Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 103 kg/m3 Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, [r]
Trang 1Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
1
phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ
chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng
k = 25 N/m Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một
đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 10 3 (cm/s) theo phương thẳng đứng
hướng lên Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng xuống.
a Viết PTDĐ.
b Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải a) Tại VTCBO
kl = mg
l = 0,04 (m
25
0,1.10 k
mg
+ = 5 105 (Rad/s)
1 , 0
25 m
k
+ m dao động điều hoá với phương trình
x = Asin (t + ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0
v = 10 3 (cm/s) <0
Ta có hệ 2 = ASin Sin >0
-10 3 = 5.Acos cos <0
Chia 2 vế tg = = (Rad) A = 4(cm)
3
1
6
5
Vậy PTDĐ:
x = 4sin (5t + ) (cm)
6
5
l
l0
0(VTCB)
) x
- l
•
•
•
Trang 2b) Tại VTCB lò xo dãn l = 4cm
+ ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn l = 4 + 2 = 6 (cm)
+ ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5t + )
6
5
sin (5t + ) =
6
5
2
1
5t + = t = (s)
6
5
6
7
15 1
( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn
đều)
Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối
lượng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ Tại thời
điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho
m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s 2 )
a CM vật dđđh.
b Viết PTDĐ
Lời giải
a Tại VTCB kl = mg kl = 0,4.10 = 4 l = (mét)
k
4
Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm
x = 2,6 - l = 0,026 - ( mét)
k 4
Chiều dương 0x hướng xuống x >0
Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0
v = -0,25 m/s <0
=> k > 153,8 N/m
Trang 3Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
3
Cơ năng toàn phần E = 2 25 10 3 (J)
2
1 2 2
1kx mv
Ta có phương trình:
3 2
2 0,4.(0,25 ) 25.10 2
1 ) k
4 k(0,026 2
k(2,6.10-2 - 4) 2 0 , 025
k
0,0262.k2 - 0,233k + 16 = 0 k = 250 (N/m) TM
k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m = 25 (Rad/s)
4 , 0
250
m k
Tại t = 0 x = 1cm > 0
v = -25cm/s < 0
1 = Asin ; sin >0 = Rađ
4 3
-25 = 25Acos; cos<0 A = 2 cm
Vậy phương trình điều hoà là x = ) (cm)
4
3 t 25 sin(
2
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ Kéo M dọc theo trục lò
xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang Bỏ qua ma sát.
1 CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2 Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
Trang 41 Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của
vật
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng
Khi vật ở li độ x thì x = x1 + x2 với x1; x2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén)
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x1 = ; x2 =
1
k
F
2
k
F
2 1 2
1
1 1
k k
F k
F k F
Mặt khác F = - kx
k k k
1 1 1
2 1
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx''
mx'' = - k.x hay x'' = - x2 với 2 =
) (
.
2 1
2 1
k k m
k k m
k
Vật dao động điều hoà theo phương trình
x = Asin (t + ) Vậy vật dao động điều hoà
* Phương trình dao động
) 20 30 ( 12 , 0
20 30 )
(
.
2 1
2
k k m
k k m
k
Khi t = 0 x = 10cm>0
v = 0 cm/s
Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0 =
2
0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm) Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10t + ) (cm)
2
Trang 5Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
5
2 Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
Lực phục hồi cực đại Fmax = +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB
3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phương thẳng đứng lên trên
Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ; 2 = 10).
1 Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2 Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1 Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống
gốc 0 tại VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi
lò xo
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo
cùng độ cứng và chiều dài và bằng lực đàn hồi tổng
2
1
cộng)
F = 2F0 -Kx = -2kx K = 2k
+ Tại VTCB: + P 2P = 0
Hay mg - 2klo = 0 (1)
+ Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l0
Hợp lực: + P 2Fdh F
mg - 2k(l0 + x) = F (2)
k
0
F
k
0
F P
+
Trang 6Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx'' x''= x
m
k
2
x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4 2m/s = - 40 2 (cm/s)
Ta có hệ 3 = A sin ; sin > 0
- 40 2 = 10 2Acos ; cos < 0
Biên độ A = 5 cm
200
2 40 3
2
2
Ta có hệ 3 = 5sin sin = 0,6
-40 2 = 10 2.5.cos cos = -0,8 2,5 Rad
PTDĐ là x = 5sin (10 2t + 2,5) (cm)
e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật
Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m
l0 = 0 , 05m = 5 (cm)
50
10 25 ,
K mg
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
Fđhmax = K (A + l0) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được
nối vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 =
40 N/m Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn l = 20 (cm) thì thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng từ A B,chọn t = 0 là lúc thả vật.
a) CM vật DĐĐH?
