√
x2;
Trang 515 3log4 x+1
2 + 3log4 x−
1
2 = √x;
16 4−
1
x + 6−
1
x = 9−
1
x ;
17 4ln x+1 − 6ln x − 2.3ln x2 +2= 0;
18 3 È
log2 x − log2 8x + 1 = 0;
19 log2
1
2 (4x) + log2
x2
8 = 8
20 2sin 2 x + 4.2cos2 x = 6;
21 43+2 cos 2x − 7.41+cos 2x = 4
1
2
Vấn đề 4 :Phương pháp phân tích thành nhân tử
Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng AB = 0, tương đương với
2 4
A = 0
B = 0.
Bài 6.35 : Giải các phương trình sau :
1 8.3x + 3.2x = 24 + 6x;
2 12.3x + 3.15x − 5x+1= 20;
3 log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x log7 x;
4 2 log2
9 x = log3 x log3 √
2x + 1 − 1 ;
5 4x2−3x+2 + 4x2+6x+5 = 42x2+3x+7 + 1;
6 4x2+x + 21−x2 = 2(x+1)2 + 1
Vấn đề 5 :Phương pháp đánh giá
Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số đế đánh giá
Cách 1 : Cơ sở nhận dạng :
(a) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b) và hàm số y = g(x) nghịch biến trên (a; b) thì phương trình
f (x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
(b) Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (x) = c (với c là hằng số)
nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Phương pháp giải là :
(a) Nhận thấy x = x0 là một nghiệm của phương trình đã cho
(b) Nếu x > x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại
(c) Nếu x < x0, ta suy ra vế trái lớn hơn vế phải hoặc ngược lại
(d) Kết luận phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = x0
Cách 2 : Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f (u) = f (v) tương đương với
u = v.
Cách 3 : Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn f ′(x) = 0 có nhiều hơn 1 nghiệm thì chúng ta lập bảng biến thiên để suy ra
phương trình có tối ta bao nhiêu nghiệm, rồi nhẩm đủ số nghiệm đó, dẫn đến đó là tất cả các nghiệm của phương trình
Trang 6Cách 4 : Nếu f (x) ≥ c và g(x) ≤ c thì phương trình f (x) = g(x) tương đương với
<
:
f (x) = c g(x) = c.
Bài 6.36 : Giải các phương trình sau :
1 2x = 3 − x;
2 2x = 2 − log3 x;
3 log2 x = 3 − x;
4 3x + 4x = 5x;
5 4x − 3x = 1;
3
x
= x + 4;
7 sin π
5
x
+ cos π
5
x
= 1
6.4 Bất phương trình mũ và logarit
Vấn đề 1 :Bất phương trình cơ bản
Giải bất phương trình chứa mũ và logarit chúng ta cần chú ý đến cơ số :
• Nếu cơ số a > 1 thì bất phương trình đạt được cùng chiều;
• Nếu cơ số 0 < a < 1 thì bất phương trình đạt được ngược chiều.
• Khi biến đổi bất phương trình phải bảo đảm biểu thức trong logarit là dương
Dưới đây là một số dạng bất phương trình cơ bản :
1 a f (x) >a g(x), ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x);
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < g(x).
2 a f (x) <b Khi b ≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm Khi b > 0, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < log a b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > log a b.
3 a f (x) > b Khi b ≤ 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định Khi b > 0, ta có các khả năng
sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > log a b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) < log a b.
4 loga f (x) = log a g(x), ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > g(x) > 0;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với 0 < f (x) < g(x).
