Đề thi học sinh giỏi vòng cụm lớp 8 - Năm học 2008 - 2009 môn: Toán

Câu 1: 2 đ Chứng minh rằng: Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì lu«n chia hÕt cho 9.. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4015 Lop7.net..[r]

phòng GD - ĐT Hạ Hoà

Cụm thi THCS Hạ Hòa

Đề thi học sinh giỏi vòng cụm lớp 8 - Năm học 2008-2009

Môn: Toán

T hời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi : 20.05.2009 Câu 1: Chứng minh rằng:

Tổng các lập  của 3 số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho 9

Câu 2 Cho biểu thức:

A 1 3 a2 1 2 : 4a 2b3 2

2a b 2a b 2a a b a b ab a

          

a Rút gọn A

b Tính giá trị của A biết 3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0

Câu 3 Giải  trình:

 2 2

x-2005 x-2007 x-2009

2010 2008 2006

b, x 9 12x 1

Câu 4

Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM=AN Cỏc đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự ở E,F

a)Chứng minh CE.DF=a2

b)Gọi I là giao điểm của FA và EB.Chứng minh tam giỏc CEB đồng dạng với tam giỏc DAF và gúc EIF=900

c) Cỏc điểm M và N cú vị trớ như thế nào thỡ EF cú độ dài nhỏ nhất

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Hướng dẫn chấm môn Toán.

Câu 1: (2 đ) Chứng minh rằng: Tổng các lập  của 3 số nguyên liên tiếp thì

luôn chia hết cho 9

Xét A=n3+(n+1)3+(n+2)3 Với n là số nguyên tùy ý

Ta có A= =3n3+9n2+15n+9 =(3n3-3n)+9(n2+2n+1)

=3n(n-1)(n+1)+9(n+1)2

Có 9(n+1)2 chia hết cho 9

Lại có n;n-1;n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3,

do đó: 3(n(n-1)(n+1)chia hết cho 9

Vậy A chia hết cho 9 với mọi số nguyên n

0,25

0,75 0,25 0,5 0,25

Câu 2 (2 đ) a) Rút gọn:

 

 

2

2

2 2

:

:

2a(2 ab)

x 2a(2 ab) (2a b)(2a b)(a 1)

A











b

DK : ab 0;ab 2;a

2

b)Từ 3a2 + 3b2 = 10ab biến đổi ta có: (3a-b)(a-3b)=0

vì a > b > 0 nên 3a-b>0 do đó: a-3b=0  a=3b

Thay a=3b vào biểu thức A ta có: A=3/35

0,25

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25

Câu 3 Giải  trình:

x-2005 x-2007 x-2009

2010 2008 2006

2010 2008 2006

x 4015

 

Vậy  trình có nghiệm duy nhất x=4015

0,5 0,5

b) Ta có: (x2-9)2=12x+1

(x2-9)2+36x2=36x2+12x+1(x2-9)2+36(x2-9) +182=36x2+12x+1

(x2-9+18)2=(6x+1)2 (x2+9)2=(6x+1)2

(x2-6x+8)(x2-6x+10)=0(x-2)(x-4) [(x-3)2+1]=0

 x=2 hoặc x=4

Vậy U trình có tập nghiệm là S={2;4}

Câu 4: Vẽ hình:

a) Vì ABCD là hình vuông nên ta có AB//EF

Theo hệ quả của định lý Thalets ta có:

b)Ta có:

2

Do đó:CEB=DAF CEB+AFD=DAF+AFD=900IFE vuông tại IEIF=900

c) Ta có (CE-DF)2>0  (CE+DF)2 > 4CE.DF Dấu bằng xảy ra  CE=DF

Theo a) CE.DF=a2 nên(CE+DF)2 > 4CE.DF=4a2 Dấu bằng xảy ra  CE=DF=a

Nên EF>3a Giá trị nhỏ nhất là EF=3a đạt ?c khi CE=DF=a  M;N là trung

điểm của BC;AD

0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

0,75 0,5

0,75 0,75 0,25 0,5 0,25

I

M N

A

B

F

E