143,13 0
Trang 7Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
7
b) Viết PTDĐ Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E.
c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại
A, B ở thời điểm t=
2 T
Lời giải a) CM vật DĐĐH
+ Chọn trục toạ độ như hình vẽ
+ Khi vật ở VTCB lò xo L1 dãn l1
lò xo L2 dãn l2 Khi đó vật để L1 dãn l = 2cm ;
L2khi nén k dãn thì l chính là độ biến
dạng tổng cộng của vật ở VTCB
l = l1 + l2 = 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 : P N F01F02 0 F01F02 0
Hay + K1l1 - k2l2 = 0 (2)
+ Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L1là (l1+ x) cm, L2 là (l2 - x) Tổng hợp lực
N F F m a
P 1 2
Hay - k1 (l1+ x) + k2(l2 - x) = mx''
- (k1+ k2) x = mx''
x'' = với 2 =
2 2
1 .
m
k k
m
k
k1 2
Vậy x = Asin (t + ) (cm) vật DĐĐH
B A
01
F F02
x G
x
Trang 8b) = 10 (Rad/s)
1 , 0
40 60
2
1
m
k k
+ Biên độ dao động A = l2 (vì A = 2 022 2)
l x
x
Giải (1), (2) l1 + l2 = 20 l1= 8cm
60l1 + 400l2 = 0 l2= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x0 = Asin = A
v0= Acos = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t + ) (cm)
2
Chu kì dao động T = 0 , 2 (s)
10
2
Năng lượng
E = 100 (, 012 ) 0 , 72 (J)
2
1 2
c) Vẽ và tính cường độ các lực
+ Khi t = 0 , 1 (s) thì x = 12 sin (10.0,1 + ) = -12 (cm)
2
T
2
Vì vậy, tại t = vật ở biên độ x = - A
2
Tại vị trí này lò xo l1 bị nén 1 đoạn A - l1 = 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L1 và L2 lên A, B lần lượt là F1, F2
F1 = 60.0,04 = 2,4 (N)
F2 = 40.0,24 = 0,6 (N) (F1, F2 cùng chiều dương)
=
2
Trang 9Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
9
P
0
F
0 (VB)
+ x
0
T
Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các
hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m Vật
nặng có khối lượng m, m = 100g; bỏ qua ma
sát khối lượng của r 2 và lò xo dây treo k dãn
Khối lượng k đáng kể.
1 Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2 Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải 1) Hình a
+ Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB
+ Phương trình lực T0F0 0
T0P0 0
Chiều lên ox -T0 + Kl = 0
-T0+ mg = 0
T0 = kl = mg = 0,1.10 = 1 T0 = 1N
l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T0 + mg = 0
-kl + 2T0= 0
T0 = mg = 1 (N)
a
b
P
0
F
+ x
0
T T0
O
Trang 10l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH
Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn l kl - mg = 0
+ Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + x
F = mg - T
T - k(l + x) = 0
F = mg - kl0 - kx F = -kx
áp dụng định luật II N - kx = mx'' = x x
m
k
.
2
Với = x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
m k
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l kl - mg = 0
2 1
Khi vật ở li độ x lò xo dãn l +
2 x
mg - T = F
2T - k(l + ) = 0
2 x
F = mg - kl - F =
2
1
x
k
k
4
Hay k x = mx'' x = = - 2 x với =
4
m
k
4
m
k
4
x = Asin (t + ) vật dao động điều hoà
Bài 7: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn
trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50
m1 m
Trang 11Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
11
(N/m) đặt m 1 có khối lượng 50 g lên trên m Kích thích
cho m dao động theo phương thẳng đứng biên độ nhỏ,
bỏ qua lực ma sát và lực cản Tìm hiên độ dao động lớn
nhất của m, để m 1 không với khối lượng m trong quá
trình dao động (g = 10m/s 2 )
Lời giải
Khi m1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = 2x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (amax = 2 A)
Nếu m1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m1 không rời khỏi m
amax < g 2A < g A< g2
+ = 2= A < = 0,08 (m) = 8cm
m
k
125 4
,
050
125 10
Amax = 8cm
Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối
lượng lò xo không đáng kể k = 50N/m, M =
200g, có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng
ngang.
1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đường 2cm
2) Giả sử M đang dao động như câu trên thì có 1 vật m 0 = 50g bắn vào M theo phương ngang với vận tốcvo Giả thiết va chạm là không đàn hồi và xảy ra tại thời điểm lò xo có độ dài lớn nhất Tìm độ lớn vo , biết rằng sau khi va chạm
M
k
o
v m0
Trang 12m 0 gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A ' = 4 2 cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu
của chuyển động tròn đều của 1 chất điểm
như hình vẽ Khoảng thời gian vật đi từ x =
4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời gian vật
chuyển động tròn đều theo cung M1M2
t = với = = 5 (Rad/s)
a 3
2 , 0
50
m
-> t = (s)
15
1 5
1
VTB = 30cm(s)
t
S
2 - Theo câu 1, M có li độ x0 = a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất + Ngay sau va chạm, hệ (M + m0) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m0) v = m0.vo (1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4 2 cm và tần số góc
05 , 0 2 , 0
50
0
m
M
Lại có v = 02 = 40 (m/s)
2 ' ' ( A ) x
05 , 0
2 40 ).