Trang 75 loga f (x) > b, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > a b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với
8
<
:
f (x) > 0
f (x) < a b
6 loga f (x) < b, ta có các khả năng sau :
(a) Nếu a > 1 thì bất phương trình tương đương với
8
<
:
f (x) > 0
f (x) < a b;
(b) Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình tương đương với f (x) > a b
Bài 6.37 : Giải các bất phương trình sau :
1 23−6x >1;
2 16x >0, 125;
3 log5(3x − 1) < 1;
4 log1
3 (5x − 1) > 0;
5 log0,5(x2 − 5x + 6) ≥ −1;
6 log3 log1
2 (x2 − 1) < 1;
7 log3 1 − 2x
x ≤ 0;
8 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 >5x+1 − 5x+2;
9 log0,5(4x + 11) < log0,5(x2 + 6x + 8);
10 log1
3 (x + 1) > log3(2 − x);
11 log0,1(x2 + x − 2) > log0,1(x + 3);
12 log1
3 (x2 − 6x + 5) + 2 log3(2 − x) ≥ 0;
13 log1
5 (x2 − 6x
+ 18) + 2 log5(x − 4) < 0;
14 log2 log0,5 2x − 3116
≤ 2;
3
h
log 3
2
log 1
x2
2 +2log2
x−1 +3
i
≥ 1
Vấn đề 2 :Phương pháp đặt ẩn phụ
Chúng ta thực hiện giống như phương pháp giải phương trình
Bài 6.38 : Giải các bất phương trình sau :
1 9x <2.3x + 3;
2 52x+1 >5x + 4;
3 log2
0,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0;
4 2x + 2−x+1 − 3 < 0;
5 4x − 2.52x <10x;
6 4x − 3.2x+ 2 > 0;
7 log2
3 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0;
8 log2 0,2 x − 5 log0,2 x <−6;
Trang 8Vấn đề 3 :Phương pháp phân tích thành nhân tử
Bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức, tìm cách đặt nhân tử chung đưa về dạng
1 AB ≥ 0, tương đương với
8
<
:
A ≥ 0
B ≥ 0
8
<
:
B ≤ 0
2 AB ≤ 0, tương đương với
8
<
:
A ≥ 0
B ≤ 0
8
<
:
B ≥ 0
Chú ý rằng nếu biết chắc chắn một trong hai nhân tử A và B là dương hoặc âm thì ta có thể chia hai vế cho số đó Tuy nhiên, nếu chỉ biết A ≥ 0 hoặc A ≤ 0 thì không được chia Chẳng hạn, bất phương trình √AB ≥ 0 không thể tương đương với
B ≥ 0, chúng ta xử lí bất phương trình này như sau :
• Nếu √A = 0, bất phương trình luôn đúng với điều kiện thỏa mãn tập xác định.
• Nếu √A > 0 , bất phương trình tương đương với B ≥ 0.
Bài 6.39 : Giải các bất phương trình sau :
1 3 + x2(2x−1 + 22−x ) > 3x2 + 22−x + 2x−1;
2 2x+1 + (5x2 + 11)21−x − x2 <24 − x 1 − (x2 − 9)2−x ;
3 √−3x2 − 5x + 2 + 2x ≥ 3 x.2x √
−3x2 − 5x + 2 + 4x2.3x;
6.5 Hệ phương trình
8
<
:
Khi giải hệ phương trình mũ và lôgarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp biến đổi đưa về hệ phương trình đại số thông thường, phương pháp đánh giá, phương pháp đưa về cùng cơ số,
Bài 6.40 : Giải các hệ phương trình sau :
1 2x+y+ 3y = 5
2x+y.3y−1 = 2;
8
<
:
2 22x −y+ 2x = 21+y
log2 x log4 y − 1
= 4;
8
<
:
3 xy = 1
log2 x + log2 y = 2;
8
<
:
4 x + y = 20
log4 x + log4 y = 1 + log4 9;
8
<
:
5 x + y = 1
4−2x + 4−2y = 0, 5;
8
<
:
6 3−x.2y= 1152
log√
5(x + y) = 2;
8
<
:
7 x2 − y2= 2
log2(x + y) − log3(x − y) = 1;
8
<
:
8 3.2x+ 2.3y = 2, 75
2x − 3y =−0, 75;
8
<
:
9 log5 x + log5 7 log7 y = 1 + log5 2
3 + log2 y = log2 5(1 + 3 log5 x);
Trang 910
8
>
>
log2(x − y) = 5 − log2(x + y)
log x − log 4
log y − log 3 =−1;
8
<
:
11 2 log2 x − 3y = 15
3y.log2 x = 2 log2 x + 3 y+1;
8
<
:
12 x2+ y = y2 + x
2x+y − 2x−1= x − y.
6.6 Phương trình mũ và lôgarit trong các kì thi tuyển sinh ĐH
Bài 6.41 (CĐ08) : Giải phương trình : log2
2(x + 1) − 6 log2
√
x + 1 + 2 = 0.
Bài 6.42 (A02) : Cho phương trình : log2
3 x +
È log23 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2 ;
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3√3]
Bài 6.43 (A04) : Giải hệ phương trình :
8
>
:
log1
4 (y − x) − log4
1
y = 1
x2 + y2 = 25
Bài 6.44 (A06) : Giải phương trình : 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0
Bài 6.45 (A07) : Giải bất phương trình : 2 log3(4x − 3) + log1
3 (2x + 3) ≤ 2
Bài 6.46 (A08) : Giải phương trình : log2x−1(2x2+ x − 1) + log x+1 (2x − 1)2= 4
8
<
:
Bài 6.47 (A09) : Giải hệ phương trình log2(x2+ y2) = 1 + log2(xy)
3x2−xy+y2 = 81
(x, y ∈ R)
Bài 6.48 (B02) : Giải bất phương trình : logx log3(9x − 72) ≤ 1
Bài 6.49 (B05) : Giải hệ phương trình :
8
<
:
√
x − 1 + √2 − y = 1
3 log9(9x2) − log3 y3= 3
Bài 6.50 (B06) : Giải bất phương trình : log5(4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5(2x−2 + 1)
Bài 6.51 (B07) : Giải phương trình : ( √2 − 1)x+ ( √
2 + 1)x − 2 √2 = 0
Bài 6.52 (B08) : Giải bất phương trình : log0,7 log6 x
x + 4
<0
8
<
:
Bài 6.53 (B10) : Giải hệ phương trình log2(3y − 1) = x
4x + 2x = 3y2
(x, y ∈ R)
Bài 6.54 (D02) : Giải hệ phương trình :
8
>
:
23x = 5y2 − 4y
4x + 2x+1
2x + 2 = y.
Bài 6.55 (D03) : Giải phương trình : 2x2
−x − 22+x −x2
= 3
8
<
:
Bài 6.56 (D06) : Chứng minh rằng với mọi a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y)
y − x = a.
Bài 6.57 (D06) : Giải phương trình : 2x2+x − 4.2x2−x − 22x+ 4 = 0
Bài 6.58 (D07) : Giải phương trình : log2(4x + 15.2x + 27) + 2 log2
1 4.2x − 3 = 0.
Trang 10Bài 6.59 (D08) : Giải bất phương trình : log1
x2 − 3x + 2
Bài 6.60 (D10) : Giải phương trình 42x+√
x+2 + 2x3 = 42+√x+2 + 2x3+4x−4
Bài 6.61 (D10) : Giải hệ phương trình
8
<
:
x2 − 4x + y + 2 = 0
2 log2(x − 2) − log√
2 y = 0.
6.7 Bài tập tổng hợp
Bài 6.62 : Giải các phương trình sau :
1 5x+1 + 6.5x − 3.5x−1= 51
2 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 9.5x + 5x+1 + 5x+2
3 3x.2x+1 = 72
4 log3 x(x + 2) = 1.
5 log2(x2 − 3) − log2(6x − 10) + 1 = 0
6 log2(2x+1 − 5) = x.
Bài 6.63 : Giải các phương trình sau :
1 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0
2 3.4x + 1
3.9
x+2 = 6.4x+1 − 12.9x+1
3 x2.2x+1 + 2|x−3|+2 = x2.2|x−3|+4 + 2x−1
4 4x2+x + 21−x2 = 2(x+1)2 + 1
Bài 6.64 : Giải các phương trình sau :
1 logx 2 log x
16 2 = logx
5x
5
x + log25 x = 1. 3 log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.
Bài 6.65 : Giải các phương trình sau :
1 4x+√
x2 −2 − 5.2x−1+√x2 −2 − 6 = 0 ;
2 43+2 cos x − 7.41+cos x − 2 = 0 ;
3 8x + 18x = 2.27x ;
4 26 + 15 √3
x
+ 2 7 + 4 √
3
− 2 2 − √3
x
= 0
Bài 6.66 : Giải các phương trình sau :
1 log2 4x+1 + 4 log2(4x + 1) = 3 ;
2 log4 log2 x + log2 log4 x = 2 ;
3 logx (125x) log225 x = 1 ;
4 logx 3 + log3 x = log√x 3 + log3
√
x +1
2
Bài 6.67 : Giải các phương trình sau :
Bài 6.68 : Giải các phương trình sau :
5
4x+1
7
3x−2
Bài 6.69 : Giải các phương trình sau :