5 , 0 2 , 0 ( )
m
v m M
2
M 1
+ 2
4
M 2
•
•
Trang 13Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
13
Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h =
10cm tiết diện s = 50cm 2 được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 10 3 (kg/m 3 ) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1 đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1 XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2 CM vật dđđh, tính T
3 Tính cơ năng E
Lời giải 1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox như hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong
chất lỏng có chiều cao h0, lò xo bị dãn 1
đoạn l0
Phương trình lực : mg- F0A - kl0= 0
l0= (1)
k
F
mg 0A
Với F0A = Sh0Dg
l0 = = 0,01 (m) = 1 (cm)
150
10 10 05 , 0 10 50 10 4 ,
2) Chứng minh vật dđđh
+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn l0+ x
Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
A 0 F
dh 0 F
0 +x P
Trang 14 xmax= 4(cm) < luôn có tác dụng vào vật khi nó dao động
2
h
A F
dh
F P
= mg - S(h0F + x) Dg - k(l0 + x)
= mg - Sh0Dg- kl0- SDgx - kx
F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx''
mx'' = - (SDg + k)x x'' = 2.x với 2 =
m
K SDg
x = Asin (t + ) vậy vật dao động điều hoà
+ Chu kì dao động T =
150 10 10 10 50
4 , 0 2
2
2
3
K SDg m
= 0,28 (s)
3 Cơ năng E
Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
Cơ năng: E = 200 ( 0 , 04 ) 0 , 16 (J)
2
1 2
1k'A2 2
Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s 2 ).
1 Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
Trang 15Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
15
2 CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3 Tính thời gain dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đường đo được khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho
đến lúc dừng lại ở đây cơ năng E = KA F ms.S .mg.S
2
1 2
mg M
KA
( 2 10 02 , 1 , 0 2
1 , 0 80
2
2 - Độ giảm biên độ
Giả sử tại 1 thời điểm vật đang đứng ở VT biên độ lớn A1 sau chu kì vật
2
1
đến VT biên độ lớn A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường
A1+ A2
KA2
1 - KA2
2 = mg (A1 + A2) A1 - A2 =
2
1
2
1
k
mg
.
2
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A3 thì A2 - A3 =
k
mg
.
2
Vậy A = = const
k
mg
.
4
3 - Thời gian dao động
Tính A: A = 0 , 01 (m) = 1 cm
80
10 2 , 0 1 , 0
Số chu kì thực hiện được : n = 10 (chu kỳ)
A
A
Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s)
Trang 16Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l1, l2 (l1>l2) và có chu kì dao động tương ứng
là T1; T2, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 Biết rằng, cũng tại nơi
đó, con lắc có chiều dài l1 + l2 , chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài l1 - l2 có chu kì dao động 0,9 (s) Tính T1, T2, l1, l2
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l1 có chu kì T1= 2 l1g l1= g (1)
4
T
2
2 1
+ Co lắc chiều dài l2có chu kì T2= 2 l2g l1= g (2)
4
T
2
2 2
+ Con lắc chiều dài l1 + l2 có chu kì T3= 2
g
l
l1 2
4
10 ) 8 , 0 ( 4
g ) T (
2
2 2
2 '
+ Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2
g
l
l1 2
l1 - l2 = 0,2025 (m) = 20,25 cm (4)
4
10 ) 9 , 0 ( 4
g ) T (
2
2 2
2 '
Từ (3) (4) l1= 0,51 (m) = 51cm
Trang 17Học tập vỡ ngày mai lập nghiệp !
17
l2 = 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T1= 2 1,42 (s)
10
51 ,
0
T2= 2 1,1 (s)
10
3 ,
0
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc 0 rồi thả không vận tốc đầu
1 Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc suy ra BT vận tốc cực đại
2 Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc Suy tab t lực căng dây cực
đại, cực tiểu
* áp dụng: l = 1m, m = 100g, 0 = 60 ; g = 10(m/s2); 2= 10
Lời giải
1 BT vận tốc tương ứng với li độ
+ Theo định luật bảo toàn cơ năng, cơ
năng của con lắc tại VT li giác bất kì bằng
thế năng của con lắc tại VT biên
mgh0 = mgh + (mv2)
2 1
v2 = 2g (h0 - h)2
(v2 = 2gl (1 - cos) với h0 = l(1 - cos)
h = l(1 - cos)
I
h0 